38 第二章 测度与测度的构造 我们知道Riemann积分的几何意义是曲边梯形的面积. 为在欧氏空间空间 n R上推广 Riemann积分的理论, 我们必须把象长度, 面积和体积等概念推广到 n R中的更一般的集上 去. 本章将要定义的 n R上的Lebesgue测度就是长度, 面积和体积等概念推广. §2.1 测度与测度的性质 教学目的 给出一般空间上测度的定义,并由测度的定义推出测度的 基本性质.Lebesgue测度和Lebesgue-Stieljes测度是本节定义的测度最重要 的特例, 将在§2.3中介绍. 本节要点 本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度.应通过一些例 子,使学生理解测度的意义. 广义实数集 测度论中讨论的函数和测度将允许取正、负无穷为值.为此引进“ ∞+ ”和 “ ∞? ”两个符号, 称之为广义实数.规定它们与实数a之间的大小关系和四则运算如下: (1) 序关系: .+∞<<∞? a (2) 加法: .)()()()( ±∞=±∞+±∞=+±∞=±∞+ aa (3) 乘法: ? ? ? ? ? <∞ = >∞± = ? ±∞=±∞ ? .0 00 0 )()( a a a aa ? (4) 除法: .0= ∞± a (5) 绝对值: .+∞=∞± 记 ? R = }.,{ 1 ?∞+∞∪R 称 ? R为广义实数集, 它的元素称为广义实数. 取值于 ? R的 序列和函数分别称为广义实数列和广义实值函数. 测度的定义与性质 设X是一固定的非空集. 本节所讨论的集都是X的子集. 我们称定 义在集类上的函数为集函数. 定义1 设R为一个环, μ :R ],0[ ∞+→是一个非负值集函数. 如果μ满足如下条 件: (i) .0)( =?μ )ii(可数可加性: 对A中的任意一列互不相交的集},{ n A 当 39 ∈ ∞ = ∪ 1n n A R时, 成立 .)()( 11 ∑ ∞ = ∞ = = n n n n AA μμ ∪ 则μ称为R上的一个测度. 注1 环上的测度也具有有限可加性.事实上, 设∈ n AA ,, 1 null R , 则 .)( )()()( )()( 1 1 1 1 ∑ = = = +?+++= ∪?∪∪∪= n i i n n n i i A AA AAA μ μμμ μμ nullnull nullnull ∪ 这表明μ具有有限可加性. 但在一般情况下, 有限可加性不能推出可数可加性. 思考题 证明: 若μ是环R上的广义实值函数, μ不恒为∞+ , 并且满足可数可加性, 则μ是R上的测度. 例1 设R = }.,{ ?X 令.1)(,0)( ==? Xμμ 则μ是R上的测度. 例2 设X是一非空集, a是X中的一个固定元. 对任意∈A ),(XP 令 ? ? ? ? ∈ = .0 ,1 )( Aa Aa A 若 若 μ 则容易验证μ是)(XP上的测度. 例3 设F是非空集X上的?σ代数. 对任意,F∈A 若,?≠A 则令+∞=)(Aμ . 另外令,0)( =?μ 则μ是F上的测度. 例4 设},,{ 21 nullaaX =是可数集, )(XP是X的全体子集所成的代数?σ . 又设 }1,{ ≥pp n 是一列非负实数. 在)(XP上定义 ,0)( =?μ ,)( ∑ ∈ = Aa i i pAμ ∈A )(XP . 容易验证μ是)(XP上的测度. 特别地, 当)1(1 ≥= np n 时, ? ? ? ∞+ = . , .)( 是无限集当 是有限集当中元素的个数 A AA Aμ 此时称μ为X上的计数测度. 特别地, 若取N=X为自然数集, 则得到自然数集上的计数 测度. 例5 设F是非空集X上的?σ代数, ∈E .F 令}.:{ FF ∈∩= AAE E 则 E F是E 上的?σ代数(见第一章习题第22题). 若μ是F上的测度. 则μ (限制在 E F上)也是 E F上 40 的测度. 在§2.3将给出测度最重要的例子, 即 n R上的Lebesgue测度. 定理2 设μ是环R上的测度. 则μ具有如下性质: (1) 单调性. 若∈BA, R 且,BA? 则).()( BA μμ ≤ (2) 可减性. 若∈BA,,R BA?并且,)( +∞<Aμ 则 ).()()( ABAB μμμ ?=? (3) 次可数可加性. 若?}{ n A R 并且∈ ∞ = ∪ 1n n A ,R 则 ≤ ∞ = )( 1 ∪ n n Aμ .)( 1 ∑ ∞ =n n Aμ (4) 下连续性. 若?