第八章 地基承载力
基本要求
1,掌握临塑荷载和塑性荷载的概念及计算
方法
2,了解普朗德尔, 赖斯纳理论；掌握太沙
基公式；掌握地基承载力的设计值及其确定方法
第一节 概述
某点 ?> ? f,极限平衡状态
某区域内, ?> ? f,则处于极限平衡区,地基失稳
地基承载力分为两种,
1,极限承载力
与土性、基础埋深、宽度、形状等有关
2,容许承载力,与建筑的结构特性等有关
本章对土性的假设, 理想弹塑性体
第二节 地基的变形和失稳
一、临塑荷载 pcr和极限承载力 pu
地基变形的三个阶段：
1,压密阶段 (oa)
2,局部剪损阶段 (ab)
3,整体剪切破坏阶段
三阶段之间的界限荷载 pcr和 pu
o
s
P=P/Apcr pu
二、竖直 荷载下地基的破坏形式 （动画）
1,图 8-3
整体剪切破坏 (b), 土质坚硬、密实,埋深
局部剪切破坏 (c), 地基土质疏松
冲剪破坏（ d）：地基土质疏松
随着 基础埋深增加,局部剪切破坏、冲剪破坏更为常见。
魏西克（ Vesic,A,B）提出了用土的相对压缩性判别地
基 究竟要发生哪种破坏模式。
土的刚度指数 Ir和临界刚度指数 Ir(cr)为
q__ 基础的側面荷载 q=?D
Ir > Ir(cr),土相对不可压缩，发生 整体剪切破坏
Ir < Ir(cr),土相对可压缩,发生 局部剪切破坏或冲剪破坏
对于整体剪切破坏,已有较多的理论对其进行研究,而对局部剪
切破坏或冲剪破坏模式,目前尚无理论公式可循, 有学者建议将
整体剪切破坏模式的公式加以适当修正,可用于局部剪切破坏 ;
冲剪破坏模式很少见,可不予研究,
))(1(2 ?? qtgc
EI
r ???
)2/45c o t (2/1 0)/45.03.3()( ??? ? LBcrr eI
三、倾斜 荷载下地基的破坏形式
水工教科书提出基底临界竖向力
pcr=A ? Btan ? +2c(1+tan?) (8-3)
竖向荷载 pv< pcr 属表层滑动
安全系数 Fs=f? pv/ ? ph
竖向荷载 pv>pcr 属深层整体滑动
可用本章后面所述的方法,验算 地基失稳可能性,
一,极限平衡理论的原理
极限平衡理论 —— 土体 处于理想塑性状态时的
应力分布和滑裂面轨迹的理论。
应用范围：工程中常用于求解地基的 极限承载力和
地基的 滑裂面轨迹。
求解思路,1,仅有自重时,平面问题的静力平衡方程
(8-6)
2,极限平衡状态条件
无粘土 粘土 (8-7)
0??????
??????
zx
xz
zxx
xzz
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???
21
21s in ?? ??? ??? ??? ??? co t2s in
21
21 ??? ?? c
第三节 极限平衡理论求地基的 极限承载力
根据 (8-6)、（ 8-7）可得（ 8-11）：
上式为无粘土体处在极限平衡状态时的基本偏微分方程组，由特
征线法求解，可得到地基 承载力。
一、普郎德尔 -瑞纳斯极限承载力理论
普郎德尔 -瑞纳斯基本假设,（ 1）地基土均匀、各向同性，且 ?=0
（ 2）基础地面完全光滑 (3) D<B 基底平面为地基表面,滑裂
面只延伸到这一假定的地基表面
0)2c o s2( s i ns i n22s i ns i n)2c o ss i n1(
)2c o s2( s i ns i n22s i ns i n)2c o ss i n1(
0
00
0
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?90° -￠
实际地面
图 6-5 滑裂体的过渡区
滑裂土体分为三区：
Ⅰ 朗肯主动区
Ⅲ 朗肯被动区
Ⅱ 过渡区
Ⅱ
IⅢ
1.当 荷载达到极限荷载时,地基内出现连续的滑裂面,滑裂
区由 3个 区组成, 第二区为过渡区,其对数螺线可表示为,
r=r0e?tan?
