第三章 扭转
1.扭转变形,扭转变形是在杆件两端作用大小相等、方向相反
且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截
面都发生绕轴线的相对移动。
$3.1 扭转的概念和实例
3,扭转变形受力特点, 杆件的两端作用着大小相等，方向相
反，且作用面垂直于杆件轴线
A
B
A
B
??mm
5,工程实例, 方向盘轴、传动轴。
2,外力特征,力偶
矩矢平行于杆的轴
线。力偶矩矢表示
的右手螺旋法则。
4.力偶变形特点, 各轴线仍直，杆件的任意两个横截面发
生绕轴线的相对转动。
$3.2外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩的计算
).(9 5 4 9 mNnNm ??
N：功率； n,转速
（ 1）内力偶矩：杆件受扭时截面上
的内力偶矩。符号
（ 2）内力偶矩计算 — 截面法
T
用截面 nn? 将轴分成两部分，按右手螺旋法则把 m
,T表示为矢量，列出左部分平衡方程
0?? xM,得到
mT? 。
2．扭矩和扭矩图
mmmnn?I I?Txm
n
n
I I
T
mmmnn?I I?Txm
n
n
I I
T当矢量方向与截面外法线方向一致时,T为正；反之为负。 xT（ 3）扭矩图反应出 |T|max值及其截面位置，从而进行强度计算（危险截面）。该图一般以杆件轴线为横轴表示横截
面位置，纵轴表示扭矩大小。
表示杆件各横截面上扭矩变化规律的
图形
例 传动轴如图，主动轮 A输出功率 kWPA 36?
，从动轮 B,C,D输出功率分别为 kWPP CB 11??, kWPD 14?
，轴的转速为 。试作轴的扭矩图。
解（ 1）求外力偶矩
mNnPm AA,1 1 4 63 0 0369 5 4 99 5 4 9 ????
mNnPmm BCB,3 5 03 0 0119 5 4 99 5 4 9 ?????
mNnPm DD,4 463 00149 54 99 54 9 ????
Bm Cm ?T
Bm 1T
T3
Dm
m in/300 rn ?
AmBm Cm Dm
B C D
1
1
2
2
3
3
A
（ 2）求截面内扭矩
在 BC段内
Bm Cm ?T
Bm 1T
T3
Dm
AmBm Cm Dm
B C D
1
1
2
2
3
3
A
T
x
01 ?? BmT mNmT B,3501 ????
在 CA段内
0??? BC mmT ?
mNmmT BC,7 0 0??????
在 AD段内
mNmT D,4 4 6?????
（ 3）画扭矩图
1．薄壁圆筒的扭转实验
$3.3薄壁圆筒的扭转
① 圆筒表面的各圆周
线的形状、大小和间
距均未改变，只是绕
轴线作了相对转动。
试验前后比较现象：
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ? 。
得出结论,纵向截面上无正应力，只有切于截面的切应力。
?p qp q pp
p
p
q
q
q
q
l
t
r
?'??
o
x
y
z
mm
m
?
t
d x
d
y
( a )
( b )
( c ) ( d ) ( e )
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
2.薄壁圆筒扭转时的切应力
?p qp q pp
p
p
q
q
q
q
l
t
r
?'??
o
x
y
z
mm
m
?
t
dx
d
y
( a )
( b )
( c ) ( d ) ( e )
横截面内力力系对 x轴力矩为,rrt ????2
平衡方程：
tr
m
rrm
22
2
?
?
??
?
???
3.切应力互等定理
几何模型：用相邻的两个横截面和两个纵向面，从圆筒
中取出边长分别为 dx,dy,dz和 t 的微小矩形六面体。
由 0?? xM 得, ? ? ? ?dytd xdxtd y ??? '?? '?? ?
4．切应变 剪切胡克定律
l
r?? ? —— 切应变
?? G? —— 剪切胡克定律
r — 半径；
? — 扭转角；
l — 圆筒长度； ?
—— 剪应变； G—— 剪切弹性模量。
式中
$3.4 圆轴扭转变形的剪应力分布和变形计算
1．变形几何关系
dx
d???
? ?
2．物理关系 —— 胡克定
律
dx
dGG ????
?? ??
3．力学关系
dAdxdGdxdGdAT A AA ? ?? ??? 22 ?????? ?
?? ?
pI
T?
