43 §2.2 外测度与测度的延拓 教学目的 本节讨论如何将环R上的测度延拓到R生成的σ -代数上 去. 这是定义测度常用的方法. 下一节将用这个方法定义重要的Lebesgue测 度. 本节要点 本节所述测度的延拓过程思路较复杂, 论证较繁难. 应注意 讲清主要思路, 定理的证明应注意交代主要思想. 一般说来, 要在一个比较复杂的集类上定义一个满足某些特定条件的测度, 往往并非 易事. 设R是一个环, )(Rσ是由R生成的σ -代数. 一般情况下, )(Rσ要比R大得多. 显然, 在R上定义一个测度要比直接在)(Rσ定义容易. 因此, 如果我们要在)(Rσ定义 一个满足某些特定条件的测度, 我们可以先在R上定义这个测度, 然后再设法延拓到 )(Rσ上去. 本节将证明, 若μ是定义在环R上的测度, 则μ总可以延拓到一个包含 )(Rσ的σ -代数上去. 利用测度的延拓定理, 许多重要的测度可以用这种方法构造出来. 本节仍设X是一固定的非空集, )(XP是X的全体子集所成的集类. 外测度 设C是一个非空集类, .XA? 若}{ n A是C中的有限或无穷序列, 使得 ∪ k n n AA 1= ? (或 ∪ ∞ = ? 1n n AA ), 则称}{ n A是A的一个C覆盖. 由于有限并总可以写成可数并 (只要令),( knAA kn >=则 ∪∪ ∞ == = 11 n n k n n AA ). 因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖. 设μ是环R上的测度. 对每个,XA? 令 }.}{:)(inf{)( 1 覆盖的是RAAAA n n n∑ ∞ = ? = μμ 若A无R覆盖, 则令.)( +∞= ? Aμ 这样定义的 ? μ是定义在)(XP上的非负值集函数. 称 ? μ为由μ导出的外测度. 定理1设μ是环R上的测度. ? μ为由μ导出的外测度. 则 ? μ满足: ).i( .0)( =? ? μ ).ii(单调性: 若≤?? )(, ABA μ则).(B ? μ 44 ).iii(次可数可加性: 对X中的任意一列集}{ n A成立 ).()( 11 n nn n AA ∑ ∞ = ? ∞ = ? ≤ μμ ∪ (1) 证明 由于}{?是空集?的一个R覆盖, 故.0)()( =?≤? ? μμ 因此.0)( =? ? μ 设,BA? 则B的每个R覆盖也是A的R覆盖. 这蕴涵).()( BA ?? ≤ μμ 下面证明 ? μ具 有次可数可加性. 设}{ n A是X的一列子集. 不妨设1,)( ≥+∞< ? nA n μ (否则(1)显然成立). 现在任意给定0>ε . 由 ? μ的定义, 对每个,1≥n 存在 n A的一个R覆盖,}{ 1, ≥kkn C 使得 .)()( 1 , n n k kn AC 2 +≤ ∑ ∞ = ? ε μμ (2) 由于}1,,{ , ≥knC kn 是 ∪ ∞ =1n n A的一个R覆盖, 由(2)得到 .)())(()()( 111 , 11 εμ ε μμμ += 2 +≤≤ ∑∑∑∑ ∞ = ? ∞ = ? ∞ = ∞ = ∞ = ? n n n n nn kn kn n AACA ∪ 由于0>ε是任意的, 因此得到.)()( 11 ∑ ∞ = ? ∞ = ? ≤ n n n n AA μμ ∪ 即 ? μ具有次可数可加性.■ 可测集 由μ导出的外测度 ? μ定义在X的全体子集所成的集类上. 但 ? μ的定义域太 大, 一般不满足可数可加性. 因而一般不是测度. 下面将证明, 可以通过适当的限制条件挑 选出一部分集即所谓“可测集”， 这些集构成一个σ?代数. 将 ? μ限制在这个σ?代数上, ? μ满足可数可加性, 因而成为一个测度. 而且这个σ?代数一般要比μ的定义域R要大, 于是就扩大了原来测度的定义域. 定义2 设μ是环R上的测度, ? μ是由μ导出的外测度. 又设.XE ? 若对任意 XA? , 均有 ).()()( c EAEAA ∩+∩= ??? μμμ (3) ( 图2—1)则称E是 ? μ -可测集. ? μ -可测集的全体所成的集类记为. ? R A E C EA∩ EA∩ 45 图2—1 等式(3)称为Caratheodory条件(简称为卡氏条件). 由于外测度 ? μ具有次可数可加性, 因此对任意XA?成立 ).()())()(()( cc EAEAEAEAA ∩+∩≤∩∪∩= ???? μμμμ 所以(3)式等价于 ).