143 §5.3 绝对连续函数与不定积分 教学目的 介绍绝对连续函数概念及性质, 证明联系微分与积分的牛 顿-莱布尼兹公式. 教学要点 绝对连续函数, 不定积分, 牛顿-莱布尼兹公式. 定义1 设)(xf是定义在],[ ba上的实值函数. 若对任意,0>ε 存在,0>δ 使得对 ],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{( 1 n iii ba = 当δ<? ∑ = n i ii ab 1 )(时, 成立 ,)()( 1 ε<? ∑ = n i ii afbf 则称)(xf是],[ ba上的绝对连续函数. 关于绝对连续函数显然成立如下事实: ).i( 绝对连续函数是连续函数. ).ii( 若gf ,是绝对连续函数, α是实数. 则fα和gf +是绝对连续函数. 例1设f是],[ ba上的Lebesgue可积函数. 则f的不定积分 () () x a Fx ftdt C=+ ∫ (其中C是任意常数)是],[ ba上的绝对连续函数. 证明 由积分的绝对连续性(§4.2定理9), 对任意,0>ε 存在,0>δ 使得对],[ ba中 的任意可测集A , 当δ<)(Am时, () . A ftdt ε< ∫ 于是对],[ ba上的任意有限个互不相 交的开区间,)},{( 1 n iii ba = 当δ<? ∑ = n i ii ab 1 )(时, 令,),( 1 ∪ n i ii baA = = 则 .)()( 1 δ<?= ∑ = n i ii abAm于是 111 ( ) ( ) () () () . ii nnn bb ii aaA iii F b F a f t dt f t dt f t dt ε === ?= ≤ = < ∑∑∑ ∫∫∫ 因此F是],[ ba上的绝对连续函数. 144 例2 若f在],[ ba上满足Lipschitz条件, 则f是],[ ba上的绝对连续函数. 证明 对任意,0>ε 令 M ε δ = ( M是Lipschitz常数). 则当δ<? ∑ = n i ii ab 1 )(时, .)()()( 11 ε<?≤? ∑∑ == n i ii n i ii abMafbf 故f是],[ ba上的绝对连续函数. ■ 定理2 绝对连续函数是有界变差函数. 证明 设f是],[ ba上的绝对连续函数. 则对,1=ε 存在,0>δ 使得对],[ ba上的任 意有限个互不相交的开区间,)},{( 1 n iii ba = 当δ<? ∑ = n i ii ab 1 )(时, 成立 .1)()( 1 <? ∑ = n i ii afbf 取自然数k使得.δ< ? k ab 设bxxa n =<<= null 0 是],[ ba的一 个分割, 它将区间],[ ba分成k等分. 对],[ 1 ii xx ? 任一分割, 01 imi xttx =<<= ? null 由于 ,)( 1 1 1 δ<?=? ? = ?∑ ii m i ii xxtt因此 .1)()(),,( 1 10 ≤?= ∑ = ? m i iimf fftfttV null 于是.,,1,1)( 1 kifV i i x x null=≤ ? 利用§5.2定理2, 得到.)()( 1 1 kfVfV k i x x b a i i ≤= ∑ = ? 因此f是],[ ba上 的有界变差函数. ■ 推论3 设f是],[ ba上的绝对连续函数. 则f在],[ ba上几乎处处可导, 并且f ′是 Lebesgue可积的. 证明 利用推论4即知推论成立. 定理4 若f是],[ ba上的绝对连续函数, 则f的变差函数)( fV x a 也是绝对连续的. 证明 设f是],[ ba上的绝对连续函数. 由定理2, f是],[ ba上的有界变差函数. 因此 函数)( fV x a 有意义. 对任意,0>ε 设δ是绝对连续函数定义中相应的正数. 现在设 n iii ba 1 )},{( = 是],[ ba上的互不相交的开区间使得δ<? ∑ = n i ii ab 1 )( . 对每个,,,1 ni null= 设 145 i i k ii i bxxxa i =<<<= )()( 1 )( 0 null 是),( ii ba的任一分割. 则},,1,,,1),,{( 1 nikjxx i i j i j nullnull == ? 是],[ ba上的限个互不相交 的开区间, 并且这些小区间的长度之和 .)()( 111 )( 1 )( δ<?=? ∑∑∑ === ? n i n i ii k j i j i j abxx i 由f的绝对连续性得到 .)()(),,( 11 )( 1 )( 1 )()( 1 )( 0 ε<?= ∑∑∑ == ? = n i n j i j i j n i i n ii f i i xfxfxxxV null 对),( ii ba ( .,,1 ni null= )的所有分割取上确界得到 .)()()( 11 ε≤=? ∑∑ == n i b a n i a a b a fVfVfV i i ii 这表明)( fV x a 是],[ ba上的绝对连续函数.■ 定理5 设f是],[ ba上的Lebesgue可积函数. 则f的不定积分 () () x a F x f t dt C=+ ∫ 在],[ ba上几乎处处可导并且a.e..)()( xfxF =′ 证明 由例1知道)(xF是],[ ba上的绝对连续函数. 因而由推论3知道)(xF在],[ ba上 几乎处处可导. 往证a.e..)()( xfxF =′先证明若?是],[ ba上的Lebesgue可积函数, 则 () ( ) . bx b aa a tdt dx x dx?? ′ ?? ? ? ≤ ? ? ? ?? ∫∫ ∫ (1) 事实上, 由于 ∫ + x a dtt)(?和 ∫ ? x a dtt)(?