第二章 拉伸、
压缩和剪切
$2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
1.概念,杆件上外力合力的作用线与杆件轴向重
合，变形是沿轴线方向的伸长和缩短。
2.力学模型：
PP
P P
$2.2 拉伸或压缩时的内力和横截面上的应力
1．轴力
杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。轴力用
N 表示，方向与轴线重合。
N
N
求解轴力的方法：截面法。
轴力的符号规则,N 与截面的外法线方向一致为正；反之
为负。轴力为正，杆件受拉；轴力为负，杆件受压。
2．轴力图,用折线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一
般以杆轴线为横轴表示截面位置，纵轴表示轴力大小。它
能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定
危险截面位置，为强度计算提供依据
例 AB 杆受力如图所示,已知 2.5kN,4kN,1.5 kN 。
试求 AB 杆各段内并作轴力图
P1 P2 P3
1
1
2
2
P1 P2 P3
1
1
2
2
P1
N1
N2P2P 1
解, (1)计算各段的轴力
对 AC段，设置截面如图，由平衡方程
KNPN 5.211 ??
对 BC段，由平衡方程得,
? ? 0X 得：
0122 ??? PNP KNN 5.12 ??
A C B
(2)按比例画轴力图
P1 P2 P3
1
1
2
2A C B
N/kN
x
2.5
1.5
3．轴向拉（压）时横截面上的应力，强度条件
根据横截面在轴向拉压时仍然保持为平面不变的平面假
设，可得横截面上只存在正应力。
又因为材料均匀连续，并且纵向纤维的伸长相同，所以
横截面上的正应力均匀分布。
A
N??
强度条件及其应用：
? ??? ?? AN
a
b
c
d
'a
'b
'c
'd
例 如图所示托架，已知,AB为钢板条,截面积 100cm2,AC
为 10号槽钢，横截面面积为 A=12.7 cm2。若 KNP 65?
求：各杆的应力。
解：（ 1）以节点 A为研究对象，受力分析如图所示，建立平
衡方程
??
?
?
?
?? 0
0
Y
X
PN
NN
?
?
5
4
5
3
2
12
??
?
?
?
KNN
KNN
3.81
8.48
2
1解方程可得
（ 2）计算各杆的应力
?
?
?
??
?
?
??
??
M P a
A
N
M P a
A
N
64
163
2
2
2
1
1
1
?
?AB和 AC的应力为
$2.3材料拉伸时的力学性能
1.低碳钢拉伸时的力学性能（应力应变曲线图）
力学性能,在外力作用下，材料在变形和破坏方面表现出的特性
（ 1）弹性阶段
e?? ?
?? E?
（ 2）屈服阶段 s?
在应力增加很少或不增加时，应变会很快增加，这种
现象叫屈服。
(3)强化阶段 _ 材料经过屈服阶段以后，因塑性变形使其组织
结构得到调整，若需要增加应变则需要增加应力。
b? 是材料能承受的强度极限
（ 4）局部变形阶段
（ 5）截面收缩率和延伸率
%1 0 0
0
10 ???
A
AA?
延伸率
%1 0 0
0
01 ??? l ll?
（ 6）卸载与硬化
截面收缩率
2．铸铁拉伸时的力学性能
铸铁拉伸时，没有屈服和颈缩，拉断时延伸率很小，故强度
极限是衡量强度的唯一指标。
2．铸铁压缩时，在较小变形时就会破坏，并沿 45度
方向破坏，说明铸铁因剪切破坏。
$2.4材料压缩时的力学性能
1．低碳钢在压缩时，弹性摸量和屈服极限与拉伸相似，但
压缩不会破坏，只会越压越扁，没有强度极限。
$2.5失效与许用应力
脆性材料在其强度极限
b?
塑性材料在其屈服极限
s?
时失效。
破坏，
极限应力：
sm ac ?? ?, bm ac ?? ?
塑性材料的许用应力
? ?
3n
s?? ?
