63 习 题 二 1. 设μ是环R上的有限可加测度, 即μ是R上的非负值集函数满足0)( =?μ 和有限可加性. 证明若μ满足次可数可加性, 则μ是F上的测度. 2. 设A是X的一个非空真子集. 试在?σ代数F },,,{ c AAX?=上定义一个不 恒为零的有限测度. 3. 设X是一不可数集. 令 F AA:{=或 c A是至多可数集} 则F是一个σ -代数(见第一章习题第21题). 在F定义集函数μ如下: 若A是至多可数集, 则令.0)( =Aμ 若 c A是至多可数集, 则令.1)( =Aμ 证明μ是F上的测度. 4. 在)( 1 RB上定义集函数μ如下: )(Aμ等于A中的有理数的个数(若A有无穷 多个有理数, 则令+∞=)(Aμ ). 证明μ是))(,( 11 RR B上的?σ有限测度. 5. 设}{ n μ是σ -代数F上的一列测度并且}{ n μ是单调增加的, 即 ∈≤ + AAA nn ),()( 1 μμ .F 令 ∈= ∞→ AAA n n ),(lim)( μμ .F 证明μ是F上的测度. 6. 设),,( μFX为测度空间. 证明: (1).对任意∈BA,,F 成立 ).()()()( BABABA μμμμ +=∩+∪ (2).若,)( +∞<Xμ 则对任意∈CBA ,,,F 成立 ).()( )()( )()()()( CBACB CABA CBACBA ∩∩+∩? ∩?∩? ++=∪∪ μμ μμ μμμμ 7. 设μ是σ -代数F上的测度, ∈BA, F并且测度有限. 证明 ).()()( BABA ?≤? μμμ 8. 设),,( μFX为测度空间, }{ n A是一列可测集. 证明: (1). ).(lim)lim( n n n n AA μμ ∞→∞→ ≤ (2).若, 1 +∞< ? ? ? ? ? ? ? ? ∞ = ∪ n n Aμ 则).(lim)lim( n n n n AA μμ ∞→∞→ ≥ 64 (3).若,)( 1 +∞< ∑ ∞ =n n Aμ 则.0)lim( = ∞→ n n Aμ 9. 设 ? μ是X上的外测度, ,XA? .0)( = ? Aμ 证明对任意,XB ? 有 ).()()( BABAB ??? =?=∪ μμμ 10. 设 ? μ是X上的外测度, .XA? 证明A是 ? μ -可测集当且仅当对任意,0>ε 存在一个 ? μ -可测集AE ?使得.)( εμ <? ? EA 11. 设R是X上的一个环, 并且全空间X可以表为R中一列互不相交的集的 并, μ是R上的σ有限测度. 证明: (1).存在R中一列互不相交的},{ n E使得 ∪ ∞ = = 1n n EX并且.1,)( ≥+∞< nE n μ (2). ? μ在 ? R上是σ有限的. 12. 设C是X上的一个π类, 并且全空间X可以表为C中一列互不相交的集的并, 1 μ和 2 μ是)(Cσ上的两个有限测度. 证明若在C上, 21 μμ = 则在)(Cσ上. 21 μμ = 提示: 令F = )}.()(),(:{ 21 AAAA μμσ =∈ C利用推论1.3.12. 13. 设,1)( =Xμ }{ n A是X中的一列可测集, .1,1)( ≥= nA n μ则.1)( 1 = ∞ = ∩ n n Aμ 14. 设,1)( =Xμ n AA ,, 1 null是X中可测集, ∑ = ?> n i i nA 1 .1)(μ 则.0)( 1 > = ∩ n i i Aμ 15. 设C是 n R中有界的左开右闭方体的全体所成的集类. 证明C是一个半环. 提示: 对 n R的维数n用数学归纳法. 并且利用等式 )].()[(])[( DBCABCADCBA ?×∩∪×?=×?× 16. 设],[],[ 11 nn babaI ××= null是 n R中的一个闭方体. 则对任意0>ε , 存在左开 右闭闭方体 1 I和 2 I , 使得, 21 III ??