24 § 1.4 n R中的点集 教学目的 欧氏空间 n R上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集, 闭集和Borel集,Cantor集等常见的集,为后面的学习打下基础. 本节要点 由 n R上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭 集的定义.由开集生成一个ο -代数引入Borel集.Cantor集是一个重要的集, 它 有一些很特别的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应 用.充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容. 本书在一般测度空间的框架下展开测度与积分的理论. 但 n R上的Lebesgue测度与 Lebesgue积分仍是最重要的情形. 这不仅是因为 n R上的Lebesgue积分具有广泛的应用, 而 且因为 n R上的情形能给我们直观的图形和丰富的实例. 本节将讨论n维欧式空间中的一些 常见的点集. 用 n R表示n维欧式空间, 即 n R = }.,,:),,({ 1 11 R∈= nn xxxxx nullnull 对任意∈= ),,( 1 n xxx null , n R 令 (). 2 1 22 1 n xxx null+= 称x为x的范数. 注意若∈x , 1 R 则x就是x的绝对值. 设),( 1 n xxx null=和 ),( 1 n yyy null=是 n R中的任意两点. 定义这两点之间的距离为.),( yxyxd ?= 即 .))((),( 2 1 1 2 ∑ = ?= n i ii yxyxd 设}{ k x是 n R中的一个点列, ∈x . n R 若,0),(lim = ∞→ xxd k k 则称}{ k x收敛于,x 记 为,lim xx k k = ∞→ 或).(, ∞→→ kxx k 邻域, 内点与开集 定义1 设∈ 0 x , n R . n A R? (1).设.0>ε称 n R的子集=),( 0 εxU }),(:{ 0 ε<xxdx为点 0 x的ε -邻域 (2). 若Ax ∈ 0 并且存在 0 x的一个邻域),( 0 εxU ,A? 则称 0 x为A的一个内点(图 25 4—1). (3). 若A中的每个点都是A的内点, 则称A为 n R中的开集. 规定空集?为开集. (4). 由A的内点全体所成的集称为A的内部, 记为. null A 图4—1 例如, 每个有界或无界开区间),(),,(),,( ∞+?∞ aaba都是直线 1 R上的开集. 若∈ 0 x n R , r>0, 则容易证明 0 x的邻域?r ),( 0 rxU是 n R中的开集. 因此),( 0 rxU又称为以 0 x为中 心, 以r为半径的开球. 定理2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质: ).i(空集?和全空间 n R是开集. ).ii(任意个开集的并集是开集. ).iii(有限个开集的交集是开集. 证明 )i(是显然的. 往证).ii( 设},{ TtA t ∈是X中的任意一族开集. 任取 ∪ Tt t Ax ∈ ∈ . 则存在, 0 Tt ∈ 使得. 0 t Ax∈ 因为 0 t A是开集, 故存在x的一个 邻域),,( 0 εxU 使得.),( 0 0 t AxU ?ε 于是更加有.),( 0 ∪ Tt t AxU ∈ ?ε 这表明x是 ∪ Tt t A ∈ 的内点. 这就证明了 ∪ Tt t A ∈ 中的每个点都是其内点. 因此 ∪ Tt t A ∈ 是开集. 现在 证明).iii( 设 n AA ,, 1 null是开集. 任取∈x . 1 ∩ n i i A = 则对每个.,,,1 i Axni ∈=有null 因为 i A 是开集, 故存在,0> i ε 使得.),( iii AxU ?ε令}.,min{ 1 n εεε null= 则0>ε并且 0 x 1 x ε A ε 26 .),( 1 ∩ n i i AxU = ?