3222
44
0
22 DRddAI R
Ap
?????? ???? ??
tp W
TR
I
T ??
m a x? 其中 RIW pt ? 称为抗扭截面模量。
`
o
T T
?d
?
??
?
d
x
T
max?
max?
??
?
4．扭转强度和刚度分析
][m a x ?? ??
tW
T 材料的许用剪应力???
圆轴扭转时的刚度条件：
强度条件：
为了消除长度的影响，用 dxd /? 表示扭转变形的程度，令
pGI
T
dx
d ?? ?? ][m a xm a x ?? ??
pGI
T
距离为 l 两个横截面之间的相对扭转角为
?? ?? l
pl p
dxGITdxGIT?
例 传动轴上有三个齿轮，齿轮 2为主动轮，齿轮 1和齿轮 3消耗的
功率分别为 KW756.0 KW98.2和 。若轴的转速为,m in/5.183 r
，材料为 45钢,。根据强度确定轴的直径。? ? M P a40??
1 2
3
1m 2m 3m
0.3m 0.4m
x
T
155N.m
39.3N.m
解, (1) 计算力偶距
mNnPm,3.399549 11 ??
mNmmm,3.1 9 4312 ???
(2)根据强度条件计算直径
从扭矩图上可以看出，齿轮 2与 3 间
的扭矩绝对值最大。
][16 3m a xm a xm a x ??? ??? DTWT
t ? ?
mTD 0272.0163 m a x ?? ??
mNnPm,1559549 33 ??
例 若上题规定 ? ? ? ? m/5.1 ??? 且已知 G P aG 80?
按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮 3对齿轮 1的转角。
解：
? ? 5.1180
32
155
4
m a x ???
?
? ?
??
?
DG
mD 029.05.11080 180155324 29 ???? ??? ?
? ?
r a dGITl
P
3
43912
1085.1
1030321080
3.03.39 ?
?
??
????
???
??
? ?
r a dGI Tl
P
3
43923
1075.9
1030321080
4.03.391 5 5 ?
?
???
????
????
??
r a d3231213 109.7 ?????? ???
1 2
3
1m 2m 3m
0.3m 0.4m
x
T
155N.m
39.3N.m
$3.5 扭转变形能
1．扭矩作功
?mW 21?
2．扭转变形能和能密度
PPP GI
lT
GI
lm
GI
TlmmWU
222
1
2
1 22 ????? ?
l
r
tr
m
lrt
m
V
Uu ?
??
? ???
???? 222
1
22
1
?? ?? 21u
m
??
m
$3.6圆柱密圈螺旋弹簧的应力和变形
1．弹簧丝横截面上的应力
2/,PDTPQ ??
21
4
d
P
A
Q
?? ?? 3m a x,2
8
d
PD
W
T
t ?
? ??
33m a x,21m a x
81
2
8
d
PD
D
d
d
PD
????? ???
??
?
? ????
修正公式：
33m a x
886 1 5.0
44
14
d
PDk
d
PD
cc
c
??? ???
??
?
? ?
?
??
式中
d
Dc ? ccck 6 1 5.044 14 ????
P P
弹簧的变形是指弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，沿轴线方向
的缩短量（或伸长量），
用 ? 表示
在弹性范围内，压力 P与变形 ? 成正比。
?PW 21? 2
82
222 1 2 8
2 ??
?
dG
DP
Gu ??
4
32
0
2/
0
32
082
22 4128
Gd
nDPdsdd
dG
DPudVU Dnd
V ??? ????
?? ???
?
令变形能等于外力作功，即 U=W,于是有
4
324
2
1
Gd
nDPP ??
C
P
Gd
nPD ??
4
38
?
其中
nD
GdC
3
4
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2．弹簧的变形
1.扭转变形,扭转变形是在杆件两端作用大小相等、方向相反
且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截
面都发生绕轴线的相对移动。
$3.1 扭转的概念和实例
3,扭转变形受力特点, 杆件的两端作用着大小相等，方向相
反，且作用面垂直于杆件轴线
A
B
A
B
??mm
5,工程实例, 方向盘轴、传动轴。
2,外力特征,力偶
矩矢平行于杆的轴
线。力偶矩矢表示
的右手螺旋法则。
4.力偶变形特点, 各轴线仍直，杆件的任意两个横截面发
生绕轴线的相对转动。
$3.2外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩的计算
).(9 5 4 9 mNnNm ??
