第八章静电场
一 电场线 （电场的图示法）
1） 曲线上每一点 切线 方向为该点电场方向,
2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为
该点电场强度的大小, SNEE d/d???
规 定
E?
S
8— 4 高斯定理
第八章静电场
点电荷的电场线
正 点 电 荷
+
负 点 电 荷
第八章静电场
一对等量异号点电荷的电场线
+
第八章静电场
一对等量正点电荷的电场线
+ +
第八章静电场
一对不等量异号点电荷的电场线
q?q2
第八章静电场
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
第八章静电场
第八章静电场
电场线特性
1） 始于正电荷,止于负电荷 (或来自无穷远,去
向无穷远 ),电场线不闭合,
2） 空间中任意两条电场线不相交,
第八章静电场
E?
S
二 电场强度通量
通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面
的电场强度通量
均匀电场, 垂直平面
E?
ESΦ ?e
?c o se ESΦ ?
均匀电场, 与平面夹角
E? ?
?
ne
?
?
SEΦ
??
??e
E?
S
neSS
?? ?
第八章静电场
E?
E?
非均匀电场强度电通量
?? ?? s SEΦΦ dc o sd ee ?
? ?? s SEΦ
??
de
0d,
2
π
e22 ?? Φ?
0d,
2
π
e11 ?? Φ?
SEΦ ?? dd e ??
ndd eSS
?? ??
为封闭曲面 S
S?d
E??
ne
?
1dS
?
2d S
?
2?
2E
?
1?
1E
?
第八章静电场
?? ??? SS SESEΦ dc o sde ???
闭合曲面的电场强度通量
SEΦ ?? dd e ??
E?
S?d
?
E?S
对于一个闭合曲 面,
若 表示穿出大于穿入
若 表示穿入大于穿出
若 表示穿入等于穿出或无电场线穿过曲面
0?e?
0?e?
0?e?
第八章静电场
例 1 如图所示,有一
个三棱柱体放置在电场强度
的匀强电
场中, 求通过此三棱柱体的
电场强度通量,
1CN200 ??? iE ??
x
y
z
E?
o
第八章静电场
x
y
z
E?
o
P
Q
R
N
M
解
下右左
后前
eee
eee
ΦΦΦ
ΦΦ Φ
???
??
下后前 eee ΦΦΦ ??
0d ??? ? s SE
??
左左左左 ESESs SEΦ ????? ? πc o sd e
??
ne
?
ne
?
ne
?
?
左右右右 ESESs SEΦ ???? ? ?c o sd e
??
0 eeeeee ?????? 下右左后前 ΦΦΦΦΦΦ
第八章静电场
三 高斯定理
??
?
???
n
i
i
S
qSEΦ
10
e
1
d
?
??
在真空中,通过任一 闭合 曲面的电场强度通量,
等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以,
0?（与 面外 电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
请思考,1） 高斯面上的 与那些电荷有关？ E?
s
2） 哪些电荷对闭合曲面 的 有贡献？
eΦ
（证明见附录）
第八章静电场
+
S?d
点电荷位于球面中心
2
0π 4 r
q
E
?
?
?? ??? SS Sr
q
SEΦ d
π 4
d
2
0
e ?
??
0
e
?
q
Φ ?
r
高斯定理的 导出 高斯 定理
库仑定律
电场强度叠加原理
第八章静电场
+
点电荷在任意封闭曲面内
?
?
c o sd
π 4
d
2
0
e S
r
q
Φ ?
2
0
d
π 4 r
Sq ＇
?
?
00
e d
π4 ??
q
Ω
q
Φ ?? ?
S?d＇S
?d
S?d
?
r
＇S?d
Ω
r
S
d
d
2 ?
＇
其中立体角
第八章静电场
q
点电荷在封闭曲面之外
2dS
?
2E
?
0dd 111 ??? SEΦ ??
0dd 222 ??? SEΦ ??
0dd 21 ?? ΦΦ
0d ???
S
SE
??
1dS
?
1E
?
第八章静电场
由多个点电荷产生的电场
???? ??? 21 EEE
? ?? ???? S
i
iS SESEΦ
????
dde
? ?? ? ????
（外）内） i
S i
i
S i
SESE
????
dd
(
?? ? ????
内）（内） (0
e
1
d
i
i
i
S i
qSEΦ
?