ε 因此x是 ∩ n i i A 1= 的内点. 这就证明了 ∩ n i i A 1= 是开集.■ 注意, 任意个开集的交集不一定是开集. 例如, 设.1), 1 , 1 ( ≥?= n nn A n 则每个 n A都 是 1 R中的开集. 但}0{ 1 = ∞ = ∩ n n A不是开集. 聚点与闭集 定义3 设A是 n R的子集. (1). 设∈ 0 x n R . 若对任意,0>ε ),( 0 εxU中包含有A中的无限多个点, 则称 0 x为A 的一个聚点(图4—1中的 1 x ). (2). 由A的聚点的的全体所成的集称为A的导集, 记为.A′ (3). 若,AA ?′ 则称A为闭集. (4). 集AA ′∪称为A的闭包, 记为.A 例如, 每个有界或无穷闭区间),[],,(],,[ ∞+?∞ aaba都是直线 1 R上的闭集. 若 ∈ 0 x n R , r>0, 则容易证明集 ),( 0 rxS = }),(:{ 0 rxxdx ≤ 是 n R中的闭集, 称之为以 0 x为中心, 以r为半径的闭球. 又显然有理数Q的导集Q′= 1 R , Q的闭包Q = 1 R . 定理4 设A? n R . 则A为闭集当且仅当 c A为开集. 证明 必要性. 设A为闭集. 则对任意, 0 c Ax ∈ 0 x不是A的聚点. 因此存在 0 x的一个 邻域),( 10 εxU , 使得),( 10 εxU中至多只包含A中有限个点. 设这些点为., 1 k xx null 因为 , 0 Ax ? 故.,,1, 0 kixx i null=≠ 令},,1),,(min{ 0 kixxd i null==ε 则.0>ε 由ε的取法 知道?=∩ AxU ),( 0 ε , 即),( 0 εxU c A? . 因此 0 x是 c A的内点. 所以 c A是开集. 充分性. 设 c A为开集. 则对任意, 0 c Ax ∈ 存在 0 x的一个邻域),,( 0 εxU 使得 c AxU ?),( 0 ε . 即),( 0 εxU中没有A中的点, 因此 0 x不是A的聚点. 这表明A的聚点全部 在A中, 即.AA ?′ 因此A为闭集.■ 由定理.2和定理4并利用De Morgan公式, 立即可以得到闭集的基本性质如下. 定理5 闭集具有如下性质: ).i(空集?和全空间 n R是闭集. 27 ).ii(任意个闭集的交集是闭集. ).iii(有限个闭集的并集是闭集. 下面的两个定理用序列的语言, 给出了A′和A中的点的特征以及集A为闭集的等价 条件. 定理6 设A? n R . 则有 ).i( Ax ′∈当且仅当存在A中的点列},{ k x 使得,xx k ≠ .xx k → ).ii( Ax∈当且仅当存在A中的点列},{ k x 使得.xx k → 证明 ).i(设.Ax ′∈ 则由聚点的定义, 对任意,1≥k )1,( 0 kxU中包含有A中的无限 多个点. 于是集AxkxU ∩? }){)1,((不空. 在其中任取一点记为, k x 则}{ k x是A中的 点列, 并且,xx k ≠ .xx k → 反过来, 设存在A中的点列},{ k x 使得,xx k ≠ .xx k → 则对任意,0>ε 存在 ,0>N 使得当Nk ≥时, ).,( εxUx k ∈ 若},{ Nkx k ≥中只有有限项彼此不相等, 则存 在一个自然数 0 k和}{ k x的一个子列},{ n k x 使得).1( 0 ≥= nxx kk n 但, 0 xx k ≠ 这与 xx k →矛盾! 因此},{ Nkx k ≥中必有无穷多项是彼此不同的点. 这表明),( εxU中包含有 A中的无限多个点. 因此.Ax ′∈ ).ii(设.Ax∈ 则Ax∈或者.Ax ′∈ 若,Ax∈ 令,1, ≥= kxx k 即知结论成立. 若 ,Ax ′∈ 则由)i(知道存在A中的点列},{ k x 使得.xx k → 反过来, 设存在A中的点列 },{ k x 使得.xx k → 若,xx k ≠ ,1≥k 则由)i(知道.Ax ′∈ 否则.Ax∈ 在两种情况下, 均有.Ax∈ ■ 定理7 设A? n R . 则A是闭集当且仅当A中的任意收敛点列的极限必属于.A 证明 必要性. 