都是单调增加的函数, §5.1定理5, 我们有 () ( ) . bx b aa a tdt dx xdx?? ++ ′ ?? ? ? ≤ ? ? ? ?? ∫∫ ∫ () ( ) . bx b aa a tdt dx xdx?? ?? ′ ?? ? ? ≤ ? ? ? ?? ∫∫ ∫ 因此 () () () () () () . bx bx bx a a aa aa bbb aaa t dt dx t dt dx t dt dx x dx x dx x dx ?? ? ??? +?+ +? ′′′ ??? ?? ? ??? ?? ?≤+ ??? ?? ? ≤+= ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ 146 即(1)成立. 由§4.5定理2, 对任意,0>ε 存在],[ ba上的一个连续函数g , 使得 . b a fgdtε?< ∫ 由数学分析中熟知的定理知道() ( ). x a gtdt gx ′ ?? ? ? = ? ? ? ?? ∫ 对函数gf ?应 用(2)式, 我们有 () () ( () ()) () () ( () ()) () () 2()()2. bx bx aa aa bx b aa a b a f t dt f x dx f t g t dt g x f x dx f tgtdtdx gxfxdx fx gxdx ′′ ?? ? ? ?? ???= ? +? ?? ? ? ′ ?? ? ?≤?+? ? ? ? ?? ≤?< ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ε 由0>ε的任意性我们得到() ( ) 0. bx aa f t dt f x dx ′ ?? ? ? ?= ? ? ? ?? ∫∫ 因此 ( ) ( ) 0 a.e.. x a ftdt fx ′ ?? ? ? ?= ? ? ? ?? ∫ 此即a.e..)()( xfxF =′ ■. 定理6 设f是],[ ba上的绝对连续函数, 并且在],[ ba上0)( =′ xf a.e. 则f在],[ ba 上恒为常数. 证明 先证明).()( bfaf = 对任意0,>ε 存在,0>δ 使得对],[ ba上的任意有限个 互不相交的开区间,)},{( 1 n iii ba = 当 1 () n ii i ba δ = ?< ∑ 时, 成立 .)()( 1 ε<? ∑ = n i ii afbf 设},0)(:],[{ 0 =′∈= xfbaxE ,],[ 0 EbaE ?= 则.0=mE 对于上面的,δ 由§2.3定理 6(i), 存在开集,EG ? 使得.<δmG由直线使开集的构造定理, 存在一列开区间 )},,{( ii ba 使得(,). ii i Gab= ∪ 另一方面, 由于当,],[ 0 EGba ?? 故对任意,],[ Gbay ?∈ .0)( =′ yf于是存在相 应的,0>h 使得当),( hyhyy +?∈′时, .)()( yyyfyf ?′<?′ ε这样开区间族 }],[),,({)},{( Gbayhyhyba ii ?∈+?∪构成了],[ ba的一个开覆盖. 由有限覆盖定理, 可以从中选出有限个区间, 不放设为 ),,(,),,( 11 kk baba null ),(,),,( 1111 llll hyhyhyhy +?+? null 仍然覆盖],[ ba . 我们可以在点 lkk yybaba ,,,,,,, 111 nullnull之外再加上一些分点, 构成 ],[ ba的一个分点组, 10 bxxxa n =<<<= null 使得对任何给定的小区间),( 1 ii xx ? , 不外 147 乎出现以下两种情况: (1). 对某个,j ).,(),( 1 jjii baxx ? ? (2). 对某个,j ),(),( 1 jjjii yhyxx ?? ? 或),(),( 1 jjjii hyyxx +? ? . 于是我们有 ).( )()()()( )()()()(0 )2( 1 )2( 1 )1( 1 1 1 abxx xfxfxfxf xfxfafbf ii iiii n i ii ?+≤?+< ?+?≤ ?≤?≤ ∑ ∑∑ ∑ ? ?? = ? εεεε 其中 ∑ )1( 表示对出现情况(1)的),( 1 ii xx ? 求和, ∑ )2( 表示对出现情况(2)的),( 1 ii xx ? 求和. 由0>ε的任意性得到).()( bfaf = 对任意],,[ bax∈ 用],[ xa代替],[ ba , 同样可以得 到).()( afxf =因此f在],[ ba上恒为常数.■ 定理7 (微积分基本定理)设)(xf是定义在],[ ba上的实值函数. 则成立牛顿-莱布尼兹 公式 () () () , [,] x a f xfa ftdtxab ′ ?= ∈ ∫ (2) 的充要条件是)(xf是绝对连续函数. 证明 由例1即知必要性成立. 往证充分性. 设)(xf是绝对连续的. 由推论3, f在 ],[ ba上几乎处处可导, 并且f ′是Lebesgue可积的. 令 () () () , x a x fx f tdt? ′ =? ∫ .],[ bax∈ (4) 由定理5知道, 在],[ ba上0)( =′ x? a.e.. 根据定理6, )(x?在],[ ba使恒为常数. 因此 ).()()( afax ==?? 代入(4)即得(2).■ 推论8 (分部积分公式)设gf ,是],[ ba上的绝对连续函数. 则成立 . bb b a aa fgdx fg gfdx ′′ =? ∫∫ (5) 证明 容易知道fg是],[ ba上的绝对连续函数. 利用定理7, 我们有 () () () () ( ) . bbb aaa f bgb faga fg dx fgdx gfdx ′′′ ?= =+ ∫ ∫∫ 由此即得(5). 推论证毕. 小 结 由于绝对连续函数的引进, 微积分基本定理成功地推广到Lebesgue积分. 这使 得Lebesgue积分理论更加完善, 同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证. 习 题 习题五, 第15题—第30题.