第五章弯曲内力 授课学时：6学时 主要内容：弯曲内力；Q、M与q之间的微分关系；Q,M方向的确定；突变位置,方向,大小数值。 $5.1概述 1．平面弯曲 受力特点是：所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴线垂直。 变形特点是：杆的轴线由原来的直线弯曲成与外力在同一平面上的曲线。  2．支承简化 3．静定梁的分类 4．载荷的简化 集中载荷、载荷、集中力偶、分布力偶 例 求悬臂梁的约束反力。 解： （1）分析受力 受集中力P，分布力q，力偶m，固定端简化为、、。 （2）列平衡方程  解得  $5.2梁横截面的内力——剪力和弯矩 1．剪力和弯矩 根据梁的平衡条件，列以下方程 ， 得出静定梁在载荷作用下的支反力，；并将其作为已知量。 作载面，考虑左侧平衡，列平衡方程。  从上式可以看出，截面上的剪力在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力在梁轴的垂线（轴）上投影的代数和。截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力对于该截面形心的力矩的代数和。 2．剪力和弯矩方向的确定 取梁内一小段dx，其错动趋势为“左上右下” 时，对于剪力规定为正号；反之，为负号。对于弯矩，在图所示的变形情况下，小段的弯曲变形向下凹进，截面的弯矩M规定为正号；反之，为负号。  例 已知，求跨度截面中点截面E上的弯矩和截面C上的剪力。  解： （1）求支座反力  （2）列平衡方程，求剪力和弯矩   3．剪力方程弯矩方程 剪力图和弯矩图 1）剪力方程和弯矩方程 一般情况下，剪力和弯矩随截面位置变化，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为的函数。  2）剪力图和弯矩图 以平行于梁轴的横坐标表示横截面的位置，以纵坐标相应截面上的剪力和弯矩。 例 画出梁的剪力图和弯矩图 解： （1）列平衡方程，求支反力     解得   （2）求剪力和弯矩    ，这是在AC段内的剪力方程弯矩方程    ，这是在BC段内的剪力方程弯矩方程 （3）画剪力图弯矩图 $5.3载荷集度、剪力和弯矩间的关系 1．弯曲内力与分布载荷q之间的微分关系（右手坐标系） 用坐标为和的两相邻截面从梁中截取出长为的微段，其中为的截面的形心。在坐标为的截面上，剪力和弯矩分别为和；在坐标为的截面上，剪力和弯矩则分别为，。 列出微段的平衡方程 ，   ，  省略去上面第二式中的二阶微量，整理后可得   上式中就是载荷集度，和剪力及弯矩间的微分关系。可以得出剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 弯矩与荷载集度的关系是： 2．Q、M图与外力间的关系 1）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 2）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 3）在梁的某一截面。，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。 4）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。 例 外伸梁的载荷如图。试利用上面得到的结论，直接作剪力图和弯矩图。 解： (1)求支反力 ，。  (2)分析剪力和弯矩 A点右侧：，。 C点左：，。 C点右：，。 B点左：， B点右：，。 D点左：，