2,由特征线法求解得,
Pu=qNq+cNc (8-13)
式中 Nq=f(c,?),Nc= g(c,?)
由力平衡法求极限 承载力 同样可得 (8-13),(图 8-10)
?90° -￠
实际地面
特别说明,对于粘性大、排水条件差的饱和粘土地基，可
按
?u =0法求极限 承载力：
Pu=q+5.14c
(8-20)
三,极限 承载力的一般计算公式
索科洛夫斯基将两种介质叠加：
（ 1）理想散粒体 c=0,??0 和 ??0 的土体
（ 2）无重的纯 粘性体 c ? 0,?=0, ?=0
得地基承载力的一般计算公式
Puu=1/2?BN?+qNq+cNc
式中 BN?,Nq,Nc为与 ?和倾角 ?有关的系数，表 8-2
四、用极限平衡理论求地基的 极限承载力方法讨论
（一）、影响 的 极限承载力的因素
1、滑裂土体自重产生的抗力
与 ?,?,B有关,且与 B成正比
2,q所产生的 的抗力
与 q,?有关,但此部分 极限 荷载 与 B无关
3,c所产生的 抗力
与 c ?有关，与 B无关
（二）关于 承载力系数
（ 1） ?较大的粘土，采用 普郎德尔理论，承载力 Pu误差较大
（ 2） ?较小的粘土，采用 普郎德尔理论，承载力 Pu误差较小
(3) c=0的无粘性土,基础埋深 d对 Pu起极其重要作用
一、基础下形成刚性核（ 弹性楔 ）时 地基的 极限承
载力 —— 太沙基 (K.Terzaghi)课题
太沙基公式作为一种半理论半经验法，得到最广泛应用。
（一）基本假设
（ 1）基础底面完全粗糙, 刚性核的尖端处，左右两侧的曲线滑
裂面必定与铅垂线相切
（ 2）除弹性楔体外，滑动区域范围内的土体处于塑性平衡状态
（ 3）基础底面以上两测的土体用相当均布 荷载 q= ?D 代替
（二）从 刚性核的 静力平衡条件求地基 极限承载力
第四节 地基 极限承载力的其他分析方法
B
B
C
AW
Ep
Pu
Ep
W
考虑单位长度的基础，写出平衡条件：
PuB=2 Ep+cBtan ?-W （ 8-26）
式中 W 为 刚性核自重 W= 1/4 ?B2 tan ?
cBtan?为 AC和 BC面上粘聚力的竖
向分量
（三）被动土压力 Ep的确定
Ep是重度 ?,粘聚力 c及 均布
荷载 q三种因素引起的总值，
要精确地确定它是很困难的，
对于工程实用要求，可用下
述简化方法计算：
（ 1）由土体自重 引起的 Ep
￠B
pp?=1/2 ? H2 Kr =1/8 ?B2tan ?Kr (1)
（ 2）由土的粘聚力 c引起的被动土压力 Ep
ppc=cH Kc=1/2cB tan ?Kc (2)
(3）由 q引起的被动土压力 Ep
ppq=qH Kq=1/2qB tan ?Kq (3)
式中,Kr,Kc,Kq分别为 重度 ?,粘聚力 c及 均布 荷载 q引起
的被动土压力系数。将（ 1）、（ 2）、（ 3）代入（ 8-26）得
太沙基极限承载力公式：
Pu=1/2 ?BNr+cNc+qNq
式中, Nq=e(3/2?- ?)/2cos2(450+ ?/2)
Nc=(Nq-1)cot ?
对于 N?太沙基建议由下列半经验公 式表示：
N?=1.8 (Nq-1) tan?
