1 第一章 集与集类 n R中的点集 集与集的运算是测度与积分理论的基础. 本章先介绍集论的一些基本内容, 包括 集与集的运算, 可数集和基数, 一些具有某些运算封闭性的集类如环与?σ代数等. 然后介 绍 n R中的一些常见的点集. § 1.1 集与集的运算 教学目的 集合论是本课程的基础. 本节将引入集的概念与集的运 算, 使学生掌握集和集的运算的基本概念. 本节要点 De Morgan公式是以后常用的公式. 证明两个集的相等是 经常要遇到论证, 应通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种 新型的极限, 学生应注意理解其概念. 集是数学的基本概念之一. 它不能用其它更基本的数学概念严格定义之, 只能给予一 种描述性的说明. 集的定义 以某种方式给定的一些事物的全体称为一个集(或集合). 例如, 数学分析中的实数集, 有理数集, 函数的定义域和值域, 满足某些给定条件的数 列或函数的全体所成的集等都是常用的集. 几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平面或 空间的点所构成的集. 一般用大写字母如A, B, C等表示集, 用小写字母如a, b ,c等表示集的元素. 若a是集 A的元素, 则用记号Aa∈表示(读作a属于A). 若a不是集A的元素, 则用记号Aa?表示 (读作a不属于A). 不含任何元素的集称为空集, 用符号?表示. 约定分别用 1 R , Q , N和Z表示实数 集, 有理数集, 自然数集和整数集. 集的表示方法 第一种方法: 列举法, 即列出给定集的全部元素. 例如 }.,12,,5,3,1{ }.,,{ nullnull ?= = nB cbaA 第二种方法: 描述法. 当集A是由具有某种性质P的元素的全体所构成时, 用下面的方 式表示集A: 2 }.:{ PxxA具有性质= 例如, 设f是定义在 1 R上的实值函数, 则f的零点所成的集A可表示成 }.0)(:{ == xfxA 集的相等与包含 设A和B是两个集. 如果A和B具有完全相同的元素, 则称A与B 相等, 记为A=B. 如果A的元素都是B的元素, 则称A是B的子集, 记为BA ? (读作A包 含与B), 或AB ? (读作B包含A). 若BA ?并且,BA ≠则称A为B的真子集. 按照这个 定义, 空集?是任何集的子集. 由定义知道当且仅当BA = BA ?并且.AB ? 集的运算 并运算与交运算 设A和B是两个集. 由A和B的所有元素所构成的集称为A与B的 并集, 简称为并(图1—1), 记为.BA∪ 即 }.:{ BxAxxBA ∈∈=∪或者 由同时属于A和B的元素所构成的集称为A与B的交集, 简称为交(图1—2), 记为.BA∩ 即 }.:{ BxAxxBA ∈∈=∩并且 若,?=∩ BA 则称A与B不相交.此时称BA∪为A与B的不相交并 图1—1 图1—2 设T是一非空集(T 可以是有限集或无限集), Ttt A ∈ }{是一族集. 这一族集的并集和交 集分别定义为 ∪ Tt tt AxTtxA ∈ ∈∈= },,:{使得存在某个 ∩ Tt tt AxTtxA ∈ ∈∈= }.,:{个对每 当T=N为自然数集时, ∪ N∈n n A和 ∩ N∈n n A分别记成 ∪ ∞ =1n n A和, 1 ∩ ∞ =n n A 分别称为}{ n A的可数并 BA∪ B B BA∩ AA 3 和可数交. 并与交的运算性质 (1) ., AAAAAA =∩=∪ (幂等性) (2) ., ?=?∩=?∪ AAA (3) ., ABBAABBA ∩=∩∪=∪ (交换律) (4) ),()( CBACBA ∪∪=∪∪ ).()( CBACBA ∩∩=∩∩ (结合律) (5) ),.()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩ ).()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ (分配率). 分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形: ( ) ∪∪ TtTt tt BABA ∈∈ ∩=∩ ,)( ∩∩ ∪∪ TtTt tt BABA ∈∈ = ).()( 差运算与余运算 设A和B是两个集. 由A中的不属于B的那些元素所构成的集称为A 与B的差集(图1—3), 记为BA?或\AB. 即 }.:{ BxAxxBA ?∈=?并且 通常我们所讨论的集都是某一固定集X的子集, X称为全空间. 我们称全空间X与 子集A的差集AX ?为A的余集(图1—4), 记为 C A . 设A和B是两个集. 称集 )()( ABBA ?∪?为A与B的对称差集, 记为.BA? 图1—3 图1—4 容易知道关于差运算和余运算成立以下性质: .)8( .,)7( .,)6( C CC CC BABA XX AAXAA ∩=? =??= ?=∩=∪ A B BA? A C A X 4 关于余运算还成立下面重要的运算法则. 定理1 (De Morgan公式)设 Ttt A ∈ )(是一族集. 则 ∩∪ Tt C t C Tt t AA ∈∈ =)().i( (并的余集等于余集的交), )ii( ∪∩ Tt C t C Tt t AA ∈∈ =)( (交的余集等于余集的并). 证明 ).i(设,)( C Tt t Ax ∪ ∈ ∈ 则. ∪ Tt t Ax ∈ ? 故对任意,Tt ∈ . t Ax? 即对任意,Tt ∈ . c t Ax∈ 因此. ∩ Tt c t Ax ∈ ∈这表明.)