第八章 应力状态
分析和强度理论
$8.1应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态。 ?
?PP PP apa?
a?k kk kk
k apn
2．单向拉伸时斜截面上的应力
A
N??
??
?
c o s
c o s
??? A PAPp
a
a
??
??
斜截面上的应力
斜截面上的正应力和切应力为
???? 2co sco s ?? aa p
???? 2s in2s in ?? aa p
可以得出 0?? 时 ?? ?m a x
4
??? 时
2m ax
?? ?
横截面上的正应力
1．应力状态
主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列，
321 ??? ??
过 A点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力，
而无剪应力，则此 平面称为主平面。
主平面上的正应力 称为主应力。
主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单
元体 称为主单元体。
三个主应力中有一个不为零,称为单向应力状态
三个主应力中有两个不为零,称为二向应力状态。
三个主应力中都不为零,称为三向应力状态。
??
??
$8.2二向应力状态下斜截面上的应力
xy?
yx?
y?
x?
n
?
t
1．任意斜截面上的应力
在外法线 n和切线 t上列平衡方程
??????? c o s)c o s(s in)c o s( dAdAdA xxya ??
0s in)s in(co s)s in( ??? ?????? dAdA yyx
??????? s in)co s(co s)co s( dAdAdA xxya ??
0s in)s in(co s)s in( ??? ?????? dAdA yxy
根据剪应力互等定理，
yxxy ?? ? 并考虑到下列三角关系
2
2s in1s in,
2
2c o s1c o s 22 ???? ???? ??? 2s inc o ss in2 ?
? a
? a
? x
? y ? xy x
y n
?
简化两个平衡方程，得
???????? ? 2s in2co s22 xyyxyx ????? ?????? ? 2c o s2s in2 xyyx ???
2．极值应力
将正应力公式对 ? 取导数，得
?????? ???? ??????? ? 2c o s2s in22 xyyxdd
若 0?? ? 时，能使导数
0????dd,则
02c o s2s in2 00 ??? ????? xyyx
yx
xytg
??
??
???
22
0
上式有两个解：即
0?
和
?900 ??
在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。
可以证明：一个平面是最大正应力所在的平面，另一个是
最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为
22
m i n
m a x )
2(2 xy
yxyx ?????
?
? ?????
?
?
?
0? 代入剪力公式,0?? 为零。
这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平面。
所以，主应力就是最大或最小的正应力。
主应力及主平面的方位
22
m i n
m a x )
2(2 xy
yxyx ?????
?
? ?????
?
?
?
yx
xytg
??
??
???
22
0
令 02s in22c o s)( ???? ?????
?
? ?
xyyxd
d
得
xy
yxtg
?
???
22 1
??
求得剪应力的最大值和最小值是,22
m in
m a x )
2( xy
yx ???
?
? ????
?
?
?
与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力
的极值与所在两个平面方位的对应关系是：
0?xy?,则绝对值较小的 1? 对应最大剪应力所在的平面。
3．主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系
? 与
1? 之间的关系为
1
0 2
12
?? tgtg ??
4,222 0101
?????? ????
这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为 45度
若
$8.3二向应力状态的应力圆
1．应力圆方程
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
???
????
?
?
?
2c o s2s in
2
2s in2c o s
22
xy
yx
xy
yxyx
中的 ?
2
2
2
2
22 xy
yxyx ???????
?? ???
?
?
???
? ???
???
?
???
? ??
将公式
削掉，得
由上式确定的以 ??
??
为变量的圆，这个圆称作应力圆。
圆心的横坐标为 ? ?
yx ?? ?2
1,纵坐标为 0，圆的半径为
2
2
2 xy
yx ??? ?
???
?
???
? ?
。
?? ?
2．应力圆的画法
建立 应力坐标系（注意选好比例尺）在坐标系内画出点
? ?xyxD ??,和 ? ?yxyD ??,' 'DD 与轴的交点 C便是圆心
以 C为圆心，以 AD为半径画圆 —— 应力圆 。
xy?
yx?
y?
x?
n
?
t1?2? ?OC
1）圆上一点坐标等于微体一个截面应力值
2）圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹
角的两倍
3）对应夹角转向相同
4．在应力圆上标出极值应力
2
2
m i n
m a x
22 xy
yxyx ?????
?
? ?
???
?
???
? ????
??
?
2
2
m i nm a x
m i n
m a x
22 xy
yxR ?????
?
? ?
???
?
???
? ???????
??
?
3．单元体与应力圆的对应关系
? ?
1?2?3 max
?
o
$8.4三向应力状态1．三个主应力
321 ??? ??
2.三向应力圆的画法
21,?? 作应力圆，决定了平行于
3?
平面上的应力
13,??
作应力圆，决定了平行于 2?
平面上的应力32,?? 作应力圆，决定了平行于 1?
平面上的应力
由
由
由
1m ax ?? ?
，
3m in ?? ?
最大的剪应力极值为
2
31
m a x
??? ??
3．单元体正应力的极值为
$8.5复杂应力状态的广义虎克定律
1．单拉下的应力 — 应变关系
E
?? ?
x?
，
E
????? ????'
三向应力状态等三个主应力，可看作是三组
单向应力的组合。对于应变，可求出单向应
力引起的应变，然后叠加可得
? ?? ?3213211 1 ?????????? ?????? EEEE
1?
2?
3?
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
)(
1
)(
1
)(
1
2133
1322
3211
?????
?????
?????
E
E
E
单元体变形后的体积为 dzdydxV ???
4．体积胡克定律
2．复杂状态下的应力 — 应变关系
单元体变形后的体积为
? ? ? ? ? ?dzdzdydydxdxV 3211 ??? ??????
? ?? ?? ?
? ? ? ?
KEE
V
VV
m?????????
???????
??
?
?
?
?
? ???
???
?
?
????????
?
?
3
21321
1111
321
321
321321
1
其中 ? ?
EK ?213 ??
为体积模量，
3 321
???? ???
m
是三个主应力的平均值。
Km
?? ?? 为体积胡克定律。