第二章 轴向拉伸、压缩与剪切 授课学时：8学时 主要内容： 1．轴向拉伸与压缩杆横截面上正应力，强度条件 2．胡克定律 ，  3．用切线代圆弧法求解超静定桁架结点位移 4．简单拉压静不定问题的求解 5． 剪应力、挤压应力强度条件的应用 $2.1轴向拉伸与压缩的概念 1．轴向拉伸与压缩的概念 杆件上外力合力的作用线与杆件轴线重合，变形是沿轴线方向的伸长和缩短。 2．力学模型 $2.2 轴力 、轴力图 1．轴力 杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。轴力用 N 表示，方向与轴线重合。  求解轴力的方法：截面法。 轴力的符号规则：N 与截面的外法线方向一致为正；反之为负。轴力为正，杆件受拉；轴力为负，杆件受压。 2．轴力图：用折线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横轴表示截面位置，纵轴表示轴力大小。它能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据 例 AB 杆受力如图所示 , 已知，， 。 试求 AB 杆各段内并作轴力图 解: (1)计算各段的轴力 对AC段，设置截面如图， 由平衡方程得  对BC段，由平衡方程得   (2)按比例画轴力图 3．轴向拉（压）时横截面上的应力，强度条件 根据横截面在轴向拉压时仍然保持为平面不变的平面假设，可得横截面上只存在正应力。又因为材料均匀连续，并且纵向纤维的伸长相同，所以横截面上的正应力均匀分布。  强度条件及其应用：  例 如图所示托架，已知：AB为钢板条， 截面积100cm2，AC为10号槽钢，横截面面积为 A=12.7 cm2。若，求：各杆的应力。 解： （1）以节点C为研究对象，受力分析如图所示，建立平衡方程  ，  解方程可得  （2）计算各杆的应力 AB和AC的应力为  $2.3材料拉伸时的力学性能 1．低碳钢拉伸时的力学性能 材料的力学性能：就是材料在外力作用下，所表现出来的变形和破坏等方面的特性。 试件形状：  （1）弹性阶段  应力—应变曲线上当应力增加到b点时，再将应力降为零，则应变随之消失；一旦应力超过b点，卸载后，有一部分应变不能消除，则b点的应力定义为弹性极限。在拉伸（或压缩）的初始阶段应力与应变为直线关系直至点，此时点所对应的应力值称为比例极限，表示为 （2）屈服阶段 在应力增加很少或不增加时，应变会很快增加，这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所对应的应力叫屈服极限。到达屈服阶段时，在磨光试件表面会出现沿45度方向的条纹，这是由于该方向有最大剪应力，材料内部晶格相对滑移形成的。 （3） 强化阶段 材料经过屈服阶段以后，因塑性变形使其组织结构得到调整，若需要增加应变则需要增加应力。σ—ε曲线又开始上升，到最高点处的强度是材料能承受的强度极限。 （4）局部变形阶段 当低碳钢拉伸到强度极限时，在试件的某一局部范围内横截面急剧缩小，形成缩颈现象。 （5）截面收缩率和延伸率 截面收缩率 延伸率 2．铸铁拉伸时的力学性能 铸铁拉伸时，没有屈服和颈缩，拉断时延伸率很小，故强度极限是衡量强度的唯一指标。 $2.4材料压缩时的力学性能 1．低碳钢在压缩时，弹性摸量和屈服极限与拉伸相似，但压缩不会破坏，只会越压越扁，没有强度极限。 2．铸铁压缩时，在较小变形时就会破坏，并沿45度方向破坏，说明铸铁因剪切破坏。 $2.5失效与许用应力 1．失效原因 脆性材料在其强度极限破坏，塑性材料在其屈服极限时失效。二者统称为极限应力理想情形。 极限应力： ，  (极限应力是材料的强度指标) 若工作应力为  因此工作应力的最大允许值低于，。 塑性材料、脆性材料的许用应力分别为 ， 一般工程中 。 2．强度条件  等截面杆  $2.6轴向拉伸或压缩的变形，弹性定律  1．杆件在轴向方向的伸长为  2．沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为 ，。 