第六章 弯曲应力 授课学时：6学时 主要内容：纯弯曲的正应力；横力弯曲切应力。 $6.1 梁的弯曲 1．横力弯曲 横截面上既有Q又有M的情况。如 AC、DB段。 2．纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如CD段。    3．梁的纯弯曲实验 （1）现象：横向线a-b变形后仍为直线，但有转动；纵向线变变为曲线，且上面压缩下面拉伸；横向线与纵向线变形后仍垂直。 （2）中性层：梁内有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 （3）中性轴：中性层与横截面的交线。  $6.2纯弯曲时的正应力 1．变形几何关系 从梁中截取出长为的一个微段，横截面选用如图所示的坐标系。图中，轴为横截面的对称轴，轴为中性轴。从图中可以看到，横截面间相对转过的角度为，中 性层曲率半径为，距中性层为处的任一纵线（纵向纤维）为圆弧曲线。因此，纵线的伸长为  而其线应变为  纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。 2．物理关系 梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，可由虎克定律得到横截面上坐标为处各点的正应力为  该式表明，横截面上各点的正应力与点的坐标y成正比。中性轴上各点的正应力均为零，中性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 3．静力关系 横截面上坐标为的点的正应力为，截面上各点的微内力组成与横截面垂直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量，即平行轴的轴力，对轴的力偶矩和对轴的力偶矩，分别为 ，， 考虑左侧平衡，，，得 ，  横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩  式中积分  是横截面对中性轴的惯性距，上式可写成为  式中，越大，则曲率越小。因此，称为梁的抗弯刚度。将该式代入，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式  即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹入的一侧受压。 则截面上的最大正应力为  $6.3横力弯曲时的正应力 1．横力弯曲时的正应力 横力弯曲时的细长梁，即截面高度远小于跨度的梁，横截面将不在保持为平面。纵向纤维间的正应力也存在。但用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，能够满足精度的要求。 横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式  引入符号 ，则截面上最大弯曲正应力可以表达为  ，强度条件为  称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关。矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为，宽为的矩形截面： 直径为的圆截面： 2．例题 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）1——1截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； 解：画M图求截面弯矩  求应力      $6.4 弯曲切应力 1．矩形截面中的弯曲切应力 1）矩形截面中的弯曲切应力假设 大小：矩形横截面中弯曲切应力方向与剪力方向相同。 方向：高宽比较大的矩形截面中的弯曲切应力沿宽度均匀分布。 2）研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段dx，在微段上再取一块如图，列平衡方程： （1） （2）（3）（3）带入（1）、（2）得 由剪应力互等得   于是  并时有 2．工字钢截面 工字形截面可以看作由三个矩形截面组成，因此其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。 仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式。  将此式代入弯曲剪应力公式，可得腹板上弯曲剪应力的计算公式  将时，在截面中性轴上时，在腹板与翼缘的交带入上式，得   3．圆形截面梁 ，，  $6.5梁的正应力和剪应力强度条件 、提高弯曲强度的措施 1．弯曲正应力和剪应力强度条件 梁在弯曲时，横截面上一部分点受拉应力，另一部分点受压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中性轴的截面，对于拉压强度不等的材料，拉压应力均不应该超过各自的许用应力。于是强度条件为 ， 例 求T形截面梁的最大切应力。  解： （1）求支反力 ， （2）作剪力图  （3）求最大切应力    2．提高弯曲强度的措施 1）梁的合理受力(降低最大弯矩) (1)合理放置支座(从设计方案考虑) 双杠，等强， 以剪支梁为例，最大弯矩为  若两端支座各向中心移动，最大弯矩减小为  （2)合理布置载荷(从使用方案考虑) 2）合理设计截面形状(增大抗弯截面模量) （1）梁的截面优化  ，对于宽，高为的矩形，抗弯截面模量 。因此，高度越大，越大，越小。 在外边缘达到许用应力时，中性轴附近的应力很小，造成材料的浪费。例如：圆形截面。理想的情况是将面积之半分布于距中性轴为处。 a.塑性材料 上、下对称 抗弯更好，抗扭差。 b.脆性材料 采用T字型或上下不对称的工字型截面。 3）等强度梁-截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。 由 得  若图示悬臂梁为等强度梁。等宽度h，高度为x的函数，b=b(x)。则  得出 按剪切强度确定截面宽度的最小值。   由于变截面梁并不节省材料，且加工麻烦，因此采用阶梯梁(加工方便)。