)( 0p ?BE
)(d
0
p
0
p
q
E
q
E
lE
AB
AB
?????
??
(积分大小与 无关 )
0q
一 电势
E?0q
A
B
)(d pp0 AB
AB
EElEq ?????
??
? ?? ABA lEqE
??
d0p
8—7 电势
BABA VlEV ??? ?
??
d
( 为参考电势,值任选)
BV
0
p
q
E
V
A
A ?
点电势
A
0
p
q
E
V
B
B ?
点电势
B
令 0?
BV ? ??
ABA
lEV
??
d lEV
V
A
A
??
d
0
?? ?
? 点
物理意义 把单位正试验电荷从点 移到无穷远
时,静电场力所作的功,
A
电势零点选择方法,有限带电体以无穷远为电势
零点,实际问题中常选择地球电势为零,
? ? ?? AA lEV
??
d
ABBAAB UqVqVqW 000 ???
静电场力的功
J10602.1eV1 19???原子物理中能量单位
单位,伏特 )( V
? ????
B
ABAAB
lEVVU
??
d
电势差
(将单位正电荷从 移到 电场力作的功,) A B
?电势差是绝对的,与电势零点的选择无关;
?电势大小是相对的,与电势零点的选择有关;
?电势是标量,其正负是表明相对于零电势点的高低
注意
q
r?
l?d
?
E?
二 点电荷的电势
r
r
q
E
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3
0π 4 ?
?

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r
lr
r
q
V
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r
q
V
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0,0
0,0
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Vq
Vq
?
?
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r r
rqr
3
0π 4
d
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1q
2q
3q
三 电势的叠加原理
点电荷系
??
i
iEE
??
?
?
??
A
A lEV
??
d lE
i A
i
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?
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i i
i
i
AiA r
q
VV
0π4 ?
电荷连续分布
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q
V P
0π 4
d
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A
1r
?
1E
?
2r
?
3r
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?
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q
E?dr?
P
Vq dd ??
qd
?
求电势
的方法
?? r
q
V P
0π 4
d
?
? 利用
? 若已知在积分路径上 的函数表达式,

E?
lEV
V
A
A
??
d
0
?? ?
? 点
(利用了点电荷电势,
这一结果已选无限远处为电势零点,即使
用此公式的 前提条件 为 有限大 带电体且选
无限远 处为电势零点,)
rqV 0π 4/ ??
讨论
例 1 求电偶极子的电场中的电势分布。
?q ?q?l
?r
?
?r
?
P
?r
?O
解,+q,–q两点电荷在 P点的电势分别为,
?
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q
04 ??
?
?
?
?
?
r
q
04 ??
?
由电势叠加原理
??
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??
?
???
rr
rrq
04
)(
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考虑到
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3
0
2
0 44
c o s
r
rp
r
ql
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R
lq
r
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d
π 4
1
d
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?
r
q
R
lq
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V P
00 π 4π 2
d
π 4
1
??
?? ?
22
0π 4 Rx
q
?
?
?
+ +
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ + +
R
r
例 2 正电荷 均匀分布在半径为 的细圆环上,
求 圆环 轴线上距环心为 处点 的电势,
q R
x P
ld
x
P
R
lq
lq
π 2
d
dd ?? ?
o
y
z
x
R
q
Vx
0
0
π 4
0
?
??,
x
q
VRx P
0π 4 ?
???,
22
0π 4 Rx
q
V P
?
?
?
讨 论
R
q
0π4 ?
xo
V
2122
0 )(π 4 Rx
q
??
R
o
x
)(
2
22
0
xRx ???
?
?
22 rx ?
x
P
rrq dπ 2d ??
r
rd
?
?
?
R
P
rx
rr
V
0 22
0
dπ 2
π 4
1 ?
?
Rx ??
x
R
xRx
2
2
22 ??? xQV
0π 4 ??
( 点 电荷电势)
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
例 3 均匀带电球壳的电势,
+ + +
+ +
+
+ +
+
+ +
Q
R
真空中,有一带电为,半径为 的带电球壳, Q R
试求( 1)球壳外两点间的电势差;( 2)球壳内两点
间的电势差;( 3)球壳外任意点的电势;( 4)球壳
内任意点的电势,

rer
q
ERr
??
2
0
2 π 4 ???,
01 ?? ERr ?,
( 1)
? ??? B
A
BA
r
r rEVV
?? d
2
? ??
B
A
rr
r
r eer
rQ ??
2
0
d
π 4 ?
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11
(
π 4 0 BA rr
Q
??
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ro re?
r?dA B
Ar
r
Br
0d1 ???? ? B
A
BA
r
r rEVV
??
( 3) Rr ?
,??Br 0?
?V

r
Q
0π 4 ?
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r
Q
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11
(
π 4 0 BABA rr
Q
VV ???
?

r
Q
rV
0π 4
)(
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?外
可得
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??
r
rErV ?
?
d)( 2外

( 2) Rr ? + + +
+ +
+
+ +
+
+ +
Q
R
ro re?
r?dA B
Ar
r
Br
内V?
( 4) Rr ?
r
Q
rV
0π 4
)(
?
?外

R
Q
RV
0π 4
)(
?
?
可得

??
?
????
R
rE
R
r
rErV ?
???
dd)( 21内
R
Q
0π 4 ?
?
r
Q
rV
0π 4
)(
?
?外
R
Q
rV
0π 4
)(
?
?内
R
Q
0π 4 ?
R ro
V
r
Q
0π 4 ?
例 4,无限长”带电直导线的电势

BABA VlEV ??? ?
??
d
o
r
B
Br
P
r

0?BV
? ?? BP
r
r
rEV ?
?
d ? ??
B
r
r
r
re
r
??
d
π2 0?
?
r
r B
ln
π2 0?
?
?
能否选?
0??V
例 5 一圆台的上下底面半径分别为 R1和 R2,它的
侧面上均匀带电,电荷面密度为 ?,取无穷远为电势
零点,求顶点 o的电势。
解 将圆台分为若干个圆环积分。
??
2
1
04
2x
xp x
r d x
u
??
??
?s in
drdx ?,
s in ?
rx ?
??
2
12
R
R
o
p dru ?
?
)(
2 12
RR
o
??
?
?
例 6 一带电球体,半径 R,电荷体密度为 ? =Ar,
A为常量;求, 球内外的电场和电势。
2
0
2
2
0
0
2
2
0
2
2
0
0
2
1
44
4
:
44
4
:
r
AR
r
drrAr
ERr
Ar
r
drrAr
ERr
R
r
???
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???
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??
??
?
?
?
?
drEu
R
r?
? 11 drE
R?
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? 2
oo
ARrRA
?? 412
)( 333
?
?
?
drEu
r?
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? 22
r
AR
o?4
4
?