()()( c EAEAA ∩+∩≥ ??? μμμ (4) 因此集E是 ? μ -可测的当且仅当对任意,XA? (4)式成立. 又由于当+∞= ? )(Aμ时(4)总 是成立的, 因此若对任意,XA? 当+∞< ? )(Aμ时(4)式成立, 则E是 ? μ -可测的. 显然, 空集?和全空间X是 ? μ -可测集. 又由 ? μ 的单调性和(4)可以看出若 ,0)( = ? Eμ 则E是 ? μ -可测集. 思考题 证明:集E是 ? μ -可测集当且仅当对任意EA?和 C EB ?成立 ).()()( BABA ??? +=∪ μμμ 引理3 设 n EE ,, 1 null是互不相交的 ? μ -可测集. 则对任意XA? , 成立 ).())(( 11 i n i n i i EAEA ∩=∩ ∑ = ? = ? μμ ∪ (5) 证明 用数学归纳法. 当1=n时(5)显然成立. 假定(5)对kn =时成立. 因为 n EE ,, 1 null 是互不相交的. 所以 ).()( ,)( 1 1 1 1 11 1 1 ∪∪ ∪ k i i c k k i i kk k i i EAEEA EAEEA = + + = ++ + = ∩=∩∩ ∩=∩∩ 于是由 1+k E的 ? μ -可测性和归纳法假设, 我们有 11 1 11 1 1 1 1 () . (). kk k c iik ik k ki i k i i AE AEE AEE AE A E AE μμ μ μμ μ ++ + ?? ? ++ == = ?? + = + ? = ?????? ?? ?? ?? ?? ? ???? ?? ?? ? ∩ =∩∩+ ∩∩? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?=∩+∩ ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? =∩ ∑ ∪∪ ∪ ∪ 因此当1+= kn时(5)式成立. 因此(5)对任意n成立.■ 定理4 设μ是环R上的测度, ? μ是由μ导出的外测度. ? R是 ? μ -可测集的全体所 成的集类. 则有 ).i( ? R是σ -代数. ).ii( ? μ限制在是 ? R上是一个测度. 46 证明 ).i(先证明 ? R是一个代数. 由于空集?和全空间X是 ? μ -可测集. 故 ? R非空. 由 ? μ -可测集的定义立即可以看出若E是可测? ? μ的, 则 c E也是 ? μ -可测的, 因此 ? R对 余运算封闭. 往证 ? R对有限并的封闭性. 设∈ 21 ,EE ? R . 令 21 EEE ∪= .注意到 )( 211 EEEE c ∩∪= , 利用 21 EE和的可测性, 对任意,XA? 我们有 112 12 11 ()( ) [( ) ( )] ( ) ()[(())(())] ()( )() c ccc c AE AE AE AE E AE E AE AE E AE E AE AE A μμ μ μμ μ ?? ? ?? ? ∩+ ∩ ≤∩+∩∩+∩∩ =∩+ ∩∩+ ∩∩ =∩+∩= 图2—2 (参见图2—2)即E满足卡氏条件(4)式. 这表明∈∪= 21 EEE ? R . 因此 ? R是一个代数. 为证 ? R是一个σ -代数, 只需再证明 ? R对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第 20题). 设?}{ n E ? R , 并且).( jiEE ji ≠?=∩ 令. 1 ∪ ∞ = = n n EE 由于 ? R是代数, 故 ∈ = ∪ n i i E 1 ? R , .1≥n 利用引理2.2.3, 对任意,XA? 我们有 ).()( )( )()( 1 1 11 c n i i c n i i c n i i n i i EAEA EAEA EAEAA ∩+∩= ∩+ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩≥ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩+ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩= ? = ? ? = ? = ? = ?? ∑ μμ μμ μμμ ∪ ∪∪ (6) A 1 E 2 E 12 CCC A EAEE∩=∩∩ 1 EA∩ 21 EEA C ∩∩ 47 (6)式对任意n都成立. 