设A是闭集. 若}{ k x是A中的点列, ,xx k → 则由定理6知道.Ax∈ 由于A是闭集, 故.AA = 因此Ax∈ . 充分性. 设.Ax ′∈ 由定理6, 存在A中的点列},{ k x 使得.xx k → 由假定条件, 此 时必有Ax∈ . 这表明.AA ?′ 因此A是闭集.■ 定义8 设A和B是 n R的子集. 若,BA ? 则称A在B中稠密. 特别地, 若 =A , n R 则称A是 n R的稠密子集. 若,)( ?= null A 则称A为疏集或无处稠密集. 例如, 由于Q = 1 R , 因此有理数集是 1 R的稠密子集. 由于,?= null Z 因此整数集Z是 疏集. 28 定理9 设A是 n R的子集. 则以下几项等价: ).i( A是 n R的稠密子集. ).ii( 对任意∈x n R和,0>ε .),( ?≠∩ εxUA ).iii(对任意∈x , n R 存在A中的点列}{ k x使得.xx k → 定理9的证明留作习题. 设A? . n R 若存一个闭球),,0( rS 使得),,0( rSA ? 则称A是有界的. 设}{ k x是 n R中的一个点列. 若存一个闭球),,0( rS 使得,1),,0( ≥? krSx k 则称}{ k x是有界点列. 定理10 n R中的每个有界点列存在收敛子列. 证明 设}{ k x是 n R中的有界点列. 设.1},,,{ )()( 1 ≥= kxxx k n k k null 则}{ )( 1 k x是有界数 列. 由数学分析中熟知的Weierstrass致密性定理, 存在}{ )( 1 k x的一个子列}{ )( 1 1i k x使得 . 1 )( 1 1 xx i k → 同理, 存在}{ 1i k的一个子列}{ 2 i k使得. 2 )( 2 2 xx i k → 这样一直下去, 最后, 存在}{ ,1 in k ? 的子列}{ in k使得. )( n k n xx in → 记. ini kk =则对每个,,,1 nj null= 有 j k j xx i → )( ).( ∞→ i k 令).,( 1 n xxx null= 我们有 ,0))((),( 2 1 1 2)( →?= ∑ = n j j k jk xxxxd i i ).( ∞→ i k 因此若,xx i k → ).( ∞→ i k ■ 思考题 1.开区间)1,0(在 2 R中是不是开集? 2.若将 n R两个点),( 1 n xxx null=和),( 1 n yyy null=距离的定义改为 ).,,max(),( 11 nn yxyxyxd ??= null 按照本节类似的方法定义邻域, 内点, 聚点, 开集和闭集等.所得结果与本节原来的定义有 和异同? 有界闭集上的连续函数 在数学分析课程中, 我们已经熟悉直线上的区间上或 n R中的 区域上的连续函数. 类似可以定义在 n R的任意子集E上的连续函数. 定义11 设?E n R , )(xf是定义在E上的实值函数. 又设Ex ∈ 0 . 若对任意0>ε , 存在相应的0>δ , 使得当Ex∈并且δ<),( 0 xxd时, 有,)()( 0 ε<? xfxf 则称)(xf 在 0 x连续. 若f在E上的每一点都连续, 则称f在E上连续. E上的连续函数的全体记为 ).(EC 容易证明, f在E上连续的充要条件是, 对E中的任意点列},{ n x 若xx n →并且 29 ,Ex∈ 则 ).()(lim xfxf n n = ∞→ 利用定理10, 仿照数学分析课程中关于闭区间上连续函数性质的证明, 可以证明如下 事实: 设K是 n R中的有界闭集, )(xf是K上的连续函数. 则 ).i()(xf在K上是有界的. ).ii()(xf在K上取得最大值和最小值. ).iii()(xf在K上是一致连续的. 即对任意,0>ε 存在,0>δ 使得对任意 ,, Kxx ∈′′′ 当δ<′′′ ),( xxd时, 成立.)()( ε<′′?′ xfxf 此外容易证明, 若)}({ xf n 是 n R的子集E上的一列连续函数, 并且}{ n f在E一致收 敛于),(xf 则)(xf是E上的连续函数. 