，脆性材料 ? ?
b
b
n
?? ?
一般工程中，
0.5~0.3
2.2~5.1
?
?
b
s
n
n
。
2．强度条件
? ??? ????????
m a x
m a x A
N
等截面杆 ? ???AN m a x
1．失效原因
$2.6轴向拉伸或压缩的变形，弹性定律
1．杆件在轴向方向的伸长为
lll ??? 1
2．沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为
l
l???,APAN ???
。
3．胡克定律
?? E? E为弹性模量。
EA
Nll ??
4．横向应变为
b
bb
b
b ???? 1'?
横向应变与轴向应变的关系为 ??? ??'
将应力与应变的表达式带入得
以求下面三杆桁架的内力为例说明静不定问题的解法。
$2.7轴向拉（压）杆静不定问题
对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利
用静力平衡方程无法解出全部未知力。这类问题称为静不定
问题或超静定问题。
2．静不定问题的解法
求解静不定问题的关键在于使未知力个数和方程个数相等，这
要求除了利用理论力学的知识建立平衡方程外，还要建立若干
个补充方程，使其个数等于静不定次数。
1,静不定问题的概念
解,(1)列 A点的平衡方程
?
?
?
?
?
???
?
???
?
?
0co s2,0
0s i n2,0
12
21
21
?
?
NNY
NN
NNX N
3
N2 N1
P
D
C
B
P
1l?
3l?
l
? ?
E
A
（ 2）变形几何关系
?co s31 ll ???
（ 3）力与变形的关系
1l?
＝
?co s11
1
11
11
AE
lN
AE
lN ?
33
3
3 AE
lNl ??
（４）联立补充方程和平衡方程求解未知力
11
333
3
21
c o s2
c o s
AE
AE
PNN
?
??
?
?，
?3
33
11
3
co s21
AE
AE
PN
?
?
例 杆的上、下两端都有固定约束，若抗拉刚度 EA已知，试求
两端反力。
解：
A
B
C
P
a
b
A
C
B
P
R 1
R 2
（ 1） 列杆的平衡方程
? ? 0x 021 ??? PRR
（ 2） 变形几何关系
由于杆的上、下两端均已固定，故
杆的总变形为零，即
2l?
l?等于 AC段变形
1l?
和 BC段变形
2l?
之和。
。（ 3） 力与变形的关系
11 RN ?,对 BC段，其轴力 22 RN ??
，
AC段，其轴力
由虎克定律
EA
aR
EA
aNl 11
1 ??? EA
bR
EA
bNl 22
2 ???
代入变形几何关系 021 ???? EA bREA aRl
021 ?????? lll
（４）联立补充方程和平衡方程求解未知力
?
?
?
??
???
0
0
21
21
bRaR
PRR
解得 P
ba
bR
??1 Pba
aR
??2
应该注意，
1R
、
2R
杆件所受的力必须与产生的变形一致，才能得到正确答案。
方向可任意假设，但在建立补充方程时，
总结超静定问题的方法步骤：
（ 1）平衡方程；
（ 2）几何方程 —— 变形协调方程；
（ 3）物理方程 —— 弹性定律；
（ 4）补充方程：由几何方程和物理方程得；
解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
对于静定问题，不存在装配应力，但在静不定结构中，由于
杆件的尺寸不准确，强行装配在一起，这样在未受载荷之前，
杆内已产生的内力。由于装配而引起的应力称为装配应力。
以下图为例进行讲解。
1．平衡方程
0s ins in 21 ?? ?? NN
0c o sc o s 213 ??? ?? NNN
2．变形几何方程
?? ???? co s13 ll
3．物理方程
11
1
1
c o s
AE
lN
l ???
33
3
3 AE
lNl ??
N 1
N 2
N 3
CB ??
1l???l
2A'
3l?
联立方程得
?c o s2
3
21
NNN ??