太沙基承载力系数表,见, 土力学与环境土工学,,同济大
学，胡中雄 编著
太沙基公 式适用条件：均布条形 荷载,地基处于整
体 剪切破坏
对非条形基础 建议由下列公 式修正
方形基础,Pu=0.4?BN?+qNq+1.2cNc
圆形基础,Pu=0.6?BN?+qNq+1.2cNc
对矩形基础,可按 方形 (B/L=1)和条形 (B/L=0)进行插入,
太沙基公 式的安全系数一般取 2~3
不排水条件的饱和粘土地基，按 太沙基公 式求得
Pu= q+5.7c
显然,与 (8-20)比形成刚性核后地基的承载力略有提高。
(四 )、局部 剪切破坏时基极限承载力
将 c/=2/3c,tan?/=2/3tan?代入 Pu中即可
二、考虑基底以上土体抗剪强度时地基的 极限承载力
—— 梅耶霍夫课题
三、汉森极限承载力公式
综合修正公式
说明：对于成层土，各土层的
强度相差不太悬殊的情况下，
汉森建议先按下式近似确定持
力层的最大深度
Zman=?B
Zman=?B
?1,?1,c1
?2,?2,c2
式中,B——基础宽度
?——系数，根据 土层平均内摩擦角和荷载的倾
?角从表中查取。
三、圆弧滑动法验算地基的稳定性
对于复杂情况，工程上通常把滑裂面简化成圆弧面，
用圆弧滑动法验算地基土沿深层滑动的稳定性。
安全系数：
工程中，必须求出最危险的滑动圆弧，相应的安全系数才
是地基的稳定安全系数。 —— 计算机编程完成。
jvhhv
iiiiiii
s JLLPLDBP
lchbRF
???
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)(
)t a nc os(
?
???
一,地基的容许 承载力的概念
“两种极限状态的地基设计”：即 容许 承载力应满
足 两方面的要求
二、按控制地基中 极限平衡区（塑性区）发展范围的方法
（一）、基本概念
临塑荷载 pcr,临界荷载 p1/4,p1/3
特性（ 1）地基将产生或已产生局
部破坏，但尚未整体失稳；
（ 2）近似用弹性理论计算
][
0
ll
pp u
??
?
s
P=P/Apupcr
第五节 地基的容许 极限承载力
（二）、极限平衡区（塑性区）发展范围的一般计算方法
1、地基中某点应力
竖向应力 =用弹性理论求得的计算点的 竖向 附加应力 +自重应力
水平 应力 =用弹性理论求得的计算点的水平附加应力 +自重应力
?K0
剪应力 =用弹性理论求得的计算点的附加 剪应力
其中, K0为静止土压力系数。
2、计算各点的主应力，并判断 计算点是否处于 极限平衡状态
方法同第五章第二节
3、按照 处于 极限平衡状态点子的分布，绘出地基内土体 处于 极限
平衡区域的范围
说明：极限平衡区域的范围，实际上是不完全正确的。
（二）长条均布荷载下极限平衡区的发展和界限荷载的计算方法
1、极限平衡区的界线方程式和最大发展深度
由 弹性力学解,条形均布荷载作用下,M点：
（ 8-49）
假定,静止土压力系数 K0=1，
计入自重后 M点主应力总值为：
（ 8-50）
应用极限平衡公式（ 5-7），将（ 8-50）
代入并整理得：
)2s in2(
)2s in2(
3
1
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Dp
Dp
)()2s in2(
)()2s in2(
3
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zDrDp
zDrDp
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DcDpz ????? ? ?????? ? c o t)2s i n 2s i n( （ 8-51）
工程中只要知道极限平衡区最大的发展深度就足
够了，将（ 8-51）对 ?求导：
（ 8-52）
将（ 8-52）代入 （ 8-51）得
2、临塑荷载 pcr,临界荷载 p1/4,p1/3
取 Zmax=nB，则
240
???