并且 ., 21 εε <?<? IIII 17. 设?A . n R 证明A是L可测集当且仅当对任意,0>ε 存在开集 1 G和, 2 G 使 得, 1 AG ? , 2 c AG ? 并且.)( 21 ε<∩GGm 18. 设A是直线上的可数集. 用L测度的定义直接证明.0)( =Am 19. 在]1,0[定义,0)0( =f x xxf 1 sin)( = (当0>x ). 计算 }).0)(:]1,0[({ ≥∈ xfxm 65 20. 证明 1 R的任意子集A作为 2 R的子集是L可测的并且.0)( =Am 21. 在区间]1,0[中作出一个闭集F , 使得F不包含任何有理数, 并且.0>mF 22. 在直线上作一个无界的开集G使得.1)( =Gm 23. 设E是]1,0[中的有理数的全体. },,{ 1 k II null是k个开区间使 得. 1 ∪ k i i IE = ? 证明.1 1 ≥ ∑ = k i i I 24. 设A是]1,0[中的Lebesgue可测集, .0>mA 证明对任意 ),(0 Ama << 存在Lebesgue可测集,AE ?使得.amE = 提示: 先证明函数)],0[()( Axmxf ∩=是]1,0[上的连续函数. 25. 证明§2.3推论.7的结论. 26. 证明 n R上的Lebesgue测度是平移不变的, 即对任意Lebesgue可测集A和 ∈ 0 x , n R 成立 ),()( 0 AmAxm =+ 其中}.:{ 00 AxxxAx ∈+=+ 27. 设A是 n R中的L可测集, ∈a . 1 R 证明aA是L可测的并且 ).()( AmaaAm = 其中}.:{ AxaxaA ∈= 28. 设}{ n r是有理数的全体. 令 .) 1 , 1 ( 1 22 ∪ ∞ = +?= n nn n r n rG 证明对任意闭集?F 1 R有.0)( >?FGm 29. 设?A , 1 R .0)( >Am 证明存在,, Ayx ∈ 使得yx?不是有理数. 30. 设?A , n R .0)( >Am 证明存在,Ax∈ 使得对任意,0>r .0)),(( >∩ rxUAm 提示: 先对A是有界闭集的情形证明, 再利用§2.3推论.7. 31. 设.1)(],1,1[ >?? AmA 证明存在A的可测子集E , 使得E关于原点对称并 且.0)( >Em 提示: 考虑).( AA ?∩ 32. 设.10 << c在]1,0[中作出一个无内点的闭集,F 使得.)( cFm = 提示: 仿照Cantor集的构造方法. 33. 设E是 1 R中的L可测集, ∈a , 1 R .0>δ 当),( δδ?∈x时, xa+和xa? 66 之中必有一点属于,E 证明.)( δ≥Em 提示: 注意).()(),( EaaE ?∪??? δδ 34. 计算E的L测度, 这里 xxE :]1,0[{ ∈=的十进制小数中不出现7}. 35. 设)(xF是一单调增加的右连续函数, F μ是由)(xF导出的L-S测度. 证明 ).()()),(()3( ).()0()),(()2( ).0()(})({)1( aFFa aFbFba aFaFa F F F ?+∞=+∞ ??= ??= μ μ μ 其中).(lim)( xFF x ∞→ =+∞ 注. 由(1)知道, 0})({ =a F μ当且仅当)(xF在a连续. 36. 设, 1 R∈a ).()( ),[ xIxF a +∞ = 证明),( 1 RPR = ? 并且若,Aa∈ 则 ,1)( =A F μ 若,Aa? 则.0)( =A F μ 37. 设μ是)( 1 RB上的一有限测度. 令 .),],(()( 1 R∈?∞= xxxF μ 证明F是单调增加的右连续的, 并求).(lim xF x ?∞→ 和).(lim xF x +∞→