在(6)中令,∞→n 并利用外测度的次可数可加性, 得到 ).()()()()( 1 cc i i EAEAEAEAA ∩+∩≥∩+∩≥ ??? ∞ = ?? ∑ μμμμμ 上式表明E满足卡氏条件(4)式 因此∈= ∞ = ∪ 1n n EE ? R . 这就证明了 ? R是σ -代数. ).ii(为证 ? μ是 ? R上的测度, 只需证明 ? μ在 ? R上是可数可加的. 设?}{ n E ? R , 并 且).( jiEE ji ≠?=∩ 由外测度的次可数可加性, 我们有.)()( 11 ∑ ∞ = ? ∞ = ? ≤ i i i i EE μμ ∪ 另一 方面, 在(5)中令A=X得到 ).()()( 111 ∪∪ ∞ = ? = ? = ? ≤= ∑ i i n i i n i i EEE μμμ 上式中令,∞→n 得到 ).()( 11 ∪ ∞ = ? ∞ = ? ≤ ∑ i i i i EE μμ 因此 ∑ ∞ = ? ∞ = ? = 11 )()( i i i i EE μμ ∪ , 即 ? μ在 ? R上是可数可加的. 所以 ? μ是 ? R上的测度.■ 注1 从定理.4的证明可以看出, 定理4的结论)i(和)ii(并不依赖于环R上的测度μ , 只用到了定理1中 ? μ所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足定理1中的)i( , )ii(和 )iii(的集函数 ? μ为外测度. 然后和定义2一样定义 ? μ可测集. 则定理4的结论对这样定义 的一般的外测度 ? μ仍成立. 测度的延拓 由定理4知道 ? R是一个σ -代数, ? μ限制在 ? R上是一个测度. 一个自 然的问题是, 在R上 ? μ是否等于μ ? ? R有多大? 下面的定理回答了这两个问题. 定理5 设μ是环R上的测度, ? μ是由μ导出的外测度. ? R是可测集? ? μ的全体 所成的集类. 则 )i( . ? μ在R上的限制等于μ , 即当∈A R时).()( AA μμ = ? ).ii( ?)(Rσ ? R . 证明 )i(设∈A ,R 由于}{A是A的一个R覆盖, 故).()( AA μμ ≤ ? 另一方面, 对 A的任意一个R覆盖},{ n A 由于 ∪ ∞ = ∩= 1 ),( n n AAA 我们有 48 ).()()()( 111 n n n nn n AAAAAA ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ≤∩≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩= μμμμ ∪ 对A的所有R覆盖取下确界即得).()( AA ? ≤ μμ 因此).()( AA μμ = ? ).ii( 先证明?R ? R . 设∈E .R 又设,XA? 并且.)( +∞< ? Aμ 对任给的0>ε , 存在A的一个R覆盖},{ n A使得 .)()( 1 εμμ +< ? ∞ = ∑ AA n n 于是我们有 .)()()()( 111 εμμμμ +<=∩+∩ ? ∞ = ∞ = ∞ = ∑∑∑ AAEAEA n n c n n n n (7) 由于}{ EA n ∩和}{ c n EA ∩分别是EA∩和 c EA∩的R覆盖, 故有 ∑ ∞ = ? ∩≤∩ 1 ),()( n n EAEA μμ ∑ ∞ = ? ∩≤∩ 1 ).()( n c n c EAEA μμ 将以上两式代入(7)得 .)()()( εμμμ +<∩+∩ ?? AEAEA c 由0>ε的任意性得到 ).()()( AEAEA c ?? ≤∩+∩ μμμ 即E满足卡氏条件(4), 故E是 ? μ可测集. 这表明?R ? R . 由定理4, ? R是一个σ -代数. 因此?)(Rσ ? R .■ 设 1 R和 2 R是两个环并且? 1 R 2 R , 1 μ和 2 μ分别是 1 R和 2 R上的测度. 如果对任意 ∈A 1 R , 成立),()( 21 AA μμ = 则称 2 μ是 1 μ在 2 R上的延拓. 设μ是环R上的测度, ? μ是由μ导出的外测度. 由定理4, ? μ限制在 ? R上是一个 测度. 又由定理5, ?)(Rσ ? R并且在R上.μμ = ? 