? ????d
dz
DcDpz ?????? ? ?????? ? c o t)2( co t
cqnBp n ??? ????? ???????? ????? ?????? 2/c o t c o t2/c o t 2/c o t2/c o t )(
Pn=1/2Nr?B+qNq+Ncc
一般认为，对中心受压基础，塑性区最大深度控制在基
础宽度的 1/4；对偏心受压基础，宜控制在基础宽度的
1/3；
令 Zmax=1/4B,1/3B 得 p1/4, p1/3
P1/4=1/2N1/4?B+qNq+Ncc
P1/3=1/2N1/3?B+qNq+Ncc
其中
令 Zmax=0,Pcr=qNq+Ncc
说明, ? q= ?D 中容重 ?应采用基础底面
? 1/2Nr?B中容重 ?应为基础下土的容重
?所有 容重,地下水位以下采用 浮容重
)2/( co t3
2,
)2/( co t4
2
3/14/1 ???
?
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?????? NN
基本要求
1,掌握临塑荷载和塑性荷载的概念及计算
方法
2,了解普朗德尔, 赖斯纳理论；掌握太沙
基公式；掌握地基承载力的设计值及其确定方法
第一节 概述
某点 ?> ? f,极限平衡状态
某区域内, ?> ? f,则处于极限平衡区,地基失稳
地基承载力分为两种,
1,极限承载力
与土性、基础埋深、宽度、形状等有关
2,容许承载力,与建筑的结构特性等有关
本章对土性的假设, 理想弹塑性体
第二节 地基的变形和失稳
一、临塑荷载 pcr和极限承载力 pu
地基变形的三个阶段：
1,压密阶段 (oa)
2,局部剪损阶段 (ab)
3,整体剪切破坏阶段
三阶段之间的界限荷载 pcr和 pu
o
s
P=P/Apcr pu
二、竖直 荷载下地基的破坏形式 （动画）
1,图 8-3
整体剪切破坏 (b), 土质坚硬、密实,埋深
局部剪切破坏 (c), 地基土质疏松
冲剪破坏（ d）：地基土质疏松
随着 基础埋深增加,局部剪切破坏、冲剪破坏更为常见。
魏西克（ Vesic,A,B）提出了用土的相对压缩性判别地
基 究竟要发生哪种破坏模式。
土的刚度指数 Ir和临界刚度指数 Ir(cr)为
q__ 基础的側面荷载 q=?D
Ir > Ir(cr),土相对不可压缩，发生 整体剪切破坏
Ir < Ir(cr),土相对可压缩,发生 局部剪切破坏或冲剪破坏
对于整体剪切破坏,已有较多的理论对其进行研究,而对局部剪
切破坏或冲剪破坏模式,目前尚无理论公式可循, 有学者建议将
整体剪切破坏模式的公式加以适当修正,可用于局部剪切破坏 ;
冲剪破坏模式很少见,可不予研究,
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)2/45c o t (2/1 0)/45.03.3()( ??? ? LBcrr eI
三、倾斜 荷载下地基的破坏形式
水工教科书提出基底临界竖向力
pcr=A ? Btan ? +2c(1+tan?) (8-3)
竖向荷载 pv< pcr 属表层滑动
安全系数 Fs=f? pv/ ? ph
竖向荷载 pv>pcr 属深层整体滑动
可用本章后面所述的方法,验算 地基失稳可能性,
一,极限平衡理论的原理
极限平衡理论 —— 土体 处于理想塑性状态时的
应力分布和滑裂面轨迹的理论。
应用范围：工程中常用于求解地基的 极限承载力和
地基的 滑裂面轨迹。
求解思路,1,仅有自重时,平面问题的静力平衡方程
(8-6)
2,极限平衡状态条件
无粘土 粘土 (8-7)
0??????
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21
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21
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第三节 极限平衡理论求地基的 极限承载力
根据 (8-6)、（ 8-7）可得（ 8-11）：
上式为无粘土体处在极限平衡状态时的基本偏微分方程组，由特
征线法求解，可得到地基 承载力。
一、普郎德尔 -瑞纳斯极限承载力理论
普郎德尔 -瑞纳斯基本假设,（ 1）地基土均匀、各向同性，且 ?=0
（ 2）基础地面完全光滑 (3) D<B 基底平面为地基表面,滑裂
面只延伸到这一假定的地基表面
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滑裂土体分为三区：
Ⅰ 朗肯主动区
Ⅲ 朗肯被动区
Ⅱ 过渡区
Ⅱ
IⅢ
1.当 荷载达到极限荷载时,地基内出现连续的滑裂面,滑裂
区由 3个 区组成, 第二区为过渡区,其对数螺线可表示为,
r=r0e?tan?