??
0d ??? ?
（外）i
S i
SE
??
?
1q
iq
2q
s
S?d
E?
第八章静电场
??
?
???
n
i
i
S
qSEΦ
10
e
1
d
?
??高斯定理
2） 虽然 电场强度通量只与面内电荷有关，但 高斯面上 的
电场强度为 所有 内外电荷产生的 总 电场强度。
3） 通过任一闭合曲面的电场强度通量,只与该曲面所
包围的电荷的代数和有关，而与闭合曲面的形状无关，
也与面内电荷的分布无关
4） 静电场是 有源场,
总 结
1） 高斯定理表明的是闭合曲面的 电场强度通量 与 面内
电荷 的关系。
第八章静电场
1S 2S 3S
q? q?
0
1e
1
d
?
q
SEΦ
S
??? ?
??
02e ?Φ
0
3e
?
q
Φ
?
?
在点电荷 和 的静电场中，做如下的三
个闭合面 求 通过各闭合面的电通量,,,,
321 SSS
q? q?
讨论 将 从 移到
2q A B
eΦ
P
s
点 电场强度是否变化？
穿过高斯面 的 有否变化？
2q
2q
A
B
s
1q
P *
第八章静电场
?根据高斯定理,
若,则
则
则
0?? iq
0?? iq
0?? iq
0?e?
0?e?
0?e?
第八章静电场
??
?
???
n
i
i
S
qSEΦ
10
e
1
d
?
??
1.如果高斯面上 E处处为零，则该面内必无电荷。
如果高斯面上 E处处为零，则该面内必无净电荷。
2.如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E处处为零 。
如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E不一定为零 。
3.如果高斯面上 E处处不为零，则该面内必有电荷 。
如果高斯面上 E处处不为零,则该面内不一定有电荷 。
4.高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点
的场强一定为零。
高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上的场 强
不一定处处为零。
问题,
第八章静电场
四 高斯定理的应用
其步骤为,
对称性分析；
根据对称性选择合适的高斯面；
应用高斯定理计算,
用高斯定理求解的静电场必须具有一定的 对称性
电场（电荷）的分布具有某种对称性（球、面、轴对
称性），使得高斯面上的 为一常数，且 与
夹角 为一常数（为 0、,或 ）这样 才能
由积分号中提出，将积分运算化为代数运算。
E?E?
E
Sd?
? 2? ?
用高斯定理直接求场强的条件,
第八章静电场
+
+ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
O
R
例 2 均匀带电球壳的电场强度
0d
1
???
S
SE
?? 0?E?
0
2
d
?
Q
SE
S
???
??
r
1S
2
0π 4 r
Q
E
?
?
0
2π 4
?
Q
Er ?
r
2s
一半径为,均匀带电 的薄
球壳, 求球壳内外任意点的电场强
度,
R Q
2
0π 4 R
Q
?
rRo
E
解（ 1）
Rr ??0
Rr ?（ 2）
第八章静电场
+
+
+
+
+
o
x
y
z
例 3 无限长均匀带电直线的电场强度
??? ?????
下底）上底）柱面） (((
dd d
sss
SESESE
??????
选取闭合的柱形高斯面
无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即
电荷线密度为,求距直线为 处的电场强度,
? r
对称性分析,轴对称 解
h
???
S
SE
??
d
? ??
柱面）(
d
s
SE
??
ne
?
ne
?
ne
?
E?
r
第八章静电场
0?
? h
?
r
E
0
π 2 ?
?
?
0
π 2
?
? h
rh E ?
?? ??
柱面）(
dd
sS
SESE
??
+
+
+
+
+
o
x
y
z
h
ne
?
E?
r
第八章静电场
例 4 无限大均匀带电平面的电场强度
?
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电
荷面密度为,求距平面为 处的电场强度,
r
选取闭合的柱形高斯面
02 ???E
对称性分析,垂直平面 E?解
0
d
?
? ＇S
SE
S
???
??
底面积
＇S
E?
E?
＇S?
＇S?
＇S2
0?
? ＇S
E ?
第八章静电场
0
2 ?
?
?E
E?
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E? E?
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E?
x
E
O
)0( ??
第八章静电场
?? ??
0
0?
?
0?
?
?? ??
0?
?
