第四章 平面图形的
几何性质
$4.1静矩和形心
设有一厚度很小的均匀薄板形状如上图。形心与平面图形的形心
一致。利用静力学的力矩定理求出薄板重心坐标
d Az~y~
c y
z
1．静矩
对于图形，其面积为 A。 Z和 y为
图形所在平面的坐标轴。则微面
积 dA在整个图形面积上的积分为
??
A
z ydASdAzS
A
y ??
称为图形对 y,z轴的静矩或一次矩。
A
ydA
y A
?
?
A
zdA
z A
?
?
2．形心
从上式可以看出，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通
过图形的形心；反之，若图形对某一轴通过图形的形心，则图形
对该轴静矩等于零。
A
Sy z?
A
S
z y?
当一个图形 A由,A1 A2 … An等个图形组合而成的组合图形时，
有静距的定义得
?????
?
?????????
n
i
iinn
AAAA
z yAyAyAyAy dAy dAy dAy dAS
n 1
2211
21
??
?
?
?
n
i
iiy zAS
1
$4.2惯性矩、惯性半径和惯性积
1．惯性矩
?? Ay dAzI 2 ?? Az dAyI 2
? ? yzAAp IIdAzydAI ????? ?? 222?
2．惯性半径
A
Ii y
y ?
A
Ii z
z ?
3．惯性积
?? Ayz yzdAI
d Azy y
z?
o
$4.3平行移轴公式
图形对型心轴 yczc和的 惯性距和惯性
dAzI A cyc ?? 2
dAzyI A cczy cc ??
图形对型心轴 y,z和的 惯性
距和惯性积 分别为
? ? ? ? ??? ?????? A A AccA cAy dAadAzadAzdAazdAzI 2222 2
由于
0??A c dAz AdAA ??
上式得
AaII yCy 2??
同理可得 AbII
zCz 2?? abAII CC zyyz ??
dAyI A czc ?? 2
c
dA
O
y
yc
zzc
y
b yc
a z
zc积 分别为
$4.4转轴公式 主惯性轴
1．两种坐标的转换
??
?
??
??
??
??
s inc o s
s inc o s
1
1
yzz
zyy
2．转轴公式的推导
? ?
???
??????
2s i ns i nc o s
c o ss i n2s i nc o ss i nc o s
22
222222
11
yzzY
A AA AAy
III
y z d AdAydAzdAyzdAzI
???
?????? ? ?? ??
以 ? ?
?? 2c o s121c o s 2 ?? 和 ? ??? 2c o s121s in 2 ?? 代入上式，得到
?? 2s in2c o s221 gIIIIII yzzyzyy ?????
同理可得
?? 2s in2c o s221 yzzyzyz IIIIII ????? ?? 2c o s2s in2
11 yz
zy
zy I
III ???
d A
1z
z
y 1y1
z
1z?
o
3．主惯性轴
对
1yI
求导得
???
?
???
? ???? ??
? 2c os2s in22
1
yz
zyy III
d
dI
若 得0?? ? 01 ??ddIy时
02c o s2s in2 00 ??? ?? yzzy III
zy
yx
II
I
???
22ta n
0? 0
?解出,可以确定一对坐标轴 0y 和
0z
。
上式代入到惯性积公式得 0
11 ?zyI
这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。对主轴的惯性矩称为
主惯性矩。对应着一个最大值，一个最小值。
几何性质
$4.1静矩和形心
设有一厚度很小的均匀薄板形状如上图。形心与平面图形的形心
一致。利用静力学的力矩定理求出薄板重心坐标
d Az~y~
c y
z
1．静矩
对于图形，其面积为 A。 Z和 y为
图形所在平面的坐标轴。则微面
积 dA在整个图形面积上的积分为
??
A
z ydASdAzS
A
y ??
称为图形对 y,z轴的静矩或一次矩。
A
ydA
y A
?
?
A
zdA
z A
?
?
2．形心
从上式可以看出，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通
过图形的形心；反之，若图形对某一轴通过图形的形心，则图形
对该轴静矩等于零。
A
Sy z?
A
S
z y?
当一个图形 A由,A1 A2 … An等个图形组合而成的组合图形时，
有静距的定义得
?????
?
?????????
n
i
iinn
AAAA
z yAyAyAyAy dAy dAy dAy dAS
n 1
2211
21
??
?
?
?
n
i
iiy zAS
1
$4.2惯性矩、惯性半径和惯性积
1．惯性矩
?? Ay dAzI 2 ?? Az dAyI 2
? ? yzAAp IIdAzydAI ????? ?? 222?
2．惯性半径
A
Ii y
y ?
A
Ii z
z ?
3．惯性积
?? Ayz yzdAI
d Azy y
z?
o
$4.3平行移轴公式
图形对型心轴 yczc和的 惯性距和惯性
dAzI A cyc ?? 2
dAzyI A cczy cc ??
图形对型心轴 y,z和的 惯性
距和惯性积 分别为
? ? ? ? ??? ?????? A A AccA cAy dAadAzadAzdAazdAzI 2222 2
由于
0??A c dAz AdAA ??
上式得
AaII yCy 2??
同理可得 AbII
zCz 2?? abAII CC zyyz ??
dAyI A czc ?? 2
c
dA
O
y
yc
zzc
y
b yc
a z
zc积 分别为
$4.4转轴公式 主惯性轴
1．两种坐标的转换
??
?
??
??
??
??
s inc o s
s inc o s
1
1
yzz
zyy
2．转轴公式的推导
? ?
???
??????
2s i ns i nc o s
c o ss i n2s i nc o ss i nc o s
22
222222
11
yzzY
A AA AAy
III
y z d AdAydAzdAyzdAzI
???
?????? ? ?? ??
以 ? ?
?? 2c o s121c o s 2 ?? 和 ? ??? 2c o s121s in 2 ?? 代入上式，得到
?? 2s in2c o s221 gIIIIII yzzyzyy ?????
同理可得
?? 2s in2c o s221 yzzyzyz IIIIII ????? ?? 2c o s2s in2
11 yz
zy
zy I
III ???
d A
1z
z
y 1y1
z
1z?
o
3．主惯性轴
对
1yI
求导得
???
?
???
? ???? ??
? 2c os2s in22
1
yz
zyy III
d
dI
若 得0?? ? 01 ??ddIy时
02c o s2s in2 00 ??? ?? yzzy III
zy
yx
II
I
???
22ta n
0? 0
?解出,可以确定一对坐标轴 0y 和
0z
。
上式代入到惯性积公式得 0
11 ?zyI
这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。对主轴的惯性矩称为
主惯性矩。对应着一个最大值，一个最小值。