}{ n A ,R ↑ n A并且∈ ∞ = ∪ 1n n A ,R 则 )( 1 ∪ ∞ =n n Aμ = ).(lim n n Aμ ∞→ (5) 上连续性. 若?}{ n A R , ↓ n A并且∈ ∞ = ∩ 1n n A ,R ,)( 1 +∞<Aμ 则 )( 1 ∩ ∞ =n n Aμ = ).(lim n n Aμ ∞→ 证明 (1).由于).(, ABABBA ?∪=?故由于,)( ?=?∩ ABA 由测度的有限可 加性得到 ).()()( ABAB ?+= μμμ 注意到,0)( ≥? ABμ 因此).()( BA μμ ≤ (2).在(1)中已证).()()( ABAB ?+= μμμ 由此式并注意到+∞<≤ )(0 Aμ , 即得 ).()()( ABAB μμμ ?=? (3). 令 .2,, 1 1 11 ≥?== ? = nAABAB n i inn ∪ 则?}{ n B R , 并且),1( ≥? nAB nn ).( jiBB ji ≠?=∩ 易知成立 ∪ ∞ =1n n A = ∪ ∞ =1n n B (参 见第一章习题第18题). 利用测度的可数可加性和单调性得到 41 .)()()()( 1111 ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ≤== n n n n n n n n ABBA μμμμ ∪∪ (4). 令.2,, 111 ≥?== ? nAABAB nnn 由于, ↑ n A 容易知道有 ),( jiBB ji ≠?=∩并且 ., 111 ∪∪∪ ∞ = ∞ = ∞ = == i i i i i in BABA . 由测度的可数可加性, 我们 ).(lim)(lim )(lim)()( 1 111 n n n i i n n n i i n n n n AB BBA μμ μμμ ∞→ = ∞→ ∞ == ∞→ ∞ = == == ∑∑ ∪ ∪ (5) 令 1 ,1. , nn n BAAn B=? ≥ ↑ 则并且 .)( 1 1 1 1 1 ∩∪∪ ∞ = ∞ = ∞ = ?=?= n n n n n n AAAAB 注意到,)()()( 1 1 +∞<≤≤ ∞ = AAA n n n μμμ ∪ 由测度的可减性和下连续性, 得到 ).(lim)( ))()((lim )(lim)()()( 1 1 11 1 n n n n n n n n n n AA AA BBAA μμ μμ μμμμ ∞→ ∞→ ∞→ ∞ = ∞ = ?= ?= ==? ∪∩ 由上式得到)( 1 ∩ ∞ =n n Aμ = ).(lim n n Aμ ∞→ 定理证毕.■ 注2 在测度的性质(5)中, 若去掉条件+∞<)( 1 Aμ , 则不能保证(5)中的结论成立. 例 如, 设μ是自然数集N上的计数测度. 令.1},,1,{ ≥+= nnnA n null 则 ↓ n A并且 . 1 ?= ∞ = ∩ n n A 于是.0)( 1 = ∞ = ∩ n n Aμ 另一方面, 由于),1()( ≥+∞= nA n μ 故 .)(lim +∞= ∞→ n n Aμ 因此)( 1 ∩ ∞ =n n Aμ )(lim n n Aμ ∞→ ≠ . 定义3 设μ是环R上的测度. ).i(若对每个∈A R都有,)( +∞<Aμ 则称μ是有限的. 42 ).ii(若对每个∈A R , 存在R中一列集},{ n A 使得+∞<)( n Aμ )1( ≥n并且 , 1 ∪ ∞ = = n n AA 则称μ是?σ有限的. 容易知道, 若环R上的测度μ是?σ有限的, 则上述定义中的}{ n A可以选取为互不 相交的. 特别地, 若μ是?σ代数F上的测度, 则μ是?σ有限的当且仅当存在F中一列 互不相交的集},{ n A 使得+∞<)( n Aμ )1( ≥n并且. 1 ∪ ∞ = = n n AX 例如, 本节例1和例2中的测度是有限的.例4中的测度是?σ有限的. 定义4 (1) 设X为一非空集, F为X上的?σ代数. 称二元组合),( FX为可测空间. F中的集称为?F可测集(或简称为可测集). (2) 设μ为可测空间),( FX上的测度. 称三元组合),,( μFX为测度空间. 若测度μ 为有限的或?σ有限的, 则分别称测度空间),,( μFX为有限的和?σ有限的. 小 结 为了适应现代数学的许多分支需要, 本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的测 度的性质, 以后会经常用到, 应熟练掌握. 测度最重要的例子,将在§2.3中介绍. 习 题 习题二, 第1题—第8题.