00
讨 论
无
限
大
带
电
平
面
的
电
场
叠
加
问
题
第八章静电场
[例 5 ] 半导体 PN结阻挡层内外的电场。
解,对称性分析
虽然电荷非均匀分布，但 随
变化规律未破坏面对称性。
x?
在 处,区与 区电荷的电场
相互抵消,
nPLx ?
0?E
已知,PN结阻挡层内电荷体密度分布
求,电场分布,
xLoL ?
??
Pn
)(
),( 0
)(
LxLax
LxLx
x
????
???
??
第八章静电场
xLxoL ?
SE ? ?
?? Pn, Lx ?
选如图高斯面
?
? ? ?
?
??????????
?
左 右 侧
SESESESE
SE
??????
??
ddd
d
)(
2
1dd 22 xLSaxSaxVq L
x
????????? ? ?? ?内
xxLaE ???? )(
2
22
0?
方向沿
?? ?? 内qSE
s 0
1
d
?
??由高斯定理,
穿入
0cos0 ?? ?E?
第八章静电场
例 6 设电荷体密度沿 x轴方向按余弦规律,?
=?ocosx分布 在整个空间,?o为幅值，求电场分布 。
解 空间是由许多垂直于 x轴的无限大均匀带电平
面组成。 由此判断,电场方向沿 x轴,且对 yoz平面对称。
选如图所示的柱形高斯面,由高斯定理,
??
s
E d S ?c o s ES2
o?
1
? ?
?
?
?x
x o
S d xxcos?
ES2
xS o
o
s in2
1
?
?
?
xE o
o
s in
1
?
?
?
第八章静电场
例 7 空间的电场分布为,Ex=bx,Ey=0,Ez=0;求
图中所示的边长为 a的立方体内的净电荷。
(a=0.1m,b=1000N/(c.m))
取立方体六个面为高斯面,则立方体内的净电荷为
?? ? ss E d Sq ?? c o s0内
)c o sc o s( ?? ??
左右上下前后
??? Ed SEd So
??
左
?? c o s( E d So )c o s??
右
?E d S
? ?? ?
Cba
aabb a a
12
0
22
0
1085.8
2
????
???
?
?
第八章静电场
附录,
高斯定理的立体角法证明
1.介绍立体角的定义
2.证明
第八章静电场
r
1)平面角 由一点发出的两条射线之间的夹角
记做 d?
?? c o s0
r
l
r
l dd
d ??
单位：弧度
1.立体角的概念
ld
?d
设射线长为 r,
线段元 dl对某点所张的平面角,
0ld
?
dl0是以 r为半径的圆弧
?是线段元 dl与 dl0之间的夹角
第八章静电场
2)立体角
面元 dS 对某点所张的角叫做立体角
即锥体的“顶角”
单位：球面度
r
?d
S?d
0Sd
?
?? c o s22 0
r
S
r
S dd
d ??
对比平面角有
定义式,
dS0是以 r为半径的圆锥对应的球面元
?是面元 dS与球面元 dS0间的夹角
第八章静电场
弧度
闭合曲面对面内一点所张的立体角
球面度
π4
2
0 ??? ??
SS r
Sd
d ??
??
l
?? d
闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
?c o s??
l
r
ld
??
0
0
l
r
ld π2?
第八章静电场
库仑定律 + 叠加原理
思路,先证明点电荷的场
然后推广至一般电荷分布的场
1) 源电荷是点电荷
在该场中取一包围点电荷的闭合面 (如图示 )
2.高斯定理的证明
q
S?d?d
?E在闭合面 S上任取面元
S?d
该面元对点电荷所张的
立体角 dΩ
点电荷在面元处的场强为 E?
S
第八章静电场
Se
r
q
SE r
????
ddd ?????
2
04 ??
?
??
d
04
q
?
?
??
dd ?? ??
SS
q
SE
04
??
0
?
?
? ??
i
i
S
q
SE
内??
d
2
04
c o s
r
sq
??
?d
?
??
S
q
?
??
d
04 0?
q
?
在所设的情况下得证
第八章静电场
2)源电荷仍是点电荷
取一闭合面不包围点电荷 (如图示 )
在闭合面上任取面元
1S
?d
该面元对点电荷张的立体角
为 dΩ
2S
?d也对应面元
两面元处对应的点电荷的电场强度分别为
21 EE
??,
2211 SESE
???? ddd ?????
