82 §3.3 n R上的可测函数与连续函数 教学目的 本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系. 本节将 证明重要的Lusin定理, 它表明Lebesgue可测函数可以用性质较好连续函数 逼近. 这个结果在有些情况下是很有用的. 本节要点 一方面, L可测集上的连续函数是可测的, 另一方面, Lusin定 理表明, Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形 式. 另外, 作为准备定理的Tietze扩张定理本身也是一个很有用的结果. 在§1.4我们已经给出了在 n R的任意子集上E连续函数的定义. 这里先看两个例子. 例1 考虑 1 R上的Dirichlet函数 ? ? ? = .0 1 )( 为无理数若 为有理数若 x x xD 显然)(xD在 1 R上处处不连续. 若用Q表示有理数的全体,则将)(xD限制在Q上所得到的 函数 Q D在Q上恒等于1. 故 Q D是Q上的连续函数.(注意D与 Q D是两个不同的函数). 这个例子表明若缩小了函数的定义域,不连续函数可能变成连续函数. 例2 设 k FF ,, 1 null是 n R上的k个互不相交的闭集, ∪ k i i FF 1= = . 则简单函数 ∑ = = k i Fi xIaxf i 1 )()(是F上的连续函数. 证明 设, 0 Fx ∈ 则存在 0 i使得. 0 0 i Fx ∈ 由于 k FF ,, 1 null互不相交, 故 ∪ 0 ii i Fx ≠ ? . 由于 ∪ 0 ii i F ≠ 是闭集, 因此 .0),( 0 0 >= ≠ ∪ ii i Fxdδ 对任意,0>ε 当Fx∈并且δ<),( 0 xxd时, 必有. 0 i Fx∈ 于是 0)()( 0 =? xfxf .ε< 因此)(xf在 0 x连续. 所以)(xf在F上连续(图3—1). ■ 83 图3—1 定理1 设E是 n R中的Lebesgue可测集. f是E上的连续函数连续. 则f是E上 Lebesgue可测函数. 证明 设∈a , 1 R 记}.)(:{}{ axfExafE <∈=<我们证明, 存在 n R中的开集G , 使得 .}{ GEafE ∩=< (1) 事实上, 对任意},{ afEx <∈ 由于axf <)(并且f在x连续, 故存在x的邻域 ),( x xU δ ,使得当),( x xUy δ∈并且Ey∈时, 成立.)( ayf < 即 }.{),( afExUE x <?∩ δ (2) 令,),( }{ ∪ afEx x xUG <∈ = δ 则G是开集. (2)式表明}.{ afEGE <?∩另一方面, 包含关系 GEafE ∩?< }{是显然的. 因此(1)式成立. (1)式表明对任意∈a , 1 R }{ afE <是 Lebesgue可测集. 因此f是E上Lebesgue可测函数. ■ 定理2 (Lusin鲁津)设E是 n R上的Lebesgue可测集, f是E上a.e.有限的Lebesgue可 测函数. 则对任意,0>δ 存在E的闭子集, δ E 使得f是 δ E上的连续函数(即 δ E f在 δ E 上连续), 并且.)( δ δ <?EEm 证明 分两步证明. (1) 先设f是简单函数, 即 , 1 ∑ = = k i Ei i Iaf 其中 k EE ,, 1 null是互不相 交的L可测集, . 1 ∪ k i i EE = = 由§2.3定理6, 对任意给定的,0>δ 对每个,,,1 ki null= 存在 X Y 1 F 0 x nullnullnull nullnullnullnullnullnullnull δ+ 0 xδ? 0 x 2 F 3 F nullnullnull 1 a 2 a 3 a 84 i E的闭子集, i F 使得 .,,1,)( ki k FEm ii null=<? δ 令, 1 ∪ k i i FE = = δ 则 δ E是E的闭子集, 并且 .)())(()( 11 δ δ <?≤?