2,由特征线法求解得,
Pu=qNq+cNc (8-13)
式中 Nq=f(c,?),Nc= g(c,?)
由力平衡法求极限 承载力 同样可得 (8-13),(图 8-10)
?90° -￠
实际地面
特别说明,对于粘性大、排水条件差的饱和粘土地基，可
按
?u =0法求极限 承载力：
Pu=q+5.14c
(8-20)
三,极限 承载力的一般计算公式
索科洛夫斯基将两种介质叠加：
（ 1）理想散粒体 c=0,??0 和 ??0 的土体
（ 2）无重的纯 粘性体 c ? 0,?=0, ?=0
得地基承载力的一般计算公式
Puu=1/2?BN?+qNq+cNc
式中 BN?,Nq,Nc为与 ?和倾角 ?有关的系数，表 8-2
四、用极限平衡理论求地基的 极限承载力方法讨论
（一）、影响 的 极限承载力的因素
1、滑裂土体自重产生的抗力
与 ?,?,B有关,且与 B成正比
2,q所产生的 的抗力
与 q,?有关,但此部分 极限 荷载 与 B无关
3,c所产生的 抗力
与 c ?有关，与 B无关
（二）关于 承载力系数
（ 1） ?较大的粘土，采用 普郎德尔理论，承载力 Pu误差较大
（ 2） ?较小的粘土，采用 普郎德尔理论，承载力 Pu误差较小
(3) c=0的无粘性土,基础埋深 d对 Pu起极其重要作用
一、基础下形成刚性核（ 弹性楔 ）时 地基的 极限承
载力 —— 太沙基 (K.Terzaghi)课题
太沙基公式作为一种半理论半经验法，得到最广泛应用。
（一）基本假设
（ 1）基础底面完全粗糙, 刚性核的尖端处，左右两侧的曲线滑
裂面必定与铅垂线相切
（ 2）除弹性楔体外，滑动区域范围内的土体处于塑性平衡状态
（ 3）基础底面以上两测的土体用相当均布 荷载 q= ?D 代替
（二）从 刚性核的 静力平衡条件求地基 极限承载力
第四节 地基 极限承载力的其他分析方法
B
B
C
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Ep
Pu
Ep
W
考虑单位长度的基础，写出平衡条件：
PuB=2 Ep+cBtan ?-W （ 8-26）
式中 W 为 刚性核自重 W= 1/4 ?B2 tan ?
cBtan?为 AC和 BC面上粘聚力的竖
向分量
（三）被动土压力 Ep的确定
Ep是重度 ?,粘聚力 c及 均布
荷载 q三种因素引起的总值，
要精确地确定它是很困难的，
对于工程实用要求，可用下
述简化方法计算：
（ 1）由土体自重 引起的 Ep
￠B
pp?=1/2 ? H2 Kr =1/8 ?B2tan ?Kr (1)
（ 2）由土的粘聚力 c引起的被动土压力 Ep
ppc=cH Kc=1/2cB tan ?Kc (2)
(3）由 q引起的被动土压力 Ep
ppq=qH Kq=1/2qB tan ?Kq (3)
式中,Kr,Kc,Kq分别为 重度 ?,粘聚力 c及 均布 荷载 q引起
的被动土压力系数。将（ 1）、（ 2）、（ 3）代入（ 8-26）得
太沙基极限承载力公式：
Pu=1/2 ?BNr+cNc+qNq
式中, Nq=e(3/2?- ?)/2cos2(450+ ?/2)
Nc=(Nq-1)cot ?
对于 N?太沙基建议由下列半经验公 式表示：
N?=1.8 (Nq-1) tan?
