第九章 组合变形
1．定义
在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种
变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变
形称为组合变形。
2．组合变形形式
§ 9–1概念zo P?y x
。
C
两个平面弯曲的组合 拉伸或压缩与弯曲的组合
外力分析：外力向形心 (后弯心 )简化并沿主惯性轴分解
内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。
应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强
度条件。
对于线弹性状态的构件，将其组合
变形分解为基本变形，考虑在每一
种基本变形下的应力和变形，
然后在叠加。
3．组合变形的研究方法
—— 叠加原理
扭转与弯曲
m B
A
E C
P Pta b
l
4．解题步骤
§ 9–2拉 (压 )弯组合
A
AH
P
AR
xT
yT
T
C
B
M x
12kN,mN
x
kN24
例 起重机的最大吊重 P=12kN，
[σ ]=100kN/m2试为横梁 AB选
择适用的工字钢。
0?? AM
解,（ 1）受力分析
由 得
kNT y 18?kNTT
yx 245.1
2 ??
（ 2）作 AB的弯矩图和剪力图,确定
C左侧截面为危险截面。
（ 3）确定工字钢型号
按弯曲强度确定工字钢的抗弯截面系数
+
=
? ? 36
3
1 2 0101 0 0 1012 cmMW ????? ?
查表取 W=141cm3
的 16号工字钢，其横截面积为
26.1cm3 。
在 C左侧的下边缘压应力最大，
需要进行校核。
固所选工字钢为合适。
A
AH
P
AR
xT
yT
T
C
B
M x
12kN,m
M P aM P a
W
M
A
N
1 0 03.94
101 4 1
1012
104.26
1024
6
3
4
3
m a x
m a x
??
?
??
?
????
???
N
kN24
x
§ 9–3斜弯曲
2）叠加,对两个平面弯曲进行研究；
然后将计算结果叠加起来。
梁的横向力不与横截面对称轴或形心主惯性轴重合，这时杆件
将在形心主惯性平面内发生弯曲，变形后的轴线与外力不在同
一纵向平面内，
2．解题方法
1）分解,将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正
交的平面弯曲。
zo P?y x
。
C
例 矩形截面悬臂梁，求根部的最大
应力和梁端部的位移。
解,（ 1）将外载荷沿横截面的形心主轴分解
1．斜弯曲概念
zo P?y x
C P?zf
yffx?
?co sPP y ? ?s inPP z ?
（ 2） 外载荷在固定端两平面内的弯矩
?co sPllPM yz ????
?s i nPllPM zy ????
（ 3）应力
zM
引起任意点 C处应力
yIPlI yM
zz
z ???? ?? co s'
由弯矩
yM
引起 任意点 C处应力
zIPlI yM
yy
y ???? ?? s i n''
由弯矩
???
?
???
? ??????? z
I
Ply
I
Pl
yz
????? s i nc o s'''
（ 4）最大正应力 — 在 C处的应力叠加为
（ 5）变形计算
yP
引起的垂直位移
zz
y
y EI
Pl
EI
lPf
3
c o s
3
33 ?
??
由 zP 引起的垂直位移
yy
z
z EI
Pl
EI
lPf
3
s i n
3
33 ?
??
由
将 zf,
yf
几何叠加得
223
2
2
2
1
s i nc o s
3 ?
?
?
?
???
?
???
?
?
???
????
yz IIE
Plfff ??
?? t a nt a n
y
z
y
z
I
I
f
f ??
上式说明挠度所在平面与外力所在的平面并不重合。
§ 9–4弯曲与扭转的组合
P向轴心简化得一等值力和扭矩
2
PDmT ??
xz
m
P
A B CE x
y
z 2PD
Pt
平面内的弯矩
l
abPM t
y ?m a x,
xy 平面内的弯矩
l
P a bM
z ?m a x,
222
m a x,
2
m a x,PPl
abMMM
tzy ????
m BA E C
P Pta b
l
x
2
PD
T
x
yM
l
abP?
在危险截面上，与扭矩 T对应的边缘
上的切应力极值为
tW
T??
