实变分析（本科）：h52

138 §5.2 有界变差函数 教学目的 本节介绍有界变差函数的性质.证明有界变差函数的 Jordan分解定理. 教学要点 有界变差函数的概念, 变差函数的性质, Jordan分解定理. 定义1 设f是定义在区间],[ ba上的实值函数. 对],[ ba的任一分割,}{ 0 n ii xP = = 其 中 n ii x 0 }{ = 满足, 10 bxxxa n =<<<=" 作和式: .)()(),( 1 10 ∑ = ? ?= n i iinf xfxfxxV" 称),( 0 nf xxV"为f关于分割 n ii x 0 }{ = 的变差. 令 )( fV b a }.],[},,{:),,(sup{ 00 分割是baxxxxV nnf ""= 称)( fV b a 为f在],[ ba上的全变差. 若,)( +∞<fV b a 则称f是],[ ba上的有界变差函数. ],[ ba上的有界变差函数的全体记为].,[ baV 例1区间],[ ba上的单调函数是有界变差函数. 事实上, 不妨设f在],[ ba上是单调增加. 则对],[ ba的任一分割,}{ 0 n ii x = 我们有 .).()())()(()()(),( 1 1 1 10 afbfxfxfxfxfxxV n i ii n i iinf ?=?=?= ∑∑ = ? = ? " 因此).()()( afbffV b a ?= 所以∈f ].,[ baV 例2 若f在],[ ba上满足Lipschitz条件: ].,[,,)()( 21221 baxxxxMxfxf i ∈?≤? 其中0>M为一常数. 则f是],[ ba上的有界变差函数. 证明 对],[ ba的任一分割,}{ 0 n ii x = 我们有 ).()( )()(),( 1 1 1 1 1 10 abMxxM xxMxfxfxxV n i ii n i ii n i iinf ?=?= ?≤?= ∑ ∑∑ = ? = ? = ? " 因此).()( abMfV b a ?≤ 所以∈f ].,[ baV 139 下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数. 例3 设 ? ? ? ? ? = ≤< = .00 ,10 1 sin )( x x x x xf 若 若 则f是]1,0[上的连续函数. 但f在]1,0[上不是有界变差函数. 事实上, 对任意,1≥n 作 ]1,0[的分割 n ii x 0 }{ = 使得 .1,,1,] 2 )[(,1,0 1 0 ?=+?=== ? niinxxx in " π π 则 ∑ ∑ ? = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? + +?? > ?= 1 2 1 1 10 2 )( 1 2 )1( 1 1 sin 1 sin),( n i n i i i i inf inin x x x xxxV π π π π " ∑ ∑ ? = ? = + > ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + +? = 2 1 2 1 )1( 1 )( 2 1 2 )1( 1 n k n k k ink kk π π π π π 令 令∞→n知道.)( +∞=fV b a 因此f在]1,0[不是有界变差函数. 定理 2 有界变差函数具有如下性质: ).i(若∈f ,],[ baV 则f是有界函数. ).ii(若∈f ,],[ baV , 1 R∈α则∈fα ,],[ baV 并且 ).()( fVfV b a b a αα ≤ ).iii(若∈gf ,,],[ baV 则∈+ gf ,],[ baV 并且 ).()()( gVfVgfV b a b a b a +≤+ (1) ).iv(若∈gf ,,],[ baV 则∈gf .],[ baV ).v(若∈f ,],[ baV 则对任意,c ,bca << 成立 ).()()( fVfVfV b c c a b a += (2) 140 证明 我们只证明)iii(和)v( , )i( , )ii(和)iv(的证明留作习题. 对],[ ba的任一分割,}{ 0 n ii x = 我们有 ∑ = ??+ ??+= n i iiiingf xgxfxgxfxxV 1 110 )()()()(),,(" ).()( )()()()( 1 1 1 1 gVfV xgxgxfxf b a b a n i ii n i ii +≤ ?+?≤ ∑∑ = ? = ? 因此gf +是],[ ba上的有界变差函数, 并且(1)式成立. 故)iii(得证. 往证)v(成立. 对],[ ca的任一分割 n ii x 0 }{ = 和],[ bc的任一分割,}{ 0 m ii x = ′ 将它们合并后 得到],[ ba的一个分割 . 00 bxxcxxa mn =′<<′==<<="" 我们有 ).(),,( )()()()(),,(),,( 0 1 1 1 100 fVxxV xfxfxfxfxxVxxV b a mf m i ii n i iimfnf ≤′= ′?′++?=′′+ ∑∑ = ? = ? " "" 分别对],[ ca的分割和],[ bc的分割取上确界得到 ).