第六章 弯曲应力
$6.1 梁的弯曲
1．横力弯曲
横截面上既有 Q又
有 M的情况。如 AC、
DB段。
2．纯弯曲
某段梁的内力只有弯矩没
有剪力时，该段梁的变形
称为纯弯曲。如 CD段。
Q
3．梁的纯弯曲实验
(1).现象,横向线 a-b变形后仍为直
线，但有转动；纵向线变 a-a变为
曲线，且上面压缩下面拉伸；横
向线与纵向线变形后仍垂直。
(2)概念：
中性层,梁内有一层纤维既不
伸长也不缩短，因而纤维不受拉
应力和压应力，此层纤维称中性
层。
中性轴,中性层与横截
面的交线。
aa ba b
m
m
横截面对称轴
中性轴 中性层
纵向对称面
$6.2纯弯曲时的正应力
1．变形几何关系
从梁中截取出长为 dx的一个微段，横截面选用如图所示的
zy? 坐标系。图中,y轴为横截面的对称轴，
z轴为中性轴。横截面间相对转过的角度为
?d,中 性层 曲率半径为 ?,距中性层为 y
处的任一纵线（纵向纤维） b,b、
为圆弧曲线。
d x
o
o
b
b'o 'o
m
?d'b 'b
y
?
??????? ydddydxdyl ???????? )()(
而其线应变为
???
?? y
d
yd
bb
l ????
因此，纵 bb的伸长为
梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简
单拉伸或压缩。当横截面上的正应力
不超过材料的比例极限时，可由虎克
定律得到横截面上坐标为 y处各点
的正应力为
yEE ??? ??
d x
o
o
b
b'o'o
m
?d'b'b
y
?
m
m
zydA?x
y z
3．静力关系
截面上内力系简化为三个内力分量，即平行
x轴的轴力 N,对 Z轴的力偶矩 MZ,
和对轴的力偶矩 My
?? A dAN ? ?? Ay dAzM ?
，
?? Az dAyM ?
2．物理关系
d x
o
o
b
b'o'o
m
?d'b'b
y
?
m
m
zydA?x
y z
考虑左侧平衡，
? ? 0X, ? ? 0yM
，得
? ?? A dAN 0? ? ?? Ay dAzM 0?
横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩
zM
? ? ??? A Az MdAyEdAyM 2??
式中积分
zA IdAy ?? 2
上式可写成为
EI
M?
?
1
ZEI 称为梁的抗弯刚度。 将该式代入
yEE ??? ??,即可得到弯曲时梁的
zI
My??
横截面上的正应力计算公式
即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹
zI
My m a x
m a x ??
入的一侧受压。则截面上的最大正应力为
$6.3横力弯曲时的正应力
1．横力弯曲时的正应力,横力弯曲时的细长梁，
横截面将不在保持为平面。纵向纤维间的正应力也存在。但用纯
弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，能够满足精度的要求。
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，在弯矩
最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式
zI
yM m a xm a x
m a x ??
引入符号
m a xy
IW z
z ?
—— 截面图形的抗截面模量。
W
M m a x
m a x ??
强度条件为
? ??? ?? WM m a xm a x
则
高为 h,宽为 b的矩形截面：
6
2
12
2
2
3
bh
h
bh
h
IW z ???
直径为 ? 的圆截面：
32
2
64
2
3
3
d
d
d
d
IW z ?? ???
例 受均布载荷作用的简支梁如图
所示，试求：（ 1） 1—— 1截面上 1、
2两点的正应力；（ 2）此截面上的最
大正应力；（ 3）全梁的最大正应力；
解,画 M图求截面弯矩
k N mqxq L xM 6022
2
1 ????
?
???
? ?? 8/
2qL
求应力
4512
33
018 3 2.51012 1 8 01 2 012 mbhI z ?? ??????
341048.6
2/ mh
IW z
z
????
M P aI yM
z
7.61108 3 2.5 6060 5121 ??????? ??
MPaWM
z
6.921048.6 60 41m a x1 ?????
M P aWM
z
2.1041048.6 5.67 4m a xm a x ?????
8/2qL
$6.4 弯曲切应力
横力弯曲的梁截面上有弯矩还有剪力。剪力 Q是与截面相切的
内力系的合力。
研究方法：分离体平衡。
1．矩形截面中的弯曲切应力
在梁上取微段 dx，在微段上再
取一块如图，列平衡方程：
0'12 ????? bdxNNX ?
z
z
A Az I
MSdAy
I
MdAN *
11
1 1
??? ? ??
? ? ? ?xdQxQ ?? ?xQ? ?xM ? ? ? ?xdMxM ?y
d x
? ?xM
? ? ? ?
z
z
A Az I
SdMMdAy
I
dMMdAN *
112
1 1
????? ? ??
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 3）带入（ 1）、（ 2）得
z
Z
bI
S
dx
dM *' ??
z
Z
bI
S
dx
dM *' ?? ??
由剪应力互等得
? ? ???????? ????? 1 2 2
2
11
*
4A
h
yz
yhdybydAyS
? ? ? ?xdQxQ ?? ?xQ? ?xM
? ? ? ?xdMxM ?
y
d x
? ?xM
于是
???