直线上开集的构造 下面我们考虑直线上开集的构造. 设A为直线上的开集, ),( ba为 一个有界或无界开区间. 若Aba ?),( , 并且区间的端点a, b不属于A, 则称),( ba为A的一 个构成区间. 如图4—2, ),( ba和),( dc都是A的构成区间, 但),( 11 dc不是. 图4—2 定理12 (开集的构造定理)直线上的每个非空开集都可以表示成至多可数个互不相交的 构成区间的并.. 证明 分几个步骤. ).i( 设A为 1 R中的开集. 先证对任意,Ax∈ 存在A的一个构成区 间),( ba , 使得),( bax∈ . 由于A是开集, 故存在开区间),( βα使得Ax ?∈ ),( βα . 令 .}.),(:sup{ },),(:inf{ Axb Axa ?∈= ?∈= βαβ βαα 则).,( bax∈ 往证),( ba是A的构成区间. 设),,( bax ∈′ 不妨设.xxa <′< 由a的定义, 存在),,( βα 使得,xa ′<<α 并且Ax ?∈ ),( βα . 因此Axx ??∈′ ),(),( βαα . 所以 Aba ?),( . 再证Aba ?, . 事实上, 若Aa∈ , 则存在0>ε , 使得Aaa ?+? ),( εε . 这 与a的定义矛盾. 所以Aa? . 类似可证Ab? . b c d 1 d 1 c ),(),( dcbaA ∪= a 30 ).ii( 设),( 11 ba和),( 22 ba是A的两个不同的构成区间. 若),( 11 ba和),( 22 ba相交, 则必有一个区间的端点包含在另一个区间中. 例如).,( 112 baa ∈ 但, 2 Aa ? 这与 Aba ?),( 11 矛盾. 所以),( 11 ba和),( 22 ba不相交. 这表明不同的构成区间互不相交. 在A 的每个构成区间中选取一个有理数, 则A的构成区间的全体与有理数的一个子集一一对应. 所以A的构成区间只有有限个或可数个. 于是A的构成区间的全体可以编号为 ),,( ii ba ni ,,1null=或.,2,1 null=i ).iii( 我们有 ∪ i ii baA ).,(= 事实上,由于每个,),( Aba ii ? 因此 ∪ i ii Aba .),( ? 另一方面, 由),i( 对每个Ax∈ , 存在一个构成区间),,( ii ba 使得∈x ).,( ii ba 因此 ∈x ∪ i ii ba ),,( 所以 ∪ i ii baA ).,(? 这就证明 ∪ i ii baA ).,(= ■ Borel集 开集和闭集是 n R中的常见的集. 但 n R中有一些常见的集, 它们既不是开集, 也不是闭集. 例如, 可数个开集的交不一定是开集, 可数个闭集的并不一定是闭集. 下面我 们要考虑的Borel集就包含了这类集, 并且Borel集类对一切有限或可数并、交、余和差运 算都封闭. 定义13 由 n R中开集的全体所生成的代数?σ称为 n R中的Borel σ -代数(或Borel 集类), 记为.)( n RB )( n RB中的集称为Borel集. 设),,( 1 n aaa null= ∈ n R , ),,( 1 n bbb null= ∈ n R , .,,1, niba ii null=< 称 n R的子集 },,1,:),{(),(),( 111 nibxaxxbaba iiinnn nullnullnull =<<=×× 为 n R中的开方体, 记为).,( ba 类似可定义 n R中的其它类型的方体. 在直线 1 R和平面 2 R 中方体分别就是区间和矩形. 定理14 n R中所有的开集, 闭集, 有限集或可数集, 各种类型的方体都是Borel集. 证明 由定义即知开集是Borel集. 由于Borel集类对余运算封闭, 而闭集是开集的余集, 故闭集是Borel集. 因为单点集}{a是闭集, 所以单点集是Borel集. 由于有限集或可数集可 以表示成单点集的有限并或可数并, 而Borel集类对有限并或可数并封闭, 所以有限集或可 数集是Borel集. 由于开方体是开集, 闭方体是闭集, 因此开方体和闭方体是Borel集. 