( ∩∪ Tt c t C Tt t AA ∈∈ ?上述推理可以反过来, 即从 ∩ Tt c t Ax ∈ ∈ 可以推出.)( C Tt t Ax ∪ ∈ ∈ 这表明.)( C Tt t Tt c t AA ∪∩ ∈∈ ? 因此)i(成立. 类似地可以证明).ii( ■ 定理1的证明过程是证明两个集相等的典型方法. 例1 设}{ n f是定义在集X上的一列实值函数. 令.}.0)(lim:{ == ∞→ xfxA n n .} 1 )(:{ 11 ∩∪∩ ∞ = ∞ = ∞ = <= km mn n k xfxA (1) 证明 由于0)(lim = ∞→ xf n n 当且仅当对任意,1≥k 存在,1≥m 使得对任意mn ≥成立 . 1 )( k xf n < 因此我们有 .} 1 )(:{ } 1 )(:{,1 } 1 )(:{,1,1 } 1 )(:{,,1,1 11 1 ∩∪∩ ∪∩ ∩ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = <∈? <∈≥?? <∈≥?≥?? <∈≥?≥?≥??∈ km mn n mmn n mn n n k xfxx k xfxxk k xfxxmk k xfxxmnmkAx 使得 使得 因此(1)成立.■ 在例1中, 集A的表达式(1)看起来较复杂, 但它是通过比较简单的集} 1 )(:{ k xfx n < 的运算得到的, 以后会看到集的这种表示方法是很有用的. 乘积集 设 n AA ,, 1 null为n个集. 称集 },,1,:),,{( 1 niAxxx iin nullnull =∈ 为 n AA ,, 1 null的乘积集(简称为乘积), 记为 n AA ××null 1 或者 ∏ = n i i A 1 . 例如, 二维欧氏空间 2 R可以看作是 1 R与 1 R的乘积, 即 112 RRR ×= (见图1—5). 5 图1—5 又例如, ],[],[ dcbaE ×=就是平面上的长方形. 集列的极限 设}{ n A是一列集. 称集 xx :{属于无穷多个}1, ≥nA n 为集列}{ n A的上极限, 记为.lim n n A ∞→ 称集 xx :{至多不属于有限多个}1, ≥nA n 为集列}{ n A的下极限,记为.lim n n A ∞→ 显然? ∞→ n n Alim .lim n n A ∞→ 若= ∞→ n n Alim ,lim n n A ∞→ 则称集列 }{ n A存在极限, 并称=A = ∞→ n n Alim n n A ∞→ lim为集列}{ n A的极限, 记为.lim n n A ∞→ 定理2 设}{ n A是一列集. 则 ∪∩∩∪ ∞ = ∞ = ∞→ ∞ = ∞ = ∞→ == 11 .lim,lim nnk kn n nnk kn n AAAA 证明 我们有 .},1:{ },,1:{ }1,:{lim 1 ∩∪∪ ∞ = ∞ = ∞ = ∞→ =∈≥= ∈≥≥= ≥= nnk k nk k k nn n AAxnx Axnknx nAxxA 对任意 使得存在对任意 属于无穷多个 类似地可证明第二式.■ 设}{ n A是一列集. 若对每个,1≥n 均有 1+ ? nn AA (相应地 nn AA ? +1 ), 则称}{ n A是 单调增加的, 记为 ↑n A (相应地, 单调减少的, 记为 ↓ n A ). 单调增加和单调减少的集列统称 为单调集列. 定理3 单调集列必存在极限. 并且 O 1 R 1 x 2 x ),( 21 xx 1 R 2 R 6 .lim,).ii( .lim,).i( 1 1 ∩ ∪ ∞ = ∞→ ∞ = ∞→ = ↓ = ↑ n nn n n n nn n n AAA AAA 则若 则若 证明 ).i( 因为 ↑n A , 故对任意,1≥n 有, n nk k AA = ∞ = ∩ . 1 ∪∪ ∞ = ∞ = = k k nk k AA 因此由定理2 得到 .lim 11 ∪∪∩ ∞ = ∞ = ∞ = ∞→ == n n nnk kn n AAA .lim 1111 ∪∩∪∩∪ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞→ === k k nk k nnk kn n AAAA 所以.limlim 1 ∪ ∞ = ∞→ ∞→ == n nn n n n AAA这表明 n n A ∞→ lim存在, 并且.lim 1 ∪ ∞ = ∞→ = n nn n AA类似可证明结论 ).ii( ■ 例2 设]. 1 1,0(], 1 1,0( n B n A nn +=?= 则,, ↓↑ nn BA并且 ),1,0(lim 1 == ∞ = ∞→ ∪ n nn n AA ].1,0(lim 1 == ∞ = ∞→ ∩ n nn n BB 集的特征函数 设A是X的子集. 令 ? ? ? ? ∈ = .0 1 )( Ax Ax xI A 若 若 则)(xI A 为定义在X上的函数, 称之为A的特征函数. 小 结 本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础. 证 明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan公式很重要, 以后会经常 用到. 例1中把一个集分解为一些较简单的集的运算, 是应该掌握的有用的技巧. 集列的极 限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念. 习 题 习题一, 第1题—第9题 .