第五章弯曲内力
$5.1概述
受力特点是,所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴垂直。
变形特点是,杆的轴线由原来的直线弯曲成曲线。
截 面 对 称 轴
轴 线
纵 向 对 称 面
2．支承简化
1．平面弯曲
3．静定梁的分类
剪支梁 外伸梁 悬臂梁
4．载荷的简化：集中载荷、载荷、集中力偶、分布力偶
例 求悬臂梁的约束反力。
B
2/2qlm ?
AYAX
q qlP ?
A
C
m
受集中力 P，分布力 q，力偶 m，
固定端简化为
Am AX AY
、、、
、,
（ 1 ）分析受力
B
2/2qlm ?
AYAX
q qlP ?
A
C
m（ 2）列平衡方程 043.2,0 02,0 0,0 ?????? ???? ????? AA A A mmllqPlm qlPYY XX解得 287,23,0 qlmqlYX AAA ???
$5.2梁横截面的内力 —— 剪力和弯矩
1．剪力和弯矩
作载面 m-m，考虑左侧平衡，列
平衡方程,解出剪力和弯矩。
? ? ? ?axPxRMxRaxPMxM
PRQOQPRY
AAo
AA
????????
??????
?
?
11
11
,0,0)(
,,0
B
A
1P 2P
1P 2PQQ
BRA
R xx
yymmx
M
M
根据梁的平衡条件，列
以下方程
0)( ?? FM A
0)( ?? FM B
得出静定梁在载荷作用下的支反力
AR BR
,
1,2．剪力和弯矩方向的确定
取梁内一小段 dx，其错动趋势为“左上右下” 时，对
于剪力规定为正号；反之，为负号。对于弯矩，在图
所示的变形情况下，小段的弯曲变形向下凹进，截面
的弯矩 M规定为正号；反之，为负号。
Q>0 Q<0
M>0 M<0
1P3P2PAY BY
例 已知 mNq /105.12
6??
求跨度截面中点截面 E上的弯矩和截面 C上的剪力。
解：
（ 1）求支座反力
NRR BA 6105 ???
（ 2）列平衡方程,求
剪力和弯矩
NRQ A 6105 ???
mNqRM A,1015.32 4.04.083.0 6???????
一般情况下，剪力和弯矩随截面位置变化，则横
截面上的剪力和弯矩可以表示为 x的函数。
3．剪力方程弯矩方程 剪力图和弯矩图
1）剪力方程和弯矩方程
? ?
? ?xMM
xQQ
?
?
以平行于梁轴的横坐标 x表示横截面的位置，以纵坐标相
应截面上的剪力和弯矩。
2）剪力图和弯矩图
例 画出梁的剪力图和弯矩图
Q
M
x
x
lPb / lPa /
lPab /
P
RA
RB
a b
（ 1）列平衡方程，求支反力
,0?? BM 0?? lRPb A
,0?? AM 0?? PalR B
解得
l
PbR
A ? l
PaR
B ?
（ 2）求剪力和弯矩
? ? lPbxQ ? ? ?ax ??0
? ? xlPbxM ? ? ?ax ??0
这是在 AC段内的剪力方程弯
矩方程
（ 3）画剪力图弯矩图
? ? lPaPlPbxQ ???? ? ?lxa ??
? ? ? ? ? ?xllPbaxPxlPbxM ????? ? ?lxa ??
这是在 BC段内的剪
力方程弯矩方程
$5.3载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1．弯曲内力与分布载荷 q之间的微分关系（右手坐标系）
用坐标为 x和 x+dx的两相邻截面从梁中截取出长为 dx的微段，
其中 c为的截面的形心。在坐标为 x的截面上，剪力和弯矩分别
为 Q(x)和 M(x)；在坐标为 x+dx的截面上，剪力和弯矩则分别为
Q(x) +d Q(x), M(x)+d M(x) 。
d x
x
列出微段的平衡方程
? ? 0Y ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 0???? dxxqxdQxQxQ
0?? cM ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
02,?????? dxdxxqdxxQxdMxMxM
省略去上面第二式中的二阶微量
2)(
dxdxxq ? 整理后可得
)()( xqdx xdQ ? ? ? ? ?xQdx xdM ?
可以得出剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的
大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
弯矩与荷载集度的关系是：
? ? ? ? ? ?xq
dx
xdQ
dx
xMd ??
2
2
2,Q,M图与外力间的关系
1） 梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一
斜直线。
2） 梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一
抛物线。
3） 在梁的某一截面。 ? ? ? ? 0?? xQ
dx
xdM
，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。
4） 由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力 Q有一突然变化，
弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。
利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。
例 外伸梁的载荷如图。试利用上面得到的结论，直接
A
C
B
D
AR BR
3 k N, m
3 k N / m
2 m
4 m
2 m
(1)求支反力
kNR A 5.3? kNR B 5.14?
(2)分析剪力和弯矩
作剪力图和弯矩图。
A点右侧,kNQ 5.3?, 0?M
C点左,5.3?Q, mkNM,7?
C点右,kNQ 5.3?
，
mkNM,4?
B点左,kNQ 5.8?
，
mkNM,6?
B点右,kNQ 6? mkNM,6?