222
20
112
10 44
Se
r
q
Se
r
q
rr
????
dd ????
????
2
20
22
2
10
11
4
c o s
4
c o s
r
Sq
r
Sq
??
?
??
? dd ???
?d
q
S
1S
?d
2S
?d
0
44 00
??? ?
??
?
??
dd qq
第八章静电场
0???
S
SE
??
d
3) 源和面均 任意
根据叠加原理可得
SESE
S i
i
S
????
dd ??? ? ??
0?
?
? i
iq
此种情况下仍得证
0
?
?
? ??
i
i
S
q
SE
??
d
证毕
一 电场线 （电场的图示法）
1） 曲线上每一点 切线 方向为该点电场方向,
2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为
该点电场强度的大小, SNEE d/d???
规 定
E?
S
8— 4 高斯定理
第八章静电场
点电荷的电场线
正 点 电 荷
+
负 点 电 荷
第八章静电场
一对等量异号点电荷的电场线
+
第八章静电场
一对等量正点电荷的电场线
+ +
第八章静电场
一对不等量异号点电荷的电场线
q?q2
第八章静电场
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
第八章静电场
第八章静电场
电场线特性
1） 始于正电荷,止于负电荷 (或来自无穷远,去
向无穷远 ),电场线不闭合,
2） 空间中任意两条电场线不相交,
第八章静电场
E?
S
二 电场强度通量
通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面
的电场强度通量
均匀电场, 垂直平面
E?
ESΦ ?e
?c o se ESΦ ?
均匀电场, 与平面夹角
E? ?
?
ne
?
?
SEΦ
??
??e
E?
S
neSS
?? ?
第八章静电场
E?
E?
非均匀电场强度电通量
?? ?? s SEΦΦ dc o sd ee ?
? ?? s SEΦ
??
de
0d,
2
π
e22 ?? Φ?
0d,
2
π
e11 ?? Φ?
SEΦ ?? dd e ??
ndd eSS
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为封闭曲面 S
S?d
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2d S
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第八章静电场
?? ??? SS SESEΦ dc o sde ???
闭合曲面的电场强度通量
SEΦ ?? dd e ??
E?
S?d
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对于一个闭合曲 面,
若 表示穿出大于穿入
若 表示穿入大于穿出
若 表示穿入等于穿出或无电场线穿过曲面
0?e?
0?e?
0?e?
第八章静电场
例 1 如图所示,有一
个三棱柱体放置在电场强度
的匀强电
场中, 求通过此三棱柱体的
电场强度通量,
1CN200 ??? iE ??
x
y
z
E?
o
第八章静电场
x
y
z
E?
o
P
Q
R
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解
下右左
后前
eee
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ΦΦΦ
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下后前 eee ΦΦΦ ??
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左左左左 ESESs SEΦ ????? ? πc o sd e
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左右右右 ESESs SEΦ ???? ? ?c o sd e
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第八章静电场
三 高斯定理
??
?
???
n
i
i
S
qSEΦ
10
e
1
d
?
??
在真空中,通过任一 闭合 曲面的电场强度通量,
等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以,
0?（与 面外 电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
请思考,1） 高斯面上的 与那些电荷有关？ E?
s
2） 哪些电荷对闭合曲面 的 有贡献？
eΦ
（证明见附录）
第八章静电场
+
S?d
点电荷位于球面中心
2
0π 4 r
q
E
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2
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e
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高斯定理的 导出 高斯 定理
库仑定律
电场强度叠加原理
第八章静电场
+
点电荷在任意封闭曲面内
?
?
c o sd
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d
2
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d
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2 ?
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其中立体角
第八章静电场
q
点电荷在封闭曲面之外
2dS
?
2E
?
0dd 111 ??? SEΦ ??
0dd 222 ??? SEΦ ??
0dd 21 ?? ΦΦ
0d ???
S
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第八章静电场
由多个点电荷产生的电场
???? ??? 21 EEE
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（外）内） i
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第八章静电场
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10
e
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d
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2） 虽然 电场强度通量只与面内电荷有关，但 高斯面上 的
电场强度为 所有 内外电荷产生的 总 电场强度。
3） 通过任一闭合曲面的电场强度通量,只与该曲面所
包围的电荷的代数和有关，而与闭合曲面的形状无关，
也与面内电荷的分布无关
4） 静电场是 有源场,
总 结
1） 高斯定理表明的是闭合曲面的 电场强度通量 与 面内
电荷 的关系。
第八章静电场
1S 2S 3S
q? q?
