第八章 应力状态分析和强度理论 授课学时：8学时 主要内容：斜截面上的应力；二向应力状态的解析分析和应力圆。三向应力简介。 $8.1应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力 1．应力状态 过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态 2．单向拉伸时斜截面上的应力 横截面上的正应力  斜截面上的应力  斜截面上的正应力和切应力为   可以得出 时  时  过A点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。 主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。三个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态。三个主应力中有两个不为零，称为二向应力状态。三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列，即为。 $8.2二向应力状态下斜截面上的应力 任意斜截面上的应力 在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线。 在外法线和切线上列平衡方程     根据剪应力互等定理，，并考虑到下列三角关系 ，  简化两个平衡方程，得   2．极值应力 将正应力公式对取导数，得  若时，能使导数，则   上式有两个解：即和。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为  代入剪力公式，为零。这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。 将切应力公式对求导，令 若时，能使导数，则在所确定的截面上，剪应力取得极值。通过求导可得   求得剪应力的最大值和最小值是：  与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方位的对应关系是：若，则绝对值较小的对应最大剪应力所在的平面。 3．主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系 与之间的关系为   这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为。 $8.3二向应力状态的应力圆 1．应力圆方程 将公式 中的削掉，得  由上式确定的以和为变量的圆，这个圆称作应力圆。圆心的横坐标为，纵坐标为零，圆的半径为。 2．应力圆的画法 建立应力坐标系（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点和 与轴的交点C便是圆心 以C为圆心，以AD为半径画圆——应力圆。 3．单元体与应力圆的对应关系 1）圆上一点坐标等于微体一个截面应力值 2）圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍 3）对应夹角转向相同 4．在应力圆上标出极值应力   $8.4三向应力状态 1．三个主应力  2.三向应力圆的画法 由作应力圆，决定了平行于平面上的应力 由作应力圆，决定了平行于平面上的应力 由作应力圆，决定了平行于平面上的应力 3．单元体正应力的极值为 ， 最大的剪应力极值为  $8.5复杂应力状态的广义虎克定律 1．单拉下的应力—应变关系 ， 2．复杂状态下的应力— 应变关系 三向应力状态等三个主应力，可看作是三组单向应力的组合。对于应变，可求出单向应力引起的应变，然后叠加可得   3．体积胡克定律 单元体变形后的体积为  单元体变形后的体积为  体积改变为  其中为体积模量，是三个主应力的平均值。为体积胡克定律。