因此 ? R上的测度 ? μ是μ的延拓. 延拓后的测度仍记为μ . 这表明定义在R上的测度总可以延拓为一个包含)(Rσ的σ -代 数上去. 一般情况下, 延拓测度可能不是唯一的. 但我们有如下结果. 定理6 (延拓测度的唯一性)设R是一个环, 并且全空间X可表为R中一列互不相交 的集的并, 1 μ和 2 μ是)(Rσ上的两个测度并且在R上是σ有限的. 若在R上, 21 μμ = 则在)(Rσ上. 21 μμ = 证明 由于全空间X可表为R中一列互不相交的集的并, 并且μ在R上是σ有限的, 49 容易证明存在R中一列互不相交的集}{ n E , 使得 ∪ ∞ = = 1n n EX并且.1,)( ≥+∞< nE n μ (见本章习题第11题). 对每个,1≥n 令 )}.()(:)({ 21 nnn EAEAA ∩=∩∈= μμσ RF 若∈A ,R 则∈∩ n EA ,R 于是由假设条件有 ).()( 21 nn EAEA ∩=∩ μμ 因此∈A . n F 这表明?R . n F 容易证明 n F是一个λ类. 由§1.3推论12, ?)(Rσ . n F 即对每个∈A )(Rσ成立 .1),()( 21 ≥∩=∩ nEAEA nn μμ 对n求和, 即得).()( 21 AA μμ = 因此在)(Rσ上. 21 μμ = ■ 结合定理5和定理6知道, 若μ是环R上的σ有限测度, 则μ可以唯一地延拓成为 )(Rσ上的测度(事实上, 可以延拓成为更大的σ -代数即 ? R上的测度). 测度的延拓过程如 图2—3. 图2—3 半环上的测度及延拓 上面讨论了定义在环上的测度的延拓. 但有时验证环上的一个 集函数是一个测度也并非易事. 下面我们讨论如何从半环上的集函数得到一个测度. 设C是一个半环, )(CRR =是由C生成的环, 即 }.1,,,:{ 1 1 ≥== = kAAAA k k i i 并且互不相交属于其中CR null ∪ (参见§1.3). 称 ∪ k i i AA 1= =为A的一个分解式. 又设μ是C上的非负值集函数并且满足 0)( =?μ和有限可加性. 按下面的方式将μ延拓到R上. 对每个∈A R , 若A的一个分 解式为 ∪ k i i AA 1= = , 则令 R环上的 测度 μ ?→? 扩大 ?→??→? )(XP上的 外测度 ? μ 缩小 ? R 上的 测度 ? μ )(Rσ上的 测度 ? μ 缩小 50 .)()( 1 ∑ = = k i i AA μμ (8) 由于对给定的∈A R , A的分解式 ∪ k i i AA 1= =不是唯一的. 因此需要证明如下的引理. 引理7 设μ是半环C上的非负值集函数并且满足0)( =?μ和有限可加性. 则由(8)式 定义的集函数μ的值不依赖于集的分解式的选取. 证明 设∈A R , ∪ k i i AA 1= =和 ∪ m j j BA 1= =是A的两个分解式. 令 .,,1,,,1, mjkiBAE jiij nullnull ==∩= 则}1,1,{ mjkiE ij ≤≤≤≤是C中的一组互不相交的集. 并且对每个ki ≤≤1和 ,1 mj ≤≤ 成立 ∪ m j iji EA 1 , = = ∪ k i ijj EB 1 . = = 由于μ在C上是有限可加的, 我们有 .)()()()( 111111 ∑∑∑∑∑∑ ====== === m j j m j k i ij k i m j ij k i i BEEA μμμμ 这表明)(Aμ的值不依赖于A的分解式的选取.■ 在§2.1中我们定义了环上的测度. 同样, 若μ是半环C上的非负值集函数满足 0)( =?μ和可数可加性, 则我们称μ是C上的测度. 定理8 设μ是半环C上的测度. R是由C生成的环. 则由(8)式定义的集函数μ是环 R上的测度. 证明 由引理7, 对任意∈A ,R )(Aμ的值不依赖于A的分解式的选取. 因此μ在R 上的定义是确定的. 为证μ是环R上的测度, 只需证明μ在R上是可数可加的. 设}{ n A 是R中的一列互不相交的集, 使得∈= ∞ = ∪ 1n n AA .R 设A和)1( ≥nA n 的分解式分别为 , 1 ∪ k i i EA = = .1, 1 , ≥= = nFA n k j jnn ∪ 则}1,1:{ , ≥≤≤ nkjF njn 是C中的一列互不相交的集. 