0
1e
1
d
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q
SEΦ
S
??? ?
??
02e ?Φ
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在点电荷 和 的静电场中，做如下的三
个闭合面 求 通过各闭合面的电通量,,,,
321 SSS
q? q?
讨论 将 从 移到
2q A B
eΦ
P
s
点 电场强度是否变化？
穿过高斯面 的 有否变化？
2q
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A
B
s
1q
P *
第八章静电场
?根据高斯定理,
若,则
则
则
0?? iq
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第八章静电场
??
?
???
n
i
i
S
qSEΦ
10
e
1
d
?
??
1.如果高斯面上 E处处为零，则该面内必无电荷。
如果高斯面上 E处处为零，则该面内必无净电荷。
2.如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E处处为零 。
如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E不一定为零 。
3.如果高斯面上 E处处不为零，则该面内必有电荷 。
如果高斯面上 E处处不为零,则该面内不一定有电荷 。
4.高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点
的场强一定为零。
高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上的场 强
不一定处处为零。
问题,
第八章静电场
四 高斯定理的应用
其步骤为,
对称性分析；
根据对称性选择合适的高斯面；
应用高斯定理计算,
用高斯定理求解的静电场必须具有一定的 对称性
电场（电荷）的分布具有某种对称性（球、面、轴对
称性），使得高斯面上的 为一常数，且 与
夹角 为一常数（为 0、,或 ）这样 才能
由积分号中提出，将积分运算化为代数运算。
E?E?
E
Sd?
? 2? ?
用高斯定理直接求场强的条件,
第八章静电场
+
+ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
O
R
例 2 均匀带电球壳的电场强度
0d
1
???
S
SE
?? 0?E?
0
2
d
?
Q
SE
S
???
??
r
1S
2
0π 4 r
Q
E
?
?
0
2π 4
?
Q
Er ?
r
2s
一半径为,均匀带电 的薄
球壳, 求球壳内外任意点的电场强
度,
R Q
2
0π 4 R
Q
?
rRo
E
解（ 1）
Rr ??0
Rr ?（ 2）
第八章静电场
+
+
+
+
+
o
x
y
z
例 3 无限长均匀带电直线的电场强度
??? ?????
下底）上底）柱面） (((
dd d
sss
SESESE
??????
选取闭合的柱形高斯面
无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即
电荷线密度为,求距直线为 处的电场强度,
? r
对称性分析,轴对称 解
h
???
S
SE
??
d
? ??
柱面）(
d
s
SE
??
ne
?
ne
?
ne
?
E?
r
第八章静电场
0?
? h
?
r
E
0
π 2 ?
?
?
0
π 2
?
? h
rh E ?
?? ??
柱面）(
dd
sS
SESE
??
+
+
+
+
+
o
x
y
z
h
ne
?
E?
r
第八章静电场
例 4 无限大均匀带电平面的电场强度
?
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电
荷面密度为,求距平面为 处的电场强度,
r
选取闭合的柱形高斯面
02 ???E
对称性分析,垂直平面 E?解
0
d
?
? ＇S
SE
S
???
??
底面积
＇S
E?
E?
＇S?
＇S?
＇S2
0?
? ＇S
E ?
第八章静电场
0
2 ?
?
?E
E?
??
E? E?
??
E?
x
E
O
)0( ??
第八章静电场
?? ??
0
0?
?
0?
?
?? ??
0?
?
00
讨 论
无
限
大
带
电
平
面
的
电
场
叠
加
问
题
第八章静电场
[例 5 ] 半导体 PN结阻挡层内外的电场。
解,对称性分析
虽然电荷非均匀分布，但 随
变化规律未破坏面对称性。
x?
在 处,区与 区电荷的电场
相互抵消,
nPLx ?
0?E
已知,PN结阻挡层内电荷体密度分布
求,电场分布,
xLoL ?
??
Pn
)(
),( 0
)(
LxLax
LxLx
x
????
???
??
第八章静电场
xLxoL ?
SE ? ?
?? Pn, Lx ?
选如图高斯面
?
? ? ?
?
??????????