，
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
3
11
33
33
3
c o s2
1
AE
AE
l
AE
N
3．装配应力
等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分
布的，对于构件有圆孔、切口、轴肩的部位，应力并不均匀，
并在此区域应力显著增大，这种现象称为应力集中。
$2.8应力集中的概念
1．应力集中
应力系中系数
n
K ?? m a x? n? 名义应力 (平均应力 )
max?塑性材料：由于塑性引起应力均布，对静
强度极限影响不大。对疲劳强度，应力集中
有影响。
脆性材料：塑性材料没有屈服阶段，载荷
增加时应力集中处的最大应力一直领先。并
首先在此处出现裂纹。对静载荷，也应考虑
其影响。
2．应力集中对构件强度的影响
$2.9剪切和挤压
剪切变形的受力特点：作用
在杆件两个侧面上且与轴线垂
直的外力，大小相等，方向相
反，作用线相距很近。
P
P??? ?
2
P
2
P PPmnQQmnn
变形特点是：两个力之间的截面沿
剪切面相对错动。可能被剪断的截
面称为剪切面。
? ??? ?? AQ
式中 Q：剪切面上的剪力。 A：剪切面面积
1．剪切变形与挤压
? ?bs
bs
bs A
P ?? ??
剪切力
挤压应力
式中 P：挤压面上的挤压力
：挤压面面积（与外载荷垂直），过圆柱直径的横截面面积。
? ?bs
bs
bs A
P ?? ??
挤 压 面
P
P
2．剪应力与挤压力的计算
例 齿轮和轴用平键联接如下图所示。已知轴的直径 d=70mm，键
的尺寸,mmhb 10012201 ????? 传递的力偶矩 m=2kN m，
键的许用应力
? ? M P a60?? ? ? M P abs 1 0 0??许用挤压应力
。试校核键的强度。
解,（ 1） 计算键所受剪力的大小 将键沿截面 n-n假想切开
成两部分，并把截面以下部分和轴作为一个整体来考虑。
l
h
/
2
b
b
h
d
n
n
n
n
Q mm
nn
Q
?
P
?
bsbsAP ??O
l
h
/
2
b
b
h
d
n
n
n
n
Q mm
nn
Q
?
P
?
bsbsAP ??O
n-n截面上的剪力 Q为
?? blAQ ??
由平衡条件 0??
om
02 ?? mdQ
d
mQ 2?
（ 2）校核键的剪切强度
? ??? ????? ??? ? M P ab l dm 6.28107010020 2 0 0022 9
l
h
/
2
b
b
h
d
n
n
n
n
Q mm
nn
Q
?
P
?
bsbsAP ??O
键受到的挤压力为 P，挤压面面积
2
hlA
bs ?
，由挤压强度条件
? ?bs
bs
bs M P ah
b
hl
bl
A
P ???? ??
?
????????
?
?
3.95
1012
106.28102022
2
3
63
故平键满足挤压强度条件。
（ 3）校核键的挤压强度
? ? M p a30??
P
P?? ? ?
2
P
2
P PPmnQQmnn
3.5t
1.5t
例 拖车挂钩由插销与板件联结。插销材料为 20号钢，
，直径 mmd 20?,厚度 mmt 8? kNP 15?
。试校核插销的剪切强度。 ? ? M p a
bs 100??
，试校核插销的挤压强度。
若挤压许可应力为
解 （ 1） 计算键所受力的大小
将插销沿截面 m-m和 n-n假想
切开（双剪切面）。
列平衡方程可得
2
PQ?
（ 2）校核键的剪切强度
? ?
? ???? ??
??
???
?
M P a
A
Q 9.23
1020
4
2
1015
23
3
P
P?? ? ?
2
P
2
P PPmnQQmnn
3.5t
1.5t（ 3）校核键的挤压强度考虑中段的直径面积小于上段
和下段直径面面积之和 2dt，故
校核中段的挤压强度。
? ?bs
bs
bs M P adt
P
A
P ?? ??
????
????
