第十章 压杆稳定
若处于平衡的构件，当受到
一微小的干扰力后，构件偏离
原平衡位置，而干扰力解除以
后，又能恢复到原平衡状态时
，这种平衡称为稳定平衡。
受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变
到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。
P
P P P
Pcr Pcr
干扰力
当轴向压力大于一定数值时，任一微
小挠动去除后，杆件不能恢复到原直
线平衡位置，则称原平衡位置是不稳
定的，此压力的极限值为临界压力。
$10.1压杆稳定的概念
1．压杆稳定
2．临界压力
3．曲屈
$10.2细长压杆临界压力的欧拉公式
1．两端铰支压杆的临界力
选取如图所示坐标系 xoy。距原点为 x的任意截面的挠度为 v。
若压力 P取绝对值，则 y为正时,M为负。于是有
PvM ??
2．挠曲线近似微分方程
? ? PvxME Iv ???''
令
EI
Pk ?2 则有 0'2'' ?? vkv
该微分方程的通解为
kxBkxAv c o ss in ??
?
x
将其代入弹性挠曲线近似微分方程，
则得
式中 A,B—— 积分常数，可由边界条件确定压杆为球铰支座
提供的边界条件为, ?
x0?x 和 lx? 时,0?v
将其代入通解式，可解得
0?B，0s in ?klA
上式中,只有 0sin ?kl
满足上式的值为
?nkl ? ),2,1,0( ??n
则有
l
nk ?? 于是，压力 P为 2222 l EInEIkP ???
n=1得到杆件保持微小弯曲压力 -临界压力
2
2
l
EIP
c
?
? ?
此式由瑞士科学家欧拉于 1744年提出，故也称两端铰支细长压
杆的 欧拉公式。
此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。
$10.3其他条件下压杆的临界压力
欧拉公式的普遍形式为
2
2
)( l
EIP
cr ?
??
式中 ? 称为长度系数，
l?
是把压杆折算成相当于两端铰支杆时的长度
，称为相当长度。
例,试由两端固定细长压杆的挠曲线的微分方
程，导出欧拉公式。
解：
P
R B
A
y
x
v
x
l
0.3l
C
由挠曲线的微分方程可得
EI
xlRv
EI
P
EI
M
dx
vd )(
2
2 ?
????
方程的通解为
? ?xlE I kRkxCkxCv ???? 221 s inc o s
固定支座的边界条件是
0?x 时,
0?v,
0?dxdv
lx? 时，
0?v,
0?dxdv
边界条件带入上面各式得
0,0s inc o s,0 222121 ?????? E I kRkCklCklClE I kRC
P
R B
A
y
x
v
x
l
0.3l
C
解得
klkl ?ta n
作出正切曲线，与从坐标画出的 45o斜直线相交，
交点的横坐标为
? ? ? ? 22 7.0/493.4 lEIP cr ?
弯矩为零的 C点的横坐标
lkx c 3.0352.1 ??
$10.4 压杆的稳定校核
1．压杆的许用压力 ? ?
st
cr
n
PP ?
??P 为许可压力； stn 为工作安全系数。
2．压杆的稳定条件
? ?PP?
例 平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径 mmD 65?,油压
M P ap 2.1?
。
，活塞杆长度 mml 1250?,材料为 35钢,M PaP 220??
，G PaE 2 1 0?,6?
?sn
试确定活塞杆的直径。
（ 1）轴向压力
活塞杆p解：
? ? NpDP 3 98 0102.1106544 6232 ?????? ???
NPnP stcr 2 3 9 0 03 9 8 06 ????
（ 2）临界压力
活塞杆p
（ 3）确定活塞杆直径
? ? Nl
EIP
cr 239002
2
?? ??
得出 md 0 2 5.0?由
（ 4）计算活塞杆柔度 2 0 0
40 2 5.0
25.11 ????
i
l??
对 35号钢，
97
10220
10210
6
922
1 ??
???? ?
?
??
P
E
因为，
满足欧拉公式的条件。
1???
若处于平衡的构件，当受到
一微小的干扰力后，构件偏离
原平衡位置，而干扰力解除以
后，又能恢复到原平衡状态时
，这种平衡称为稳定平衡。
受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变
到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。
P
P P P
Pcr Pcr
干扰力
当轴向压力大于一定数值时，任一微
小挠动去除后，杆件不能恢复到原直
线平衡位置，则称原平衡位置是不稳
定的，此压力的极限值为临界压力。
$10.1压杆稳定的概念
1．压杆稳定
2．临界压力
3．曲屈
$10.2细长压杆临界压力的欧拉公式
1．两端铰支压杆的临界力
选取如图所示坐标系 xoy。距原点为 x的任意截面的挠度为 v。
若压力 P取绝对值，则 y为正时,M为负。于是有
PvM ??
2．挠曲线近似微分方程
? ? PvxME Iv ???''
令
EI
Pk ?2 则有 0'2'' ?? vkv
该微分方程的通解为
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将其代入弹性挠曲线近似微分方程，
则得
式中 A,B—— 积分常数，可由边界条件确定压杆为球铰支座
提供的边界条件为, ?
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将其代入通解式，可解得
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上式中,只有 0sin ?kl
满足上式的值为
?nkl ? ),2,1,0( ??n
则有
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n=1得到杆件保持微小弯曲压力 -临界压力
2
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此式由瑞士科学家欧拉于 1744年提出，故也称两端铰支细长压
杆的 欧拉公式。
此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。
$10.3其他条件下压杆的临界压力
欧拉公式的普遍形式为
2
2
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式中 ? 称为长度系数，
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是把压杆折算成相当于两端铰支杆时的长度
，称为相当长度。
例,试由两端固定细长压杆的挠曲线的微分方
程，导出欧拉公式。
解：
P
R B
A
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x
v
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0.3l
C
由挠曲线的微分方程可得
EI
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固定支座的边界条件是
0?x 时,
0?v,
0?dxdv
lx? 时，
0?v,
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边界条件带入上面各式得
0,0s inc o s,0 222121 ?????? E I kRkCklCklClE I kRC
P
R B
A
y
x
v
x
l
0.3l
C
解得
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作出正切曲线，与从坐标画出的 45o斜直线相交，
交点的横坐标为
? ? ? ? 22 7.0/493.4 lEIP cr ?
弯矩为零的 C点的横坐标
lkx c 3.0352.1 ??
$10.4 压杆的稳定校核
1．压杆的许用压力 ? ?
st
cr
n
PP ?
??P 为许可压力； stn 为工作安全系数。
2．压杆的稳定条件
? ?PP?
例 平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径 mmD 65?,油压
M P ap 2.1?
。
，活塞杆长度 mml 1250?,材料为 35钢,M PaP 220??
，G PaE 2 1 0?,6?
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试确定活塞杆的直径。
（ 1）轴向压力
活塞杆p解：
? ? NpDP 3 98 0102.1106544 6232 ?????? ???
NPnP stcr 2 3 9 0 03 9 8 06 ????
（ 2）临界压力
活塞杆p
（ 3）确定活塞杆直径
? ? Nl
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2
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得出 md 0 2 5.0?由
（ 4）计算活塞杆柔度 2 0 0
40 2 5.0
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对 35号钢，
97
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因为，
满足欧拉公式的条件。
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