第七章 弯曲 变形
$7.1挠曲线近似微分方程
x
x
L P
A Bv
B’?
?
y
挠曲线,当梁在 xy面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为面内 xy
的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线。
挠度,横截面的形心在垂直于梁轴（ x轴）方向的线位移，称
为横截面的挠度，并用符号 v 表示。
? ?xf??
转角,横截面的角位移，称
为截面的转角，用符号
? 表示。
? ?xfdxdtg '?? ??
? ? dxdvxftg ??? '??
因此，确定梁的挠曲线方程，就确定了梁的任一截面的挠度和转角
1．概念
2．挠曲线近似微分方程
梁轴的曲率半径与弯矩的关系为
EIxMx )()(1 ??
将微分弧段 ds放大，有如下关系：
?? dds ?
? ? EI
M
xds
d ??
?
? 1
由于挠度很小, dxds ?
EI
M
dx
d ??
考虑到弯矩的符号与
dx
d? 一致，上式写成 EI
M
dx
d ??
将
dx
dv?? 代入上式得出
EI
xM
dx
dv )(
2
''
?
x
x
L P
A Bv
B’?
?
y
上式可以写成，
$7.2积分法求弯曲变形
EI
xMv )('' ?
CdxEI xMvx ??? ? )()( '?
再积分一次，即可得梁的挠曲线方程
DCxdxdxEI xMxv ????????? ? ? )()(
式中 C和 D为积分常数，它们可由梁的约束所提供的已知位移来
确定。
转角和挠曲线方程对 两侧积分，可得梁的转角方程
2．积分常数的确定 — 边界条件和光滑连续性
固定端，挠度和转角都等于零；铰支座上挠度等于零。弯曲变
形的对称点上转角等于零。在挠曲线的任意点上，有唯一确定
的挠度和转角。
1．转角方程
例 所示简支梁 AB 受集中力 P 作用，试讨论它的弯曲变形。
解,①求反力并列梁的弯矩方程
PlbRA ? P
l
aR
A ?
分两段列 AB梁的弯矩方程为：
AC段
111 )( Pxl
bxM ? )0(
1 ax ??
CB段
)()( 2222 axPPxlbxM ???
② 列出梁的各段的挠曲线近似微分方程并积分 将和两段
的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表如下。
)( 2 lxa ??
x
y P
a b
x1
x2
A BC
RA
RB
l
AC 段 )0(
1 ax ?? CB 段 )( 2 lxa ??
1
''
1 xl
PbE Iv ?
1
2
1
'
1 2 Cxl
PbE I v ??
111
3
16 DxCxl
PbE I v ???
)( 22''2 axPxlPbE I v ???
2
2
2
2
2
'
2 )(22 Cax
Px
l
PbE I v ????
22232322 )(66 DxCax
Px
l
PbE I v ?????
③ 确定积分常数
梁在 A,B两端的边界条件为 0
1 ?x
01 ?y
lx ?2 02 ?y时，
时，
挠曲线在截面的连续条件为当 时，axx ??
21
21 ?? ? 21 vv ?
解得
021 ?? DD )(
6
22
21 bll
PbCC ????
梁 AC和 CB段的转角方程和挠曲线方程列于下表：
AC段 CB段
ax ?? 10 lxa ?? 2
)(
6
)(
)3(
6
)(
2
1
221
11
2
1
22
11
xbl
E I l
P b x
xv
xbl
E I l
Pbx
????
?????
??
?
??
? ??????
??
?
??
? ??????
3
2
2
2
22
22
2
2
2
1
22
22
)()(
6
)(
)(
3
)3(
6
)(
ax
b
l
xbl
E I l
Pb
xv
ax
b
l
xbl
E I l
Pb
x?
④ 求梁的最大挠度和转角
在梁的左端截面的转角为
E I l
blP a bx
axA 6
)()(
111
????
???
在梁右端截面的转角为
E I l
alP a bx
axB 6
)()(
2122
???
???
当 ba? 时，可以断定
B?
为最大转角。
为了确定挠度为极值的截面，先确定 C截面的转角
)(3)(
111
baE I lP a bx axC ??? ???
若 ba?,AC段内必有一截面转角为零。
令 0)(
11 ?x? 0)3(
6
2
0
22 ???? xbl
E I l
Pb
解得
3
22
0
blx ??
0x
的转角为零，亦即挠度最大的截面位置。
则
由 AC段的挠曲线方程可
求得梁 AB的最大挠度为 ? ? )(39)( 2211m a x 01 blE I lPbxv xx ??? ??
例 起重机大梁的自重是集度为 q的均布载荷,吊重 P为作用
于中间的集中力。试求大梁跨度中间的挠度。
$7.3用叠加法求弯曲变形
当梁上有几个简单载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单
独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用
时的总变形。
q P
A BC
L/2 L/2
q
P
? ?pcf
解,(1)分解载荷,均布载荷 q，集中力 P
（ 2）查表叠加
均布载荷单独作用下 ? ?
EI
qlf
qc 384
5 4??
集中力单独作用下 ? ?
EI
Plf
Pc 48
3??
在均布载荷和集中力共同作用下
EI
Pl
EI
qlf
c 48384
5 34 ???
例 将车床主轴简化成等截面的外伸梁。轴承 A和 B简化为铰支座，
P1为切削力,P2为齿轮传动力。试求截面 B的转角和端点 C的挠
度。
解,（ 1）分解载荷, 2P集中力 1P
（ 2）计算在截面 B处的剪力和弯矩
1PQ?, PaM ?
? ? EIalPEIMlMB 33 1???截面因 M引起的转角
P2单独作用引起的转角 ? ?
EI
lP
PB 16
2
2
2 ???
EI
lP
EI
alP
B 163
2
21 ???
1PC 2CvB
转角叠加
2P B?M 1CvQA B CD 1P2P
因转角引起的 C处的挠度
EI
alP
EI
laPav
Bc 163.
2
2
2
1
1 ??? ?
（ 3）查表叠加
P1引起的 C点的挠度
EI
aPv
c 3
3
1
2 ?
C点挠度的叠加
? ?
EI
alP
EI
alaPvvv
ccc 163
2
2
2
1
21 ?
???? 1P
C 2C
v
B
2 B?M 1CvQA B CD 1P2P
$7.4简单超静定 梁
3）建立相当系统
1．求解步骤
1）判断静不定度
2）建立基本系统
一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统
4）根据变形协调条件 求解静不定问题
A
B
C
P
A
B
P
BPv
C BYBPv
B 1
A
Pl163 Pl
325
A
B
C
BY
P作用有原静不定梁载荷与多余约
束反力的基本系统
2．求解简单静不定结构
例 求超静定梁 B处的支反力及中点 C的挠度。
BY解：
去掉支座 B，代替以约束反力
EI
lYv B
BY 3
3
??
力与变形的关系
? ? EIPllllEIPv BP 4852326 32 ???
?
??
?
??
0?? BPBY vv变形协调关系
04853 33 ??? EIPlEIlY B
16
5PY
B ?
解得
? ? ? ?? ? ? ?
EI
Plll
EI
lP
EI
lP
v c 7687236 216
5
3
2 3
23
??????
利用叠加法得
A
B
C
P
A
B
P
BPv
C BYBPv
B 1
A
Pl163 Pl
325
A
B
C
BY
P