?? 5.6210201085.1
1015
5.1 33
3
压缩和剪切
$2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
1.概念,杆件上外力合力的作用线与杆件轴向重
合，变形是沿轴线方向的伸长和缩短。
2.力学模型：
PP
P P
$2.2 拉伸或压缩时的内力和横截面上的应力
1．轴力
杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。轴力用
N 表示，方向与轴线重合。
N
N
求解轴力的方法：截面法。
轴力的符号规则,N 与截面的外法线方向一致为正；反之
为负。轴力为正，杆件受拉；轴力为负，杆件受压。
2．轴力图,用折线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一
般以杆轴线为横轴表示截面位置，纵轴表示轴力大小。它
能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定
危险截面位置，为强度计算提供依据
例 AB 杆受力如图所示,已知 2.5kN,4kN,1.5 kN 。
试求 AB 杆各段内并作轴力图
P1 P2 P3
1
1
2
2
P1 P2 P3
1
1
2
2
P1
N1
N2P2P 1
解, (1)计算各段的轴力
对 AC段，设置截面如图，由平衡方程
KNPN 5.211 ??
对 BC段，由平衡方程得,
? ? 0X 得：
0122 ??? PNP KNN 5.12 ??
A C B
(2)按比例画轴力图
P1 P2 P3
1
1
2
2A C B
N/kN
x
2.5
1.5
3．轴向拉（压）时横截面上的应力，强度条件
根据横截面在轴向拉压时仍然保持为平面不变的平面假
设，可得横截面上只存在正应力。
又因为材料均匀连续，并且纵向纤维的伸长相同，所以
横截面上的正应力均匀分布。
A
N??
强度条件及其应用：
? ??? ?? AN
a
b
c
d
'a
'b
'c
'd
例 如图所示托架，已知,AB为钢板条,截面积 100cm2,AC
为 10号槽钢，横截面面积为 A=12.7 cm2。若 KNP 65?
求：各杆的应力。
解：（ 1）以节点 A为研究对象，受力分析如图所示，建立平
衡方程
??
?
?
?
?? 0
0
Y
X
PN
NN
?
?
5
4
5
3
2
12
??
?
?
?
KNN
KNN
3.81
8.48
2
1解方程可得
（ 2）计算各杆的应力
?
?
?
??
?
?
??
??
M P a
A
N
M P a
A
N
64
163
2
2
2
1
1
1
?
?AB和 AC的应力为
$2.3材料拉伸时的力学性能
1.低碳钢拉伸时的力学性能（应力应变曲线图）
力学性能,在外力作用下，材料在变形和破坏方面表现出的特性
（ 1）弹性阶段
e?? ?
?? E?
（ 2）屈服阶段 s?
在应力增加很少或不增加时，应变会很快增加，这种
现象叫屈服。
(3)强化阶段 _ 材料经过屈服阶段以后，因塑性变形使其组织
结构得到调整，若需要增加应变则需要增加应力。
b? 是材料能承受的强度极限
（ 4）局部变形阶段
（ 5）截面收缩率和延伸率
%1 0 0
0
10 ???
A
AA?
延伸率
%1 0 0
0
01 ??? l ll?
（ 6）卸载与硬化
截面收缩率
2．铸铁拉伸时的力学性能
铸铁拉伸时，没有屈服和颈缩，拉断时延伸率很小，故强度
极限是衡量强度的唯一指标。
2．铸铁压缩时，在较小变形时就会破坏，并沿 45度
方向破坏，说明铸铁因剪切破坏。
$2.4材料压缩时的力学性能
1．低碳钢在压缩时，弹性摸量和屈服极限与拉伸相似，但
压缩不会破坏，只会越压越扁，没有强度极限。
$2.5失效与许用应力
脆性材料在其强度极限
b?
塑性材料在其屈服极限
s?
时失效。
破坏，
极限应力：
sm ac ?? ?, bm ac ?? ?
塑性材料的许用应力
? ?
3n
s?? ?