()()( fVfVfV b a b c c a ≤+ (3) 另一方面, 对任意,0>ε 存在],[ ba的一个分割,}{ 0 n ii x = 使得 .)(),,( 0 ε?> fVxxV b a nf " 设. 1 kk xcx ≤< ? 则},,,,{ 110 cxxx k? "和},,,{ nk xxc"分别是],[ ca和],[ bc的分割. 注意 到在 n ii x 0 }{ = 中增加一个分点c后, f关于新的分割的变差不会减小. 因此我们有 ).()(),,,(),,,( ),,,,,,(),,()( 10 100 fVfVxxcVcxxV xxcxxVxxVfV b c c a nkfkf nkkfnf b a +≤+= ≤<? ? ? "" """ε 由0>ε的任意性得到 ).()()( fVfVfV b c c a b a +≤ (4) 综合(3),(4)两式得到(2)式. 因此结论)v(得证.■ 设f是],[ ba上的有界变差函数. 则对任意],,[ bax∈ 由定理2 )v(知道f也是 ],[ xa上的有界变差函数. 因此)( fV x a 是],[ ba上的实值函数, 称之为f的变差函数. 由定理 141 2 )v(容易知道)( fV x a 是单调增加的. 定理3 (Jordan分解定理) f是],[ ba上的有界变差函数当且仅当f可以表成 ,hgf ?= 其中g和h是],[ ba上的单调增加的实值函数. 证明 由例1和定理2, 充分性是显然的. 必要性. 设f是],[ ba上的有界变差函数. 令 )),()(( 2 1 )( xffVxg x a += )).()(( 2 1 )( xffVxh x a ?= (5) 则.hgf ?= 当 12 xx >时, 利用定理2 )v( , 我们有 ).()()(),()()( 122 1 2121 fVfVfVxxVxfxf x a x a x x f ?=≤≤? 因此 ).()()()( 21 21 xffVxffV x a x a +≤+ 这表明).()( 21 xgxg ≤即g是单调增加的.类似可证h也是单调增加的.■ 推论4 设f是],[ ba上的有界变差函数. 则 (1) f的不连续点的全体至多是一可数集. (2) f在],[ ba上是Riemann可积的. (3) f在],[ ba上几乎处处可导并且f ′是Lebesgue可积的. 证明 由§5.1单调函数的相应性质直接可得. 由定理3, 每个有界变差函数可以分解成两个单调增加函数 之差. 但这种分解显然不是唯一的. 例如, 若hgf ?=是一个这样的分解, 则对任意常数 c , )()( chcgf +?+=也是f的一个分解. 为避免这种不唯一性, 我们令 )),()()(( 2 1 )( afxffVxp x a ?+= )).()()(( 2 1 )( afxffVxn x a +?= 则)(xp和)(xn都是单调增加的, 并且满足 ).()()()( xnxpafxf ?=? (6) ).()()( xnxpfV x a += 我们称(6)式为f的标准分解.分别称)(xp和)(xn为f的正变差函数和负变差函数. 定理5 设f是],[ ba上的有界变差函数. 则)( fV x a 在],[ ba上是右连续的(或左连续的) 当且仅当f在],[ ba上是右连续的(相应地, 左连续的). 证明 我们只证右连续的情形. 左连续的情形证明是类似的. 必要性. 设)( fV x a 在],[ ba上是右连续的, ).,[ 0 bax ∈ 则对任意, 0 bxx ≤< 利用定理 2 )v( , 我们有 142 ).()()(),()()( 0 0 00 fVfVfVxxVxfxf x a x a x x f ?=≤=? 由此知道f在 0 x点是右连续的. 充分性. 设f在],[ ba上是右连续的, ).,[ 0 bax ∈ 对任意,0>ε 存在,0>δ 使得当 ),( 00 δ+∈ xxx时, .)()( 0 ε<? xfxf 取区间],[ 00 δ+xx的一个分割 , 0100 δ+=<<<= xtttx n " 使得 .)()()( 0 0 1 1 ε δ ?>? + = ?∑ fVtftf x x n i ii (7) 由于 n ii t 1 }{ = 是区间],[ 01 δ+xt的一个分割, 因此 ).()()( 0 1 2 1 fVtftf x t n i ii δ+ = ? ≤? ∑ (8) 利用(7),(8)两式, 我们有 .2)()( )()()()( )()()( 01 2 1 1 1 0 1 0 0 1 0 εε ε δδ <?+= ??+?< ?= ∑∑ = ? = ? ++ tftf tftftftf fVfVfV n i ii n i ii x t x x t x 于是当],[ 10 txx∈时, .2)()()()( 1 00 0 ε<≤=? fVfVfVfV t x x x x a x a 因此)( fV x a 在 0 x点是右连续的.■ 小 结 有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数. 它们可以表为两个单调 增加的函数之差. 与单调函数一样,有界变差函数几乎处处可导并且Lebesgue可积. 与单调 函数不同, 有界变差函数类对线性运算是封闭的. 这在分析中具有重要意义. 习 题 习题五, 第4题—第14题.