?
左 右 侧
SESESESE
SE
??????
??
ddd
d
)(
2
1dd 22 xLSaxSaxVq L
x
????????? ? ?? ?内
xxLaE ???? )(
2
22
0?
方向沿
?? ?? 内qSE
s 0
1
d
?
??由高斯定理,
穿入
0cos0 ?? ?E?
第八章静电场
例 6 设电荷体密度沿 x轴方向按余弦规律,?
=?ocosx分布 在整个空间,?o为幅值，求电场分布 。
解 空间是由许多垂直于 x轴的无限大均匀带电平
面组成。 由此判断,电场方向沿 x轴,且对 yoz平面对称。
选如图所示的柱形高斯面,由高斯定理,
??
s
E d S ?c o s ES2
o?
1
? ?
?
?
?x
x o
S d xxcos?
ES2
xS o
o
s in2
1
?
?
?
xE o
o
s in
1
?
?
?
第八章静电场
例 7 空间的电场分布为,Ex=bx,Ey=0,Ez=0;求
图中所示的边长为 a的立方体内的净电荷。
(a=0.1m,b=1000N/(c.m))
取立方体六个面为高斯面,则立方体内的净电荷为
?? ? ss E d Sq ?? c o s0内
)c o sc o s( ?? ??
左右上下前后
??? Ed SEd So
??
左
?? c o s( E d So )c o s??
右
?E d S
? ?? ?
Cba
aabb a a
12
0
22
0
1085.8
2
????
???
?
?
第八章静电场
附录,
高斯定理的立体角法证明
1.介绍立体角的定义
2.证明
第八章静电场
r
1)平面角 由一点发出的两条射线之间的夹角
记做 d?
?? c o s0
r
l
r
l dd
d ??
单位：弧度
1.立体角的概念
ld
?d
设射线长为 r,
线段元 dl对某点所张的平面角,
0ld
?
dl0是以 r为半径的圆弧
?是线段元 dl与 dl0之间的夹角
第八章静电场
2)立体角
面元 dS 对某点所张的角叫做立体角
即锥体的“顶角”
单位：球面度
r
?d
S?d
0Sd
?
?? c o s22 0
r
S
r
S dd
d ??
对比平面角有
定义式,
dS0是以 r为半径的圆锥对应的球面元
?是面元 dS与球面元 dS0间的夹角
第八章静电场
弧度
闭合曲面对面内一点所张的立体角
球面度
π4
2
0 ??? ??
SS r
Sd
d ??
??
l
?? d
闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
?c o s??
l
r
ld
??
0
0
l
r
ld π2?
第八章静电场
库仑定律 + 叠加原理
思路,先证明点电荷的场
然后推广至一般电荷分布的场
1) 源电荷是点电荷
在该场中取一包围点电荷的闭合面 (如图示 )
2.高斯定理的证明
q
S?d?d
?E在闭合面 S上任取面元
S?d
该面元对点电荷所张的
立体角 dΩ
点电荷在面元处的场强为 E?
S
第八章静电场
Se
r
q
SE r
????
ddd ?????
2
04 ??
?
??
d
04
q
?
?
??
dd ?? ??
SS
q
SE
04
??
0
?
?
? ??
i
i
S
q
SE
内??
d
2
04
c o s
r
sq
??
?d
?
??
S
q
?
??
d
04 0?
q
?
在所设的情况下得证
第八章静电场
2)源电荷仍是点电荷
取一闭合面不包围点电荷 (如图示 )
在闭合面上任取面元
1S
?d
该面元对点电荷张的立体角
为 dΩ
2S
?d也对应面元
两面元处对应的点电荷的电场强度分别为
21 EE
??,
2211 SESE
???? ddd ?????
222
20
112
10 44
Se
r
q
Se
r
q
rr
????
dd ????
????
2
20
22
2
10
11
4
c o s
4
c o s
r
Sq
r
Sq
??
?
??
? dd ???
?d
q
S
1S
?d
2S
?d
0
44 00
??? ?
??
?
??
dd qq
第八章静电场
0???
S
SE
??
d
3) 源和面均 任意
根据叠加原理可得
SESE
S i
i
S
????
dd ??? ? ??
0?
?
? i
iq
此种情况下仍得证
0
?
?
? ??
i
i
S
q
SE
??
d
证毕