，脆性材料 ? ?
b
b
n
?? ?
一般工程中，
0.5~0.3
2.2~5.1
?
?
b
s
n
n
。
2．强度条件
? ??? ????????
m a x
m a x A
N
等截面杆 ? ???AN m a x
1．失效原因
$2.6轴向拉伸或压缩的变形，弹性定律
1．杆件在轴向方向的伸长为
lll ??? 1
2．沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为
l
l???,APAN ???
。
3．胡克定律
?? E? E为弹性模量。
EA
Nll ??
4．横向应变为
b
bb
b
b ???? 1'?
横向应变与轴向应变的关系为 ??? ??'
将应力与应变的表达式带入得
以求下面三杆桁架的内力为例说明静不定问题的解法。
$2.7轴向拉（压）杆静不定问题
对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利
用静力平衡方程无法解出全部未知力。这类问题称为静不定
问题或超静定问题。
2．静不定问题的解法
求解静不定问题的关键在于使未知力个数和方程个数相等，这
要求除了利用理论力学的知识建立平衡方程外，还要建立若干
个补充方程，使其个数等于静不定次数。
1,静不定问题的概念
解,(1)列 A点的平衡方程
?
?
?
?
?
???
?
???
?
?
0co s2,0
0s i n2,0
12
21
21
?
?
NNY
NN
NNX N
3
N2 N1
P
D
C
B
P
1l?
3l?
l
? ?
E
A
（ 2）变形几何关系
?co s31 ll ???
（ 3）力与变形的关系
1l?
＝
?co s11
1
11
11
AE
lN
AE
lN ?
33
3
3 AE
lNl ??
（４）联立补充方程和平衡方程求解未知力
11
333
3
21
c o s2
c o s
AE
AE
PNN
?
??
?
?，
?3
33
11
3
co s21
AE
AE
PN
?
?
例 杆的上、下两端都有固定约束，若抗拉刚度 EA已知，试求
两端反力。
解：
A
B
C
P
a
b
A
C
B
P
R 1
R 2
（ 1） 列杆的平衡方程
? ? 0x 021 ??? PRR
（ 2） 变形几何关系
由于杆的上、下两端均已固定，故
杆的总变形为零，即
2l?
l?等于 AC段变形
1l?
和 BC段变形
2l?
之和。
。（ 3） 力与变形的关系
11 RN ?,对 BC段，其轴力 22 RN ??
，
AC段，其轴力
由虎克定律
EA
aR
EA
aNl 11
1 ??? EA
bR
EA
bNl 22
2 ???
代入变形几何关系 021 ???? EA bREA aRl
021 ?????? lll
（４）联立补充方程和平衡方程求解未知力
?
?
?
??
???
0
0
21
21
bRaR
PRR
解得 P
ba
bR
??1 Pba
aR
??2
应该注意，
1R
、
2R
杆件所受的力必须与产生的变形一致，才能得到正确答案。
方向可任意假设，但在建立补充方程时，
总结超静定问题的方法步骤：
（ 1）平衡方程；
（ 2）几何方程 —— 变形协调方程；
（ 3）物理方程 —— 弹性定律；
（ 4）补充方程：由几何方程和物理方程得；
解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
对于静定问题，不存在装配应力，但在静不定结构中，由于
杆件的尺寸不准确，强行装配在一起，这样在未受载荷之前，
杆内已产生的内力。由于装配而引起的应力称为装配应力。
以下图为例进行讲解。
1．平衡方程
0s ins in 21 ?? ?? NN
0c o sc o s 213 ??? ?? NNN
2．变形几何方程
?? ???? co s13 ll
3．物理方程
11
1
1
c o s
AE
lN
l ???
33
3
3 AE
lNl ??
N 1
N 2
N 3
CB ??
1l???l
2A'
3l?
联立方程得
?c o s2
3
21
NNN ??