N：功率； n,转速
（ 1）内力偶矩：杆件受扭时截面上
的内力偶矩。符号
（ 2）内力偶矩计算 — 截面法
T
用截面 nn? 将轴分成两部分，按右手螺旋法则把 m
,T表示为矢量，列出左部分平衡方程
0?? xM,得到
mT? 。
2．扭矩和扭矩图
mmmnn?I I?Txm
n
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I I
T
mmmnn?I I?Txm
n
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I I
T当矢量方向与截面外法线方向一致时,T为正；反之为负。 xT（ 3）扭矩图反应出 |T|max值及其截面位置，从而进行强度计算（危险截面）。该图一般以杆件轴线为横轴表示横截
面位置，纵轴表示扭矩大小。
表示杆件各横截面上扭矩变化规律的
图形
例 传动轴如图，主动轮 A输出功率 kWPA 36?
，从动轮 B,C,D输出功率分别为 kWPP CB 11??, kWPD 14?
，轴的转速为 。试作轴的扭矩图。
解（ 1）求外力偶矩
mNnPm AA,1 1 4 63 0 0369 5 4 99 5 4 9 ????
mNnPmm BCB,3 5 03 0 0119 5 4 99 5 4 9 ?????
mNnPm DD,4 463 00149 54 99 54 9 ????
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（ 2）求截面内扭矩
在 BC段内
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在 AD段内
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（ 3）画扭矩图
1．薄壁圆筒的扭转实验
$3.3薄壁圆筒的扭转
① 圆筒表面的各圆周
线的形状、大小和间
距均未改变，只是绕
轴线作了相对转动。
试验前后比较现象：
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ? 。
得出结论,纵向截面上无正应力，只有切于截面的切应力。
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p
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( b )
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③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
2.薄壁圆筒扭转时的切应力
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平衡方程：
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3.切应力互等定理
几何模型：用相邻的两个横截面和两个纵向面，从圆筒
中取出边长分别为 dx,dy,dz和 t 的微小矩形六面体。
由 0?? xM 得, ? ? ? ?dytd xdxtd y ??? '?? '?? ?
4．切应变 剪切胡克定律
l
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?? G? —— 剪切胡克定律
r — 半径；
? — 扭转角；
l — 圆筒长度； ?
—— 剪应变； G—— 剪切弹性模量。
式中
$3.4 圆轴扭转变形的剪应力分布和变形计算
1．变形几何关系
dx
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2．物理关系 —— 胡克定
律
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3．力学关系
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4．扭转强度和刚度分析
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圆轴扭转时的刚度条件：
强度条件：
为了消除长度的影响，用 dxd /? 表示扭转变形的程度，令
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T
距离为 l 两个横截面之间的相对扭转角为
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例 传动轴上有三个齿轮，齿轮 2为主动轮，齿轮 1和齿轮 3消耗的
功率分别为 KW756.0 KW98.2和 。若轴的转速为,m in/5.183 r
，材料为 45钢,。根据强度确定轴的直径。? ? M P a40??
1 2
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39.3N.m
解, (1) 计算力偶距
mNnPm,3.399549 11 ??
mNmmm,3.1 9 4312 ???
(2)根据强度条件计算直径
从扭矩图上可以看出，齿轮 2与 3 间
的扭矩绝对值最大。
][16 3m a xm a xm a x ??? ??? DTWT
t ? ?
mTD 0272.0163 m a x ?? ??
mNnPm,1559549 33 ??
例 若上题规定 ? ? ? ? m/5.1 ??? 且已知 G P aG 80?
按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮 3对齿轮 1的转角。
解：
? ? 5.1180
32
155
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39.3N.m
$3.5 扭转变形能
1．扭矩作功
?mW 21?
2．扭转变形能和能密度
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1
2
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$3.6圆柱密圈螺旋弹簧的应力和变形
1．弹簧丝横截面上的应力
2/,PDTPQ ??
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修正公式：
33m a x
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式中
d
Dc ? ccck 6 1 5.044 14 ????
P P
弹簧的变形是指弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，沿轴线方向
的缩短量（或伸长量），
用 ? 表示
在弹性范围内，压力 P与变形 ? 成正比。
?PW 21? 2
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Gd
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令变形能等于外力作功，即 U=W,于是有
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2．弹簧的变形