太沙基承载力系数表,见, 土力学与环境土工学,,同济大
学，胡中雄 编著
太沙基公 式适用条件：均布条形 荷载,地基处于整
体 剪切破坏
对非条形基础 建议由下列公 式修正
方形基础,Pu=0.4?BN?+qNq+1.2cNc
圆形基础,Pu=0.6?BN?+qNq+1.2cNc
对矩形基础,可按 方形 (B/L=1)和条形 (B/L=0)进行插入,
太沙基公 式的安全系数一般取 2~3
不排水条件的饱和粘土地基，按 太沙基公 式求得
Pu= q+5.7c
显然,与 (8-20)比形成刚性核后地基的承载力略有提高。
(四 )、局部 剪切破坏时基极限承载力
将 c/=2/3c,tan?/=2/3tan?代入 Pu中即可
二、考虑基底以上土体抗剪强度时地基的 极限承载力
—— 梅耶霍夫课题
三、汉森极限承载力公式
综合修正公式
说明：对于成层土，各土层的
强度相差不太悬殊的情况下，
汉森建议先按下式近似确定持
力层的最大深度
Zman=?B
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式中,B——基础宽度
?——系数，根据 土层平均内摩擦角和荷载的倾
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三、圆弧滑动法验算地基的稳定性
对于复杂情况，工程上通常把滑裂面简化成圆弧面，
用圆弧滑动法验算地基土沿深层滑动的稳定性。
安全系数：
工程中，必须求出最危险的滑动圆弧，相应的安全系数才
是地基的稳定安全系数。 —— 计算机编程完成。
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一,地基的容许 承载力的概念
“两种极限状态的地基设计”：即 容许 承载力应满
足 两方面的要求
二、按控制地基中 极限平衡区（塑性区）发展范围的方法
（一）、基本概念
临塑荷载 pcr,临界荷载 p1/4,p1/3
特性（ 1）地基将产生或已产生局
部破坏，但尚未整体失稳；
（ 2）近似用弹性理论计算
][
0
ll
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P=P/Apupcr
第五节 地基的容许 极限承载力
（二）、极限平衡区（塑性区）发展范围的一般计算方法
1、地基中某点应力
竖向应力 =用弹性理论求得的计算点的 竖向 附加应力 +自重应力
水平 应力 =用弹性理论求得的计算点的水平附加应力 +自重应力
?K0
剪应力 =用弹性理论求得的计算点的附加 剪应力
其中, K0为静止土压力系数。
2、计算各点的主应力，并判断 计算点是否处于 极限平衡状态
方法同第五章第二节
3、按照 处于 极限平衡状态点子的分布，绘出地基内土体 处于 极限
平衡区域的范围
说明：极限平衡区域的范围，实际上是不完全正确的。
（二）长条均布荷载下极限平衡区的发展和界限荷载的计算方法
1、极限平衡区的界线方程式和最大发展深度
由 弹性力学解,条形均布荷载作用下,M点：
（ 8-49）
假定,静止土压力系数 K0=1，
计入自重后 M点主应力总值为：
（ 8-50）
应用极限平衡公式（ 5-7），将（ 8-50）
代入并整理得：
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工程中只要知道极限平衡区最大的发展深度就足
够了，将（ 8-51）对 ?求导：
（ 8-52）
将（ 8-52）代入 （ 8-51）得
2、临塑荷载 pcr,临界荷载 p1/4,p1/3
取 Zmax=nB，则
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Pn=1/2Nr?B+qNq+Ncc
一般认为，对中心受压基础，塑性区最大深度控制在基
础宽度的 1/4；对偏心受压基础，宜控制在基础宽度的
1/3；
令 Zmax=1/4B,1/3B 得 p1/4, p1/3
P1/4=1/2N1/4?B+qNq+Ncc
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其中
令 Zmax=0,Pcr=qNq+Ncc
说明, ? q= ?D 中容重 ?应采用基础底面
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?所有 容重,地下水位以下采用 浮容重
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