D点左,0?Q, 0?M
A
C
B
D
AR BR
3 k N, m
3 k N / m
2 m
4 m
2 mm613
3, 5 k N
6 k N
8, 5 k N
Q
x
M
x
7 k N, m
6, 0 4 k N, m
4 k N, m
6 k N, m
$5.1概述
受力特点是,所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴垂直。
变形特点是,杆的轴线由原来的直线弯曲成曲线。
截 面 对 称 轴
轴 线
纵 向 对 称 面
2．支承简化
1．平面弯曲
3．静定梁的分类
剪支梁 外伸梁 悬臂梁
4．载荷的简化：集中载荷、载荷、集中力偶、分布力偶
例 求悬臂梁的约束反力。
B
2/2qlm ?
AYAX
q qlP ?
A
C
m
受集中力 P，分布力 q，力偶 m，
固定端简化为
Am AX AY
、、、
、,
（ 1 ）分析受力
B
2/2qlm ?
AYAX
q qlP ?
A
C
m（ 2）列平衡方程 043.2,0 02,0 0,0 ?????? ???? ????? AA A A mmllqPlm qlPYY XX解得 287,23,0 qlmqlYX AAA ???
$5.2梁横截面的内力 —— 剪力和弯矩
1．剪力和弯矩
作载面 m-m，考虑左侧平衡，列
平衡方程,解出剪力和弯矩。
? ? ? ?axPxRMxRaxPMxM
PRQOQPRY
AAo
AA
????????
??????
?
?
11
11
,0,0)(
,,0
B
A
1P 2P
1P 2PQQ
BRA
R xx
yymmx
M
M
根据梁的平衡条件，列
以下方程
0)( ?? FM A
0)( ?? FM B
得出静定梁在载荷作用下的支反力
AR BR
,
1,2．剪力和弯矩方向的确定
取梁内一小段 dx，其错动趋势为“左上右下” 时，对
于剪力规定为正号；反之，为负号。对于弯矩，在图
所示的变形情况下，小段的弯曲变形向下凹进，截面
的弯矩 M规定为正号；反之，为负号。
Q>0 Q<0
M>0 M<0
1P3P2PAY BY
例 已知 mNq /105.12
6??
求跨度截面中点截面 E上的弯矩和截面 C上的剪力。
解：
（ 1）求支座反力
NRR BA 6105 ???
（ 2）列平衡方程,求
剪力和弯矩
NRQ A 6105 ???
mNqRM A,1015.32 4.04.083.0 6???????
一般情况下，剪力和弯矩随截面位置变化，则横
截面上的剪力和弯矩可以表示为 x的函数。
3．剪力方程弯矩方程 剪力图和弯矩图
1）剪力方程和弯矩方程
? ?
? ?xMM
xQQ
?
?
以平行于梁轴的横坐标 x表示横截面的位置，以纵坐标相
应截面上的剪力和弯矩。
2）剪力图和弯矩图
例 画出梁的剪力图和弯矩图
Q
M
x
x
lPb / lPa /
lPab /
P
RA
RB
a b
（ 1）列平衡方程，求支反力
,0?? BM 0?? lRPb A
,0?? AM 0?? PalR B
解得
l
PbR
A ? l
PaR
B ?
（ 2）求剪力和弯矩
? ? lPbxQ ? ? ?ax ??0
? ? xlPbxM ? ? ?ax ??0
这是在 AC段内的剪力方程弯
矩方程
（ 3）画剪力图弯矩图
? ? lPaPlPbxQ ???? ? ?lxa ??
? ? ? ? ? ?xllPbaxPxlPbxM ????? ? ?lxa ??
这是在 BC段内的剪
力方程弯矩方程
$5.3载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1．弯曲内力与分布载荷 q之间的微分关系（右手坐标系）
用坐标为 x和 x+dx的两相邻截面从梁中截取出长为 dx的微段，
其中 c为的截面的形心。在坐标为 x的截面上，剪力和弯矩分别
为 Q(x)和 M(x)；在坐标为 x+dx的截面上，剪力和弯矩则分别为
Q(x) +d Q(x), M(x)+d M(x) 。
d x
x
列出微段的平衡方程
? ? 0Y ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 0???? dxxqxdQxQxQ
0?? cM ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
02,?????? dxdxxqdxxQxdMxMxM
省略去上面第二式中的二阶微量
2)(
dxdxxq ? 整理后可得
)()( xqdx xdQ ? ? ? ? ?xQdx xdM ?
可以得出剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的
大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
弯矩与荷载集度的关系是：
? ? ? ? ? ?xq
dx
xdQ
dx
xMd ??
2
2
2,Q,M图与外力间的关系
1） 梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一
斜直线。
2） 梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一
抛物线。
3） 在梁的某一截面。 ? ? ? ? 0?? xQ
dx
xdM
，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。
4） 由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力 Q有一突然变化，
弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。
利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。
例 外伸梁的载荷如图。试利用上面得到的结论，直接
A
C
B
D
AR BR
3 k N, m
3 k N / m
2 m
4 m
2 m
(1)求支反力
kNR A 5.3? kNR B 5.14?
(2)分析剪力和弯矩
作剪力图和弯矩图。
A点右侧,kNQ 5.3?, 0?M
C点左,5.3?Q, mkNM,7?
C点右,kNQ 5.3?
，
mkNM,4?
B点左,kNQ 5.8?
，
mkNM,6?
B点右,kNQ 6? mkNM,6?
D点左,0?Q, 0?M
A
C
B
D
AR BR
3 k N, m
3 k N / m
2 m
4 m
2 mm613
3, 5 k N
6 k N
8, 5 k N
Q
x
M
x
7 k N, m
6, 0 4 k N, m
4 k N, m
6 k N, m