?
???
? ?? 22
42 y
h
I
Q
Z
?
并
0?y
时有 ?? 5.123m a x ?? bhQ
工字形截面其弯曲剪应
力计算与矩形截面梁类似。
仍然沿用矩形截面梁弯曲
剪应力计算公式
z
z
bI
QS ???
??
?
??
? ?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ???
?
?
??
? ?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??? yhyyhbhHhhHBS
z 22
1
2222
1
222
将此式代入弯曲剪应力公式，可得腹板上弯曲剪应力的计算
公式
? ? ?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ???? 2222
428 y
hbhHB
bI
Q
Z
?
`
B
y
h
H
b
max?
min?
2．工字钢截面
将 y=0和 y=h/2分别带入上式，得
? ? ?
?
?
??
? ???
88
22
m a x
hbBBH
bI
Q
Z
?
??
?
??
? ??
88
22
m i n
BhBH
bI
Q
Z
?
3．圆形截面梁
3
2
*
3
2
3
4
2 R
RRS
z ??? ?
?
Rb 2?
4
2R
I z ??
2
*
m a x 3
4
R
Q
bI
QS
z
z
?? ??
半个圆截面
对中性轴的
静矩
此外
将上式带入
z
z
bI
QS ??? 得
2R
?34R
$6.5梁的正应力和剪应力强度条件,
提高弯曲强度的措施
梁在弯曲时，横截面上一部分点受拉应力，另一部分点受
压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力
相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到
许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中
性轴的截面，对于拉压强度不等的材料，拉压应力均不应该
超过各自的许用应力。于是强度条件为
? ??? ?? WM m a xm a x
? ??? ?max
? ??? ?? WM m a xm a x
，
? ??? ?m a x
1．弯曲正应力和剪应力强度条件
例 求 T形截面梁的最大切应力。
A
B C
D
9 k N 4 k N
1 m 1 m 1 m
Q
x
解,（ 1）求支反力
kNR A 5? kNR B 5.11?
（ 2）作剪力图
kNQ 5.6m a x ?
（ 3）求最大切应力
34333* m a x,104.77104410201088 mS z ???? ????????
461063.7 mI z ???
PabI SQ
Z
z 4
*
m a x
m a x 1030.3 ????
$6.5 梁的截面形状优化
W
M m a x
m a x ??
，对于宽 b,高为 h的矩形，
抗弯截面模量 AhAhW
z 1 6 7.06 ??
因此，高度越大，
zW 越大,max?
在外边缘达到许用应力时，中性轴附近的应力很小，造成
材料的浪费。例如：圆形截面。理想的情况是将面积之半
分布于距中性轴
2h
处。
越小。
为 A/2
A/2
AA A
? ???h
a.塑性材料 ? ? ? ?
ct ?? ?
上、下对称 抗弯更好，抗扭差。
b.脆性材料 ? ? ? ?ct ?? ?
$6.6等强度梁
截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样
的变截面梁称为等强度梁。
由 ? ?
? ? ? ??? ?? xW
xM
m a x
得 ? ? ? ?
? ?? xMxW ?
若图示悬臂梁为等强度梁。等宽度 h，
高度为 x的函数, b=b(x)。
则 ? ?
PxxM 21?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
??
PxxMhxb
xW 2
1
6
2
???
得出 ? ?
? ? xh
Pxb
2
3
??
P
x
按剪切强度确定截面宽度的最小值
由于变截面梁并不节省材料，且加工麻烦，因此采用阶梯
梁 (加工方便 )。
? ??h
Pb
4
3
m in ?
? ??? ???
hb
P
hb
Q
m i nm i n
m a x
2
1
2
3
2
3
minb
P
x
$6.1 梁的弯曲
1．横力弯曲
横截面上既有 Q又
有 M的情况。如 AC、
DB段。
2．纯弯曲
某段梁的内力只有弯矩没
有剪力时，该段梁的变形
称为纯弯曲。如 CD段。
Q
3．梁的纯弯曲实验
(1).现象,横向线 a-b变形后仍为直
线，但有转动；纵向线变 a-a变为
曲线，且上面压缩下面拉伸；横
向线与纵向线变形后仍垂直。
(2)概念：
中性层,梁内有一层纤维既不
伸长也不缩短，因而纤维不受拉
应力和压应力，此层纤维称中性
层。
中性轴,中性层与横截
面的交线。
aa ba b
m
m
横截面对称轴
中性轴 中性层
纵向对称面
$6.2纯弯曲时的正应力
1．变形几何关系
从梁中截取出长为 dx的一个微段，横截面选用如图所示的
zy? 坐标系。图中,y轴为横截面的对称轴，
z轴为中性轴。横截面间相对转过的角度为
?d,中 性层 曲率半径为 ?,距中性层为 y
处的任一纵线（纵向纤维） b,b、
为圆弧曲线。
d x
o
o
b
b'o 'o
m
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y
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而其线应变为
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因此，纵 bb的伸长为
梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简
单拉伸或压缩。当横截面上的正应力
不超过材料的比例极限时，可由虎克
定律得到横截面上坐标为 y处各点
的正应力为
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d x
o
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m
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3．静力关系
截面上内力系简化为三个内力分量，即平行
x轴的轴力 N,对 Z轴的力偶矩 MZ,
和对轴的力偶矩 My
?? A dAN ? ?? Ay dAzM ?
