106 §4.4 Lebesgue积分与Riemann积分 教学目的 本节讨论直线上的Riemann积分(包括广义Riemann积分) 与Lebesgue积分之间的关系.同时给出Riemann可积函数的一个判别条件. 本节要点 用测度理论可以给出函数Riemann可积的一个简明的充要条 件. 本节的主要结果表明Lebesgue积分是Riemann积分的推广. 利用 Lebesgue积分的性质, 可以解决一些Riemann积分的问题. Riemann积分的回顾 设],[ ba是直线上的一个有界闭区间. 一个有限序列 },,,{ 10 k xxxP"=称为是],[ ba的一个分割, 若. 10 bxxxa k =<<<=" 设P和Q是 ],[ ba的两个分割. 如果,QP ? 则称Q是P的一个加细. 设f是定义在],[ ba上的有界实值函数, k ii xP 0 }{ = =是],[ ba的一个分割. 对每个 ,,,1 ki"= 令 ]}.,[:)(sup{,]},[:)(inf{ 11 iiiiii xxxxfMxxxxfm ?? ∈=∈= f关于分割P的Darboux下和与Darboux上和分别定义为 .)(),(,)(),( 1 1 1 1 ∑∑ = ? = ? ?=?= k i iii k i iii xxMPfSxxmPfs ),( Pfs和),( PfS的几何意义分别是曲线)(xfy =的下方图形(曲边梯形)的内接阶梯形 与外接阶梯形面积(见引言的插图). 显然对],[ ba的任意一个分割P , 总有 ).,(),( PfSPfs ≤ 又容易验证以下实事: (1) .若 1 P和 2 P是],[ ba的两个分割, 并且 2 P是 1 P的加细, 则有 ),,(),( 21 PfsPfs ≤ ).,(),( 12 PfSPfS ≤ (2).对],[ ba的任意两个分割 1 P和 2 P ,总有 ).,(),( 21 PfSPfs ≤ 因此当P取遍],[ ba的所有分割时, f的下和),( Pfs的全体所成的数集上有界, 上和 ),( PfS的全体所成的数集下有界.令 },],[:),(sup{)(的分割是baPPfsfI = }.],[:),(inf{)(的分割是baPPfSfI = 107 分别称I和I为f的下积分和上积分. 如果,II = 则称f在],[ ba上是Riemann可积 的, 并且称I和I的公共值为f在],[ ba上的Riemann积分(简称为R积分). 为避免与 Lebesgue积分混淆, 下面将f在],[ ba上的Riemann积分和Lebesgue积分分别暂记为 (R) b a fdx ∫ 和(L) . b a fdx ∫ 引理1 设f是定义在],[ ba上的有界实值函数. 则以下三项是等价的; ).i( f在],[ ba上是Riemann可积的 ).ii(对任意,0>ε 存在],[ ba的一个分割P , 使得 .),(),( ε<? PfsPfS ).iii(存在],[ ba的一列分割},{ n P 使得 .0)),(),((lim =? ∞→ nn n PfsPfS 证明 ).ii()i( ? 设f在],[ ba上是Riemann可积的.记=I (R) . b a fdx ∫ 则对任意 ,0>ε 存在],[ ba的两个分割 1 P和 2 P使得 , 2 ),( 1 ε <? PfsI . 2 ),( 2 ε <?IPfS 令. 21 PPP ∪= 则P是 1 P和 2 P的加细. 于是我们有 .)),(()),((),(),(),(),( 1212 ε<?+?≤?≤? PfsIIPfSPfsPfSPfsPfS ).iii()ii( ?显然 ).i()iii( ?设 n P是],[ ba的一列分割,使得 .0)),(),((lim =? ∞→ nn n PfsPfS 对任意,0>ε 取 0 n使得.),(),( 00 ε<? nn PfsPfS 于是 ε<?≤? ),(),( 00 nn PfsPfSII . 由于0>ε是任意的,故必有.II =即f在],[ ba上是Riemann可积的.■ Riemann可积的充要条件与两种积分的关系 定理2 设f是定义在],[ ba上的有界实值函数. 则 ).i( f在],[ ba上Riemann可积的充要条件是f在],[ ba上几乎处处连续(即f的不连 续点的全体是一个Lebesgue零测度集). ).ii(若f是Riemann可积的, 则f是Lebesgue可积的, 并且两种积分相等, 即 (R) b a fdx= ∫ (L) . b a fdx ∫ 108 证明 设f在],[ ba上是Riemann可积的. 