3．胡克定律 当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 ，这就是胡克定律。E为弹性模量。 将应力与应变的表达式带入得  4．横向应变为  横向应变与轴向应变的关系为  $2.7轴向拉（压）杆静不定问题 1．静不定问题的概念 对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。这类问题称为静不定问题或超静定问题。 2．静不定问题的解法 求解静不定问题的关键在于使未知力个数和方程个数相等，这要求除了利用理论力学的知识建立平衡方程外，还要建立若干个补充方程，使其个数等于静不定次数。 以求下面三杆桁架的内力为例说明静不定问题的解法。 (1)列A点的平衡方程  （2）变形几何关系  （3）力与变形的关系 ＝  （４）联立补充方程和平衡方程求解未知力 ， 例 杆的上、下两端都有固定约束，若抗拉刚度EA已知，试求两端反力。 解： （1）列杆的平衡方程 杆的未知反力有和，平衡方程只有一个。即   （2）变形几何关系 由于杆的上、下两端均已固定，故杆的总变形为零，即， 等于AC段变形，等于BC段变形 （3）力与变形的关系 AC段，其轴力，对BC段，其轴力， 由虎克定律 　　　　 　　  代入变形几何关系 　　　　　　　　　　　即 （４）联立补充方程和平衡方程求解未知力  　解得　   　应该注意，、方向可任意假设，但在建立补充方程时，杆件所受的力必须与产生的变形一致，才能得到正确答案。 3．装配应力 对于静定问题，不存在装配应力，但在静不定结构中，由于杆件的尺寸不准确，强行装配在一起，这样在未受载荷之前，杆内已产生的内力。由于装配而引起的应力称为装配应力。 以下图为例进行讲解。 1．平衡方程   2．变形几何方程  3．物理方程 ， 联立方程得 ， $2.8应力集中的概念 1．应力集中 等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分布的，对于构件有圆孔、切口、轴肩的部位，应力并不均匀，并在此区域应力显著增大，这种现象称为应力集中。 (原孔洞应力向两旁分配，造成应力分配不均匀。) 应力系中系数，名义应力(平均应力) 2．应力集中对构件强度的影响 塑性材料：由于塑性引起应力均布，对静强度极限影响不大。对疲劳强度，应力集中有影响。 脆性材料：塑性材料没有屈服阶段，载荷增加时应力集中处的最大应力一直领先。并首先在此处出现裂纹。对静载荷，也应考虑其影响。 $2.9剪切和挤压 1．剪切变形与挤压 剪切变形的受力特点：作用在杆件两个侧面上且与轴线垂直的外力，大小相等，方向相反，作用线相距很近。 变形特点是：两个力之间的截面沿剪切面相对错动。可能被剪断的截面称为剪切面。 　　　 　　　　　　　　　　　 　式中 Q：剪切面上的剪力，它与P的关系由平衡方程确定。A：剪切面面积（不一定是横截面的面积，且与外载荷平行） 挤压应力 ，  式中 P：挤压面上的挤压力 ：挤压面面积（与外载荷垂直），过圆柱直径的横截面面积。 2．剪应力与挤压力的计算 例 齿轮和轴用平键联接如下图所示。已知轴的直径d=70mm，键的尺寸，传递的力偶矩m=2kN m，键的许用应力，许用挤压应力。试校核键的强度。 解： （1） 计算键所受剪力的大小 将键沿截面n-n假想切开成两部分，并把截面以下部分和轴作为一个整体来考虑。n-n截面上的剪力Q为  由平衡条件 得   （2）校核键的剪切强度  故平键满足剪切强度条件。 （3）校核键的挤压强度 键受到的挤压力为P，挤压面面积，由挤压强度条件  故平键满足挤压强度条件。 例 拖车挂钩由插销与板件联结。插销材料为20号钢，，直径，厚度，。试校核插销的剪切强度。 若挤压许可应力为，试校核插销的挤压强度。 解： （1） 计算键所受力的大小 将插销沿截面m-m和n-n假想切开（双剪切面）。列平衡方程可得  （2）校核键的剪切强度  （3）校核键的挤压强度 考虑中段的直径面积小于上段和下段直径面面积之和2dt，故校核中段的挤压强度。