，
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
3
11
33
33
3
c o s2
1
AE
AE
l
AE
N
3．装配应力
等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分
布的，对于构件有圆孔、切口、轴肩的部位，应力并不均匀，
并在此区域应力显著增大，这种现象称为应力集中。
$2.8应力集中的概念
1．应力集中
应力系中系数
n
K ?? m a x? n? 名义应力 (平均应力 )
max?塑性材料：由于塑性引起应力均布，对静
强度极限影响不大。对疲劳强度，应力集中
有影响。
脆性材料：塑性材料没有屈服阶段，载荷
增加时应力集中处的最大应力一直领先。并
首先在此处出现裂纹。对静载荷，也应考虑
其影响。
2．应力集中对构件强度的影响
$2.9剪切和挤压
剪切变形的受力特点：作用
在杆件两个侧面上且与轴线垂
直的外力，大小相等，方向相
反，作用线相距很近。
P
P??? ?
2
P
2
P PPmnQQmnn
变形特点是：两个力之间的截面沿
剪切面相对错动。可能被剪断的截
面称为剪切面。
? ??? ?? AQ
式中 Q：剪切面上的剪力。 A：剪切面面积
1．剪切变形与挤压
? ?bs
bs
bs A
P ?? ??
剪切力
挤压应力
式中 P：挤压面上的挤压力
：挤压面面积（与外载荷垂直），过圆柱直径的横截面面积。
? ?bs
bs
bs A
P ?? ??
挤 压 面
P
P
2．剪应力与挤压力的计算
例 齿轮和轴用平键联接如下图所示。已知轴的直径 d=70mm，键
的尺寸,mmhb 10012201 ????? 传递的力偶矩 m=2kN m，
键的许用应力
? ? M P a60?? ? ? M P abs 1 0 0??许用挤压应力
。试校核键的强度。
解,（ 1） 计算键所受剪力的大小 将键沿截面 n-n假想切开
成两部分，并把截面以下部分和轴作为一个整体来考虑。
l
h
/
2
b
b
h
d
n
n
n
n
Q mm
nn
Q
?
P
?
bsbsAP ??O
l
h
/
2
b
b
h
d
n
n
n
n
Q mm
nn
Q
?
P
?
bsbsAP ??O
n-n截面上的剪力 Q为
?? blAQ ??
由平衡条件 0??
om
02 ?? mdQ
d
mQ 2?
（ 2）校核键的剪切强度
? ??? ????? ??? ? M P ab l dm 6.28107010020 2 0 0022 9
l
h
/
2
b
b
h
d
n
n
n
n
Q mm
nn
Q
?
P
?
bsbsAP ??O
键受到的挤压力为 P，挤压面面积
2
hlA
bs ?
，由挤压强度条件
? ?bs
bs
bs M P ah
b
hl
bl
A
P ???? ??
?
????????
?
?
3.95
1012
106.28102022
2
3
63
故平键满足挤压强度条件。
（ 3）校核键的挤压强度
? ? M p a30??
P
P?? ? ?
2
P
2
P PPmnQQmnn
3.5t
1.5t
例 拖车挂钩由插销与板件联结。插销材料为 20号钢，
，直径 mmd 20?,厚度 mmt 8? kNP 15?
。试校核插销的剪切强度。 ? ? M p a
bs 100??
，试校核插销的挤压强度。
若挤压许可应力为
解 （ 1） 计算键所受力的大小
将插销沿截面 m-m和 n-n假想
切开（双剪切面）。
列平衡方程可得
2
PQ?
（ 2）校核键的剪切强度
? ?
? ???? ??
??
???
?
M P a
A
Q 9.23
1020
4
2
1015
23
3
P
P?? ? ?
2
P
2
P PPmnQQmnn
3.5t
1.5t（ 3）校核键的挤压强度考虑中段的直径面积小于上段
和下段直径面面积之和 2dt，故
校核中段的挤压强度。
? ?bs
bs
bs M P adt
P
A
P ?? ??
????
????
?? 5.6210201085.1
1015
5.1 33
3