往证 半开半闭方体是Borel集. 为简单计, 不妨只考虑直线上的情形. 由于等式 ∩ ∞ = += 1 ) 1 ,(],( n n baba和Borel集类对可数交运算的封闭性, 即知半开半闭区间],( ba是 Borel集. 类似可证明其它类型的半开半闭区间都是Borel集. ■ 31 特别地, 由于有理数集是可数集, 而无理数集是有理数集的余集, 由定理14知道, 有 理数集和无理数集都是Borel集. 设?A n R . 若A可表示为一列开集的交, 则称A为 δ G型集. 若A可以表示为一列闭 集的并, 则称A为 σ F型集. 显然型集 δ G和型集 σ F都是Borel集. Cantor集 下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集—Cantor(三分)集. 例1 (Cantor集)记].1,0[ 0 =C 将 0 C三等分, 去掉中间的一个开区间). 3 2 , 3 1 ( 将剩下的 部分记为, 1 C 即].1, 3 2 [] 3 1 ,0[ 1 ∪=C 它是两个互不相交的闭区间的并. 将 1 C的每个闭区 间都三等分. 再去掉每个闭区间中间的开区间) 9 2 , 9 1 (和). 9 8 , 9 7 ( 将剩下的部分记为, 2 C 即 ].1, 9 8 [] 9 7 , 9 6 [] 9 3 , 9 2 [] 9 1 ,0[ 2 ∪∪∪=C 图4—3 它是 2 2个两个互不相交的闭区间的并. 这样一直做下去, 得到一列集}.{ n C 其中 n C是 n 2 个互不相交的闭区间的并, 每个闭区间的长为. 3 1 n 最后令, 1 ∩ ∞ = = n n CK 称之为Cantor三分 集, 简称为Cantor集(图4—3). Cantor集具有如下的性质: (1). Cantor集是闭的疏朗集. 由于每个 n C都是闭集, 而K为一列闭集的交, 故K是闭 集. 由于K是闭集, 为证K是疏朗集, 只需证明.?= null K 设Kx∈ . 对任意,0>ε 取 0 n 足够大, 使得. 3 1 0 ε< n 由于 0 n C是 0 2 n 个互不相交的长度为 0 3 1 n 的闭区间的并, 故x的?ε 邻域),( εε +? xx内必含有不属于 0 n C的点. 于是),( εε +? xx更加含有不属于K的点. 0 1 3 1 3 2 9 1 9 2 9 7 9 8 32 因此x不是K的内点. 这表明.?= null K 所以K是疏朗集. (2). 在构造Cantor集时从]1,0[中去掉的那些开区间的长度之和为1. 事实上, 在第n 次步骤得到 n C时, 去掉了 1 2 ?n 个长度为 n 3 1 的开区间. 因此去掉的那些开区间的长度之和 .1 3 2 3 1 3 2 1 1 1 1 = ? ? ? ? ? ? = ∑∑ ∞ = ? ∞ = ? n n n n n (3). Cantor 集具有连续基数.c 由引理16和K的定义知道, 对任意,Kx∈ x可以唯 一的写成 , 333 2 2 1 1 nullnull ++++= n n aaa x 其中0= i a或2 , ,,2,1 null=i 并且有无限个.2= i a 令 },0,10:),,{( 21 ≠== ii aaaaA并且有无限个或null 由§1.2定理.11后面的注1, A具有连续基数.c 再作映射 . 3 2 )()( ,: 1 ∑ ∞ = == → n n n n x xxx KA ? ? null 则?是A到Cantor集K的一一的到上的映射. 由于A具有连续基数,c 故K具有连续基数 .c 小 结 本节由 n R上自然的距离结构, 导出了邻域, 内点, 聚点的定义, 从而给出开集, 闭集的定义. 由开集生成一个ο -代数即Borel ο -代数, 进而引入了Borel集. 本节讨论了这 些集的性质和相互关系,给出了直线开集的构造定理. Cantor集是一个重要的集.它具有一些 特别的性质, 在举反例时常常是有用的. 学习本节的内容应充分利用几何图形的直观, 以帮 助理解本节的内容. 习 题 习题一, 第29题—第43题.