第七章 弯曲变形
授课学时：4学时
主要内容：
推导；积分法的求解过程；边界条件的建立；光滑连续条件的确定；叠加法。
$7.1挠曲线近似微分方程
1．概念
挠曲线：当梁在面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为面内的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线。
挠度：横截面的形心在垂直于梁轴（轴）方向的线位移，称为横截面的挠度，并用符号表示。
转角：横截面的角位移，称为截面的转角，用符号表示。从图中可以看到，截面的转角等于挠曲线以点的切线与轴的夹角。
综上所述，求梁的任一截面的挠度和转角，关键在于确定梁的挠曲线方程
2．挠曲线近似微分方程
梁轴的曲率半径与弯矩的关系为
将微分弧段放大，有如下关系：
， 。由于挠度很小，，上式可以写成
考虑到弯矩的符号与一致，上式写成
将代入上式得出
$7.2积分法求弯曲变形
1．转角和挠曲线方程
对两侧积分，可得梁的转角方程为
再积分一次，即可得梁的挠曲线方程
式中和为积分常数，它们可由梁的约束所提供的已知位移来确定。
2．积分常数的确定—边界条件和光滑连续性
固定端，挠度和转角都等于零；铰支座上挠度等于零。弯曲变形的对称点上转角等于零。在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。
例：所示简支梁受到集中力作用，讨论它的弯曲变形。
解：
①求反力并列梁的弯矩方程
②建立坐标系，分两段列出梁的弯矩方程为：
段
段
③对挠曲线近似微分方程积分，将和两段的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表如下。
段
段
确定积分常数 积分常数、和、，需要连续条件和边界条件来确定。即挠曲线在截面的连续条件为
当时，
即：
由上两式解得
此外，梁在、两端的边界条件为
时，
时，
即：
解得
梁和段的转角方程和挠曲线方程列于下表：
AC段
CB段
④求梁的最大挠度和转角
在梁的左端截面的转角为
在梁右端截面的转角为
当时，可以断定为最大转角。
为了确定挠度为极值的截面，先确定截面的转角
若，则转角。段挠曲线为光滑连续曲线，而，当转角从截面到截面连续地由负值变为正值时，段内必有一截面转角为零。为此，令，即
解得
的转角为零，亦即挠度最大的截面位置。由段的挠曲线方程可求得梁的最大挠度为
$7.3用叠加法求弯曲变形
当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。
应用叠加法求梁的变形时，若已知梁在简单载荷作用时的变形，是很方便的。
例1 起重机大梁的自重是集度为的均布载荷，吊重为作用于中间的集中力。试求大梁跨度中间的挠度。
解：
（1）分解载荷
均布载荷，集中力
（2）查表叠加
均布载荷单独作用下
集中力单独作用下
在均布载荷和集中力共同作用下
例2 将车床主轴简化成等截面的外伸梁。轴承A和B简化为铰支座，P1为切削力，P2为齿轮传动力。试求截面B的转角和端点C的挠度。
解：
（1）分解载荷
集中力，
（2）计算在截面B处的剪力和弯矩
，
（3）查表叠加
截面因M引起的转角
单独作用引起的转角
转角叠加
因转角引起的C处的挠度
引起的C点的挠度
C点挠度的叠加
$7.4简单超静定梁
1．求解步骤
1）判断静不定度
2）建立基本系统
解除静不定结构的内部和外部多余约束后所得到的静定结构(一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统)
3）建立相当系统(作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统)
4）求解静不定问题
2．求解简单静不定结构
例 求超静定梁B处的支反力及中点C的挠度。
解：
去掉支座B，代替以约束反力。
物理关系（力与变形的关系），
变形协调关系
利用叠加法得