我们有 51 .,,1, 1 , kiCE l lii null ∪ == ∞ = 其中}1,1,{ , ≥≤≤ lkiC li 是由}1,1:{ , ≥≤≤ nkjF njn 重新编号得到的. 由于μ在C上 是可数可加的, 我们有 .)()()()()( 111 , 11 , 1 ∑∑∑∑∑∑ ∞ = ∞ === ∞ == ==== n n n k j jn k il li k i i AFCEA n μμμμμ 即μ在R上是可数可加的. 因此μ是环R上的测度.■ 定理8使得我们构造一个测度时更加容易. 在§2.3和§4.6我们将看到这个定理的应用. 测度的完备性 下面我们考虑测度的完备性. 设),,( μFX为一测度空间, .XE ? 若存在∈A ,F ,0)( =Aμ 使得,AE ? 则称E为μ -可略集. 在有些问题中会涉及到关 于μ -可略集可测性的讨论. 如果μ -可略集不一定是可测集, 有时会带来一些不便. 然而对 一般的测度空间而言, μ -可略集不一定是可测集. 例1 设],1,0[=X F = }.,{ ?X令,0)()( =?= μμ X 则μ是σ -代数F上的测度. 令E ],0[ 2 1 = , 则E是μ -可略集, 但?E F . 定义9 设),,( μFX为一测度空间. 若每个μ -可略集E都是可测集(即∈E F ), 则 称F关于测度μ是完备的, 或称测度空间),,( μFX是完备的. 例如, 例2 中的F关于μ不是完备的. 定理10 设μ是环R上的测度, ? μ是由μ导出的外测度. ? R是 ? μ -的全体所成的集 类. 则 ? R关于测度 ? μ是完备的. 证明 设E是可略集?μ . 则存在∈A ? R , 使得0)( = ? Aμ并且.AE ? 由外测度的 单调性得到.0)( = ? Eμ 显然此时E满足卡氏条件, 故∈E ? R . 因此 ? R关于测度 ? μ是完 备的. ■ 以下部分不作为课堂讲授内容, 这里仅介绍结果, 略去证明. 设μ是环R上的测度, ? μ是由μ导出的外测度, ? R是 ? μ -可测集的全体所成的σ - 代数. 由定理5, ? μ是 ? R上的测度并且?)(Rσ ? μ M . 一般情况下)(Rσ关于 ? μ不一定 是完备的. 而由定理10, ? R关于测度 ? μ总是完备的. 因此一般情况下集类 ? R要比)(Rσ 大. 下面的定理表明 ? R中的集与)(Rσ中的集至多相差一个零测度集. 定理11设μ是环R上的测度. 则对任意∈E ? R , 存在∈F ),(Rσ 使得EF ?并且 ).()( EF ?? = μμ 特别地当+∞< ? )(Eμ时, .0)( =? ? EFμ 定理12 设μ是环R上σ -有限的测度. 则对任意∈E ? R , 存在∈F ),(Rσ 使得 52 EF ?并且.0)( =? ? EFμ 定理13 设μ是环R上σ -有限的测度. 则∈E ? R当且仅当满足以下条件之一: ).i(存在∈F )(Rσ和 ? μ -零测度集A使得EF ?并且.AFE ?= . ).ii(存在∈G )(Rσ和 ? μ -零测度集A使得EG ?并且.AGE ∪= . 定理14 ),,( μFX为一测度空间. 令 }.,:{可略集是?∈∪= μ μ EAEA FF 对任意, μ F∈∪= EAB 令).()( ~ AB μμ = 则 ).i( μ F是σ -代数并且?F μ F . ).ii( μ ~ 是 μ F上的测度并且在F上. ~ μμ = ).iii(测度空间) ~ ,,( μ μ FX是完备的. 定理14 中的测度空间) ~ ,,( μ μ FX称为是),,( μFX的完备化空间. 定理14表明任何 测度空间都存在其完备化空间. 定理15 设μ是环R上?σ有限的测度. 则)),(,( ? μσ RX的完备化空间是 ),,( ?? μRX . 特别地, 如果),,( μFX是一个σ -有限的测度空间. 则可以通过本节测度延拓的方法 得到的),,( μFX的完备化空间, 这个测度空间就是),,( ?? μFX , 其中 ? F是 ? μ -可测集 的全体所成的σ -代数. 小 结 从较简单的集类环上的测度μ出发,扩大其定义域得到外测度 ? μ .再根据卡氏 条件挑出 ? μ -可测集, ? μ -可测集的全体成为一个σ -代数,外测度限制在 ? μ -可测集上成为 测度. 这样就将环上的测度延拓到一个更大的集类σ -代数上.这种方法构是造测度常用的 方法.下一节将用这种方法构造重要的测度—Lebesgue测度. 习 题 习题二, 第9题—第14题.