148 习 题 五 1. 设E是 1 R中一族(开的、闭的、半开半闭的)区间的并集. 证明E是Lebesgue 可测集. 2. 设f是 1 R上有界的单调增加函数. 证明f在 1 R上几乎处处可导并且f ′在 1 R 上L可积. 3. 试在]1,0[上作一严格单调增加的函数),(xf 使得在]1,0[上a.e..0)( =′ xf 提示: 利用§5.1定理6. 4. 计算函数xxf sin)( =在]2,0[ π上的全变差, 并求).( 0 fV x 5. 设f和g是],[ ba上的有界变差函数. 证明fg是],[ ba上的有界变差函数. 6. 证明若f是],[ ba上的有界变差函数, 则f也是],[ ba上的有界变差函数.举 例说明反过来结论不一定对. 7. 若f是],[ ba上的有界变差函数, 并且f在],[ ba上连续, 则f是],[ ba上的有 界变差函数. 8. 设f是],[ ba上的可微函数并且f ′有界, 则f是],[ ba上的有界变差函数. 9. 证明 2 cos)( xxf =是],0[ π上的有界变差函数. 10. 设f是],0[ a上的有界变差函数, 0 1 ( ) ( ) ( (0) 0). x Fx ftdtF x == ∫ 证明F是 ],0[ a上的有界变差函数. 提示: 先设f是单调增加的. 11. 设}{ n f是],[ ba上的一列有界变差函数, 使得),1()( ≥≤ nMfV n b a 并且 ].,[),()(lim baxxfxf n n ∈= ∞→ 证明],[ baVf ∈并且.)( MfV b a ≤ 12. 证明: 函数f在],[ ba上是有界变差的当且仅当存在],[ ba上的有界增函数? , 使得当byxa ≤<≤时, ).()()()( xyxfyf ?? ?≤? 13. 证明函数 ? ? ? ? ? = ≤<? = .00 , 2 1 0, ln 1 )( x x xxf 当 当 在] 2 1 ,0[是连续的有界变差的. 但f在] 2 1 ,0[上不满足任何0>α阶的Lipschitz条件. 即不 149 存在常数,0>M 使得对任意], 2 1 ,0[, ∈yx 成立 .)()( α yxMyfxf ?≤? 14. 设f是],[ ba上的连续函数, g是],[ ba上的有界变差函数. 则成立 () () sup () (). bb aa axb f xdgx f xVg ≤≤ ≤ ∫ 15. 设f在],[ dc上满足Lipschitz 条件, g是],[ ba上的绝对连续函数, 并且 .)( dxgc ≤≤ 则复合函数))(( xgf是],[ ba上的绝对连续函数. 16. 设f是],[ dc上的绝对连续函数, g是],[ ba上严格增加的绝对连续函数, 并且 .)( dxgc ≤≤ 则复合函数))(( xgf是],[ ba上的绝对连续函数. 17. 设f是],[ ba上的绝对连续函数, .1≥p 则 p f是],[ ba上的绝对连续函数. 18. 设gf ,是],[ ba上的绝对连续函数. 证明fg是],[ ba上的绝对连续函数. 19. 设f是],[ ba上的绝对连续函数, 并且在],[ ba上a.e..0)( =′ xf 证明f在 ],[ ba上为常数. 20. 利用 5.3定理5证明, 若f是],[ ba上的L可积函数, 并且对任意,bca ≤≤ 恒 有,0= ∫ c a fdx 则a.e..0=f 21. 设}{ n f是],[ ba上的一列绝对连续函数, 并且存在],[ ba上的可积函数),(xF 使得a.e..)1( ≥≤′ nFf n 又设a.e..),()(lim),()(lim xgxfxfxf n n n n =′= 证明f是 ],[ ba上的绝对连续函数, 并且a.e..gf =′ 22. 设f是],[ ba上的绝对连续函数, 并且a.e..,0)( ≥′ xf证明f是单调增加的. 23. 设f是],[ ba上的单调增加函数. 证明f可以分解成,hgf += 其中g是单 调增加的绝对连续函数, h是单调增加的函数并且a.e..0=′h 24. 设f是],[ ba上的单调增加函数, 并且成立 () () (). b a f xdx fb f a ′ =? ∫ 则f是],[ ba上的绝对连续函数. 25. 证明函数)0)0(( 1 sin)( 2 2 == f x xxf 在]1,0[上处处可导, 但不是绝对连续的. 提示: 考察)(xf ′在]1,0[上的可积性. 150 26. 证明: 定义在区间],[ ba上的实值函数满足Lipschitz条件当且仅当它是有界可 测函数的不定积分. 27. 设),2,1("=nf n 是],[ ba上的单调增加的绝对连续函数, 并且级数 ∑ ∞ =1 )( n n xf在 ],[ ba处处收敛. 证明=)(xf ∑ ∞ =1 )( n n xf是],[ ba上的绝对连续函数. 28. 设}{ n f是],[ ba上的一列绝对连续函数, 使得 1 () , b n a n fxdx ∞ = ′ <+∞ ∑ ∫ 并且级数 ∑ ∞ =1 )( n n xf在],[ ba中某点c收敛. 证明 ).i(级数 ∑ ∞ =1 )( n n xf在],[ ba上处处收敛. ).ii( =)(xf ∑ ∞ =1 )( n n xf是],[ ba上的绝对连续函数, 并且成立 a.e..)()( 1 ∑ ∞ = ′=′ n n xfxf 提示: 利用定理6.3.7和第四章习题第18题的结论. 29. 设f是],[ ba上的绝对连续函数. 证明 () ( ). bb aa f xdx Vf ′ = ∫ 30. 设f是],[ ba上的绝对连续函数, ],[ baE ?并且.0)( =Em 证明.0))(( =Efm 提示: 利用定理2.3.6和直线上开集的构造定理.