，
?? Az dAyM ?
2．物理关系
d x
o
o
b
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m
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y
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y z
考虑左侧平衡，
? ? 0X, ? ? 0yM
，得
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横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩
zM
? ? ??? A Az MdAyEdAyM 2??
式中积分
zA IdAy ?? 2
上式可写成为
EI
M?
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1
ZEI 称为梁的抗弯刚度。 将该式代入
yEE ??? ??,即可得到弯曲时梁的
zI
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横截面上的正应力计算公式
即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹
zI
My m a x
m a x ??
入的一侧受压。则截面上的最大正应力为
$6.3横力弯曲时的正应力
1．横力弯曲时的正应力,横力弯曲时的细长梁，
横截面将不在保持为平面。纵向纤维间的正应力也存在。但用纯
弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，能够满足精度的要求。
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，在弯矩
最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式
zI
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引入符号
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IW z
z ?
—— 截面图形的抗截面模量。
W
M m a x
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强度条件为
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则
高为 h,宽为 b的矩形截面：
6
2
12
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直径为 ? 的圆截面：
32
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例 受均布载荷作用的简支梁如图
所示，试求：（ 1） 1—— 1截面上 1、
2两点的正应力；（ 2）此截面上的最
大正应力；（ 3）全梁的最大正应力；
解,画 M图求截面弯矩
k N mqxq L xM 6022
2
1 ????
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???
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求应力
4512
33
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341048.6
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7.61108 3 2.5 6060 5121 ??????? ??
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2.1041048.6 5.67 4m a xm a x ?????
8/2qL
$6.4 弯曲切应力
横力弯曲的梁截面上有弯矩还有剪力。剪力 Q是与截面相切的
内力系的合力。
研究方法：分离体平衡。
1．矩形截面中的弯曲切应力
在梁上取微段 dx，在微段上再
取一块如图，列平衡方程：
0'12 ????? bdxNNX ?
z
z
A Az I
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I
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11
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A Az I
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1 1
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（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 3）带入（ 1）、（ 2）得
z
Z
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S
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z
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由剪应力互等得
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I
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Z
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并
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工字形截面其弯曲剪应
力计算与矩形截面梁类似。
仍然沿用矩形截面梁弯曲
剪应力计算公式
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将此式代入弯曲剪应力公式，可得腹板上弯曲剪应力的计算
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2．工字钢截面
将 y=0和 y=h/2分别带入上式，得
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3．圆形截面梁
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半个圆截面
对中性轴的
静矩
此外
将上式带入
z
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2R
?34R
$6.5梁的正应力和剪应力强度条件,
提高弯曲强度的措施
梁在弯曲时，横截面上一部分点受拉应力，另一部分点受
压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力
相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到
许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中
性轴的截面，对于拉压强度不等的材料，拉压应力均不应该
超过各自的许用应力。于是强度条件为
? ??? ?? WM m a xm a x
? ??? ?max
? ??? ?? WM m a xm a x
，
? ??? ?m a x
1．弯曲正应力和剪应力强度条件
例 求 T形截面梁的最大切应力。
A
B C
D
9 k N 4 k N
1 m 1 m 1 m
Q
x
解,（ 1）求支反力
kNR A 5? kNR B 5.11?
（ 2）作剪力图
kNQ 5.6m a x ?
（ 3）求最大切应力
34333* m a x,104.77104410201088 mS z ???? ????????
461063.7 mI z ???
PabI SQ
Z
z 4
*
m a x
m a x 1030.3 ????
$6.5 梁的截面形状优化
W
M m a x
m a x ??
，对于宽 b,高为 h的矩形，
抗弯截面模量 AhAhW
z 1 6 7.06 ??
因此，高度越大，
zW 越大,max?
在外边缘达到许用应力时，中性轴附近的应力很小，造成
材料的浪费。例如：圆形截面。理想的情况是将面积之半
分布于距中性轴
2h
处。
越小。
为 A/2
A/2
AA A
? ???h
a.塑性材料 ? ? ? ?
ct ?? ?
上、下对称 抗弯更好，抗扭差。
b.脆性材料 ? ? ? ?ct ?? ?
$6.6等强度梁
截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样
的变截面梁称为等强度梁。
由 ? ?
? ? ? ??? ?? xW
xM
m a x
得 ? ? ? ?
? ?? xMxW ?
若图示悬臂梁为等强度梁。等宽度 h，
高度为 x的函数, b=b(x)。
则 ? ?
PxxM 21?
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1
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得出 ? ?
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Pxb
2
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按剪切强度确定截面宽度的最小值
由于变截面梁并不节省材料，且加工麻烦，因此采用阶梯
梁 (加工方便 )。
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P
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