第三章 扭转变形
授课学时：6学时
内容：
外力偶矩的计算；
扭转剪应力推导过程；
圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律和强度，圆轴扭转变形时的刚度和变形（相对扭转角）计算。
$3.1 扭转的概念
1．外力特征
力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。
2．扭转变形受力特点
杆件的两端作用着大小相等，方向相反，且作用面垂直于杆件轴线。
3．力偶变形特点
各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。
4．工程实例
方向盘轴、传动轴。
$3.2扭矩和扭矩图
1．外力偶矩的计算
N：功率；：转速
2．扭矩和扭矩图
（1）内力偶矩：杆件受扭时截面上的内力偶矩。符号
（2）内力偶矩计算—截面法
用截面将轴分成两部分，按右手螺旋法则把，T表示为矢量，列出左部分平衡方程，得到
当矢量方向与截面外法线方向一致时，T为正；反之为负。
对于杆件一侧作用多个外力偶矩情况，任一截面的内力偶矩等于其一侧所有外力偶矩的代数和
（3）扭矩图
表示杆件各横截面上扭矩变化规律的图形，反应出值及其截面位置，从而进行强度计算（危险截面）。该图一般以杆件轴线为横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩大小。
例 传动轴如图，主动轮A输出功率，从动轮B、C、D输出功率分别为，，轴的转速为。试作轴的扭矩图。
解：
（1）求外力偶矩
（2）求截面内扭矩
在BC段内
在CA段内
在AD段内
（3）画扭矩图
$3.3薄壁圆筒的扭转
1．薄壁圆筒的扭转实验
试验前后比较现象：
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ( 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
得出结论：
纵向截面和过轴线的截面上无正应力，只有切于纵向截面的切应力。
2．薄壁圆筒的扭转的切应力
应用截面法并考虑左侧的平衡方程，得出
3．剪应力互等定理：
由 得 ，
由上式得出：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，方向则共同指向或背离该交线。
4．切应变 剪切胡克定律
——切应变
——剪切胡克定律
式中 —半径；—扭转角；—圆筒长度；——剪应变；G——剪切弹性模量。
$3.4 圆轴扭转变形的剪应力分布和变形计算
1．变形几何关系—圆轴扭转的平面假设
圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不
变，半径保持为直线；且相邻两截面间距离不变。
2．物理关系——胡克定律
3．力学关系
其中，称为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。
4．扭转强度和刚度分析
为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力，即
根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。
圆轴扭转时的刚度条件：
为了消除长度的影响，用表示扭转变形的程度，令
，
距离为的两个横截面之间的相对扭转角为
对于阶梯轴（各段的极惯性矩不同）或轴上有几个外力偶作用时，应分段计算每段的饿扭转角，然后求代数和，即为两端面间的扭转角
例 传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3消耗的功率分别为和。若轴的转速为，材料为45钢，。根据强度确定轴的直径。
解:
(1) 计算力偶距
(2) 根据强度条件计算直径
从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。
例 若上题规定，且已知按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮3对齿轮1的转角。
解：
$3.5 扭转变形能
1．扭矩作功
2．扭转变形能和能密度
$3.6圆柱密圈螺旋弹簧的应力和变形
1．弹簧丝横截面上的应力
，
修正公式：
式中，
2．弹簧的变形
弹簧的变形是指弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，沿轴线方向的缩短量（或伸长量），用表示
在弹性范围内，压力P与变形成正比。
令变形能等于外力作功，即U=W ，于是有
其中