由引理1知存在],[ ba的一列分割 )1}(,{ 0 ≥= nxxP n kn "使得 .0)),(),((lim =? ∞→ nn n PfsPfS 我们可适当选取上面的分割序列}{ n P , 使得 1+n P是 n P的加细. 对每个自然数,1≥n 令 ]},,[:)(inf{ 1 )( ii n i xxxxfm ? ∈= ]}.,[:)(sup{ 1 )( ii n i xxxxfM ? ∈= .,,1 n ki"= 再对每个自然数,1≥n 令 .)(,)( 1 ],( )( 1 ],( )( 11 ∑∑ == ?? +=+= n ii n ii k i xx n in k i xx n in IMafhImafg 则}{ n g和}{ n h都是简单函数列, 并且}{ n g单调增加, }{ n h单调减少.而且满足 .1, ≥≤≤ nhfg nn 再令.lim,lim n n n n hhgg ∞→∞→ == 由于f是有界的, 故g和h都是有界可 测函数, 并且成立 ].,[),()()( baxxhxfxg ∈≤≤ (1) 由控制收敛定理和 n g与 n h的定义, 我们有 (L) lim(L) lim ( , ), bb nn nnaa gdx g dx s f P →∞ ←∞ == ∫∫ (2) (L) lim(L) lim ( , ). bb nn nnaa hdx h dx S f P →∞ ←∞ == ∫∫ (3) 由于,0)),(),((lim =? ∞→ nn n PfsPfS 结合(2)与(3)得到 (L) ( ) 0. b a hgdx?= ∫ 注意到,hg ≤ 由§4.2定理7和上式得到a.e..hg = 因此若令},{ hgA ≠= 则.0)( =Am 再设B是所有分割 n P的分点的全体. 则B是可数集. 因此.0)( =∪BAm 容易知道当 BAx ∪?时, f在x连续. 因此f在],[ ba上几乎处处连续. 故)i(的必要性得证. 由于 a.e.,hg = 结合)1(知道a.e..gf = 故f是L可测的. 又由于f在],[ ba上是有界的, 因 此f在],[ ba上是Lebesgue可积的. 又由于当∞→n时, 0(R) (,) (,) (,) 0. b nnn a fdx sfP SfP sfP≤?≤?→ ∫ 因此 lim ( , ) (R) . b n n a sfP fdx →∞ = ∫ 再结合(2)我们有 (L) (L) lim ( , ) (R) . bb b n naa a fdx gdx s f P fdx →∞ == = ∫∫ ∫ 故)ii(得证. 109 往证)i(的充分性. 设f在],[ ba上几乎处处连续. 又设}{ n P是],[ ba的一列分割, 其 中}{ n P把],[ ba分成 n 2个等长的小区间. 按前述方式定义函数g和.h 显然当x是f的连 续点时, ).()()( xhxfxg == 因此a.e..hg = 由(2)与(3)得到 0)),(),((lim =? ∞→ nn n PfsPfS 由引理1知道f在],[ ba上是Riemann可积的. 故)i(的充分性得证.■ 定理2给出了函数f在],[ ba上Riemann可积的一个简单明了的判别条件, 同时也表明 Lebesgue积分是Riemann积分的推广, 并且Lebesgue积分的可积函数类比Riemann积分的 可积函数类大. 在§4.1中我们曾指出]1,0[上的Dirichlet函数)(xD是L可积的. 但由于 )(xD在]1,0[上处处不连续, 由定理2知道)(xD不是Riemann可积的. 这个例子表明 Lebesgue积分的可积函数类严格地大于Riemann积分的可积函数类. 广义Riemann积分与Lebesgue积分的关系 下面仅以无穷区间),[ ∞+a的广义 Riemann积分为例. 对其他无穷区间上的广义Riemann积分和无界函数的广义Riemann积分 也有类似的结果. 定理3 设f是定义在),[ ∞+a上的实值函数, 并且对任意,ab > f在],[ ba上是有界 的几乎处处连续的. 则有 (R) (L) . aa f dx f dx +∞ +∞ = ∫∫ (4) 因此f在),[ ∞+a上Lebesgue可积当且仅当广义Riemann积分(R) a fdx +∞ ∫ 绝对收敛. 