1．外力向杆件截面形心简化
2．画内力图确定危险截面
W
M??
与合成弯矩对应的弯曲正应力的极值为
D点的主应力为
0
42
1
2
2
22
3
1
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
按第三强度理论，强度条件是
? ???? ?? 31
? ???? ?? 22 4
m BA E C
P Pta b
l
m
P
A B CE x
yz 2
PD
P
t x2
PDT
x
yM
labP?
x
lPab
zM
对于圆轴
WWt 2?,其强度条件为
3．确定危险点并建立强度条件
][
22
???W TM
按第四强度理论，强度条件为
? ? ? ? ? ?? ? ? ???????? ?????? 21323222121
经化简得出
? ???? ?? 22 3
对于圆轴，其强度条件为
][
75.0 22
??
?
W
TM
1．定义
在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种
变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变
形称为组合变形。
2．组合变形形式
§ 9–1概念zo P?y x
。
C
两个平面弯曲的组合 拉伸或压缩与弯曲的组合
外力分析：外力向形心 (后弯心 )简化并沿主惯性轴分解
内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。
应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强
度条件。
对于线弹性状态的构件，将其组合
变形分解为基本变形，考虑在每一
种基本变形下的应力和变形，
然后在叠加。
3．组合变形的研究方法
—— 叠加原理
扭转与弯曲
m B
A
E C
P Pta b
l
4．解题步骤
§ 9–2拉 (压 )弯组合
A
AH
P
AR
xT
yT
T
C
B
M x
12kN,mN
x
kN24
例 起重机的最大吊重 P=12kN，
[σ ]=100kN/m2试为横梁 AB选
择适用的工字钢。
0?? AM
解,（ 1）受力分析
由 得
kNT y 18?kNTT
yx 245.1
2 ??
（ 2）作 AB的弯矩图和剪力图,确定
C左侧截面为危险截面。
（ 3）确定工字钢型号
按弯曲强度确定工字钢的抗弯截面系数
+
=
? ? 36
3
1 2 0101 0 0 1012 cmMW ????? ?
查表取 W=141cm3
的 16号工字钢，其横截面积为
26.1cm3 。
在 C左侧的下边缘压应力最大，
需要进行校核。
固所选工字钢为合适。
A
AH
P
AR
xT
yT
T
C
B
M x
12kN,m
M P aM P a
W
M
A
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1 0 03.94
101 4 1
1012
104.26
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m a x
m a x
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N
kN24
x
§ 9–3斜弯曲
2）叠加,对两个平面弯曲进行研究；
然后将计算结果叠加起来。
梁的横向力不与横截面对称轴或形心主惯性轴重合，这时杆件
将在形心主惯性平面内发生弯曲，变形后的轴线与外力不在同
一纵向平面内，
2．解题方法
1）分解,将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正
交的平面弯曲。
zo P?y x
。
C
例 矩形截面悬臂梁，求根部的最大
应力和梁端部的位移。
解,（ 1）将外载荷沿横截面的形心主轴分解
1．斜弯曲概念
zo P?y x
C P?zf
yffx?
?co sPP y ? ?s inPP z ?
（ 2） 外载荷在固定端两平面内的弯矩
?co sPllPM yz ????
?s i nPllPM zy ????
（ 3）应力
zM
引起任意点 C处应力
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由弯矩
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引起 任意点 C处应力
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由弯矩
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I
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（ 5）变形计算
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引起的垂直位移
zz
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3
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由 zP 引起的垂直位移
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上式说明挠度所在平面与外力所在的平面并不重合。
§ 9–4弯曲与扭转的组合
P向轴心简化得一等值力和扭矩
2
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平面内的弯矩
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在危险截面上，与扭矩 T对应的边缘
上的切应力极值为
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1．外力向杆件截面形心简化
2．画内力图确定危险截面
W
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与合成弯矩对应的弯曲正应力的极值为
D点的主应力为
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对于圆轴
WWt 2?,其强度条件为
3．确定危险点并建立强度条件
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按第四强度理论，强度条件为
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