并 且当(R) a fdx +∞ ∫ 绝对收敛时, 成立 (R) (L) . aa fdx fdx +∞ +∞ = ∫ ∫ 证明 由定理2知道对任意,ab > f在],[ ba上是Riemann可积的. 对每个,an ≥ 令 令. ],[ nan fIf = 则.ff n ↑ 由于每个 n f是L可测的, 因此f是L可测的. 由单调收敛定理 和定理2, 我们有 (L) lim(L) lim(L) lim (R) (R) . n n nnaaa n n aa f dx f dx f dx f dx f dx +∞ +∞ →∞ →∞ +∞ ←∞∞ == ∫∫∫ ∫ ∫ (5) 故(4)成立. 因此f在),[ ∞+a上Lebesgue可积当且仅当广义Riemann积分(R) a fdx +∞ ∫ 绝 对收敛.. 当(R) a fdx +∞ ∫ 绝对收敛时, f在),[ ∞+a上是Lebesgue可积的. 由于ff n ≤ 并且ff n →处处成立, 由控制收敛定理和定理2, 我们有 110 (L) lim(L) lim(L) lim (R) (R) . n n nnaa a n n aa fdx f dx fdx fdx fdx +∞ +∞ →∞ →∞ +∞ ←∞∞ == ∫∫∫ ∫ ∫ (6) 定理证毕.■ 定理2和定理3表明, 若f在],[ ba上Riemann可积, 或者f在有界或无界区间上的广 义Riemann积分绝对收敛, 则f是Lebesgue可积的并且这两种积分值相等. 在这种情况下, 此时f的Riemann积分可视为Lebesgue积分, 因而可以应用Lebesgue积分的性质例如极限 定理等. 定理2和定理3也表明, 若f在某区间上同时是(正常或者广义)R可积和L可积的, 则 这两种积分值相等. 因此以后f在区间上的R积分和L积分都用 b a fdx ∫ 和 a fdx +∞ ∫ 等表 示, 不会发生混淆. 例1 设. sin )( x x xf = 在数学分析课程中熟知, f在),0[ ∞+上的广义Riemann积分 是收敛的但不是绝对收敛的. 由定理3, f在),0[ ∞+上不是L可积的. 例2 证明 2 0 sin lim . 2 (1 ) n x n n dx xx π +∞ →∞ = + ∫ 证明 令 , )1( sin )( 2 xx n x n xf n + = .1≥n . 1 1 )( 2 x xg + = 则.1, ≥≤ ngf n 由于广义Riemann积分 0 gdx +∞ ∫ 收敛. 由定理3知道g在),0[ ∞+上是 L可积的. 因此每个 n f是L可积的. 由定理3, 0 n f dx +∞ ∫ 可以视为Lebesgue 积分.由于 , 1 1 2 x f n + → ).( ∞→n 利用控制收敛定理得到 220 00 sin 1 lim arctg . 2 (1 ) 1 n x n n dx dx x xx x π +∞ +∞ +∞ →∞ === ++ ∫∫ 例3 证明 1 2 0 1 11 1 ln . 1 n dx x x n ∞ = = ? ∑ ∫ 证明 由泰勒级数知道 111 .10, 1 1 ln 1 1 1 <<= ? ∑ ∞ = ? x n x xx n n (7) (6)式在0=x和1=x不成立. 但,0})1,0({ =m 故(7)式在]1,0[上几乎处处成立. 由于在 ]1,0[上 ,0 1 1 ln 1 )( ≥ ? = xx xf .0)( 1 ≥= ? n x xf n n 由定理3知道它们的积分都可以视为Lebesgue积分. 利用推论3我们有 11 11 1 2 00 0 11 1 1 ln . 1 nn nn n xx dx dx dx xnnx n ??∞∞ ∞ == = == ? ∑∑ ∑ ∫∫ ∫ 小 结 本节讨论了直线上的Riemann积分(包括广义Riemann积分)与Lebesgue积分 之间的关系. 同时给出Riemann可积函数的一个简明的充要条件. 定理2表明Lebesgue积 分是Riemann积分的推广. 定理3表明当广义Riemann积分绝对收敛时, 广义Riemann积分 与Lebesgue积分相等. 利用以上结果和Lebesgue积分的性质, 可以解决一些Riemann积分 的问题. 习 题 习题四, 第26题—第38题.