=? ∑ == k i ii k i ii FEmFEmEEm ∪ 由于 ∑ = = k i Fi E i Iaf 1 , δ 由例2知f是 δ E上的连续函数. (2) 一般情形. 设f是E上的L可测函数.不妨设f是处处有限的.若令 ). 1 (, 1 g g f f f g ? = + = 则g是有界可测函数, 并且f连续当且仅当g连续. 故不妨设f有界. 由§3.1推论10, 存在 简单函数列}{ k f在E上一致收敛于f . 对任给的,0>δ 由已证的情形(1), 对每个 k f存在 E的闭子集 k F , 使得 k f在 k F上连续,并且. 2 )( k k FEm δ <? 令, 1 ∩ ∞ = = k k FE δ 则 δ E是E的 闭子集,并且 .)())(()( 11 δ δ <?≤?=? ∑ ∞ = ∞ = k k k k FEmFEmEEm ∪ 由于每个 k f都在 δ E上连续并且}{ k f在 δ E上一致收敛于f , 因此f在 δ E上连续. ■ 例3 仍考虑例1中的Dirichlet函数).(xD 设},,{ 21 nullrrQ =是有理数集. 对任意 ,0>δ 令 .) 2 , 2 ( 1 11 1 ∪ ∞ = ++ ???= i i i i i rrRE δδ δ 则 δ E是闭集, 并且 . 2 ) 2 , 2 ( ) 2 , 2 ()( 1 11 1 1 11 1 δ δδδ δδ δ ==??≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ??=? ∑∑ ∞ = ++ ∞ = ∞ = ++ i ii i i i i i i i i i rrm rrmERm ∪ 由于 δ E中不含有理数, 因此)(xD在 δ E恒为零. 所以)(xD在 δ E上连续. 85 下面我们将给出鲁津定理另一种形式. 为此, 先作一些准备. 引理3 若?BA, n R是两个闭集并且,?=∩BA ∈ba, , 1 R .ba <则存在 n R上的 一个连续函数f , 使得,af A = bf B =并且∈≤≤ xbxfa ,)( n R . 证明 容易证明, 若A是闭集, 则),( Axd作为x的函数在 n R上连续, 并且 0),( =Axd当且仅当Ax∈ (见第一章习题第34题). 因此, 若令 . ),(),( ),(),( )( AxdBxd AxbdBxad xf + + = 容易验证f满足所要求的性质.■ 定理4 (Tietze扩张定理)设F是 n R中的闭子集, f是定义在F上的连续函数. 则存在 n R上的连续函数,g 使得,fg F = 并且.)(sup)(sup xfxg FxRx n ∈∈ = 证明 先设.sup +∞<= ∈ Mf Fx 令 }, 3 { M fMA ?≤≤?= }. 3 { Mf M B ≤≤= 则BA,是两个闭集并且.?=∩BA 由引理3, 存在 n R上的连续函数, 1 g 使得 , 3 1 M g A ?= . 3 1 M g B = 并且 ∈≤ x M xg , 3 )( 1 . n R ., 3 2 )()( 1 FxMxgxf ∈≤? 对函数 1 gf ?应用引理3, 注意此时gf ?的上界是. 3 2 M 因此存在 n R上的一个连续函 数 2 g , 使得 ∈?≤ xMxg , 3 2 3 1 )( 2 . n R ., 3 2 3 2 3 2 )()( 2 21 FxMMgxgxf ∈ ? ? ? ? ? ? =?≤?? 这样一直作下去, 得到 n R上的一列连续函数},{ k g 使得 ∈ ? ? ? ? ? ? ?≤ ? xMxg k k , 3 2 3 1 )( 1 , n R ,,2,1 null=k (4) ,, 3 2 )()( 1 FxMxgxf k k i i ∈ ? ? ? ? ? ? ≤? ∑ = null,2,1=k . (5) 86 由(4)知道级数 ∑ ∞ =1 )( k k xg在 n R上一致收敛. 记其和为),(xg 则)(xg是 n R上的连续函数. 而(5)表明在F上).()( xfxg = 并且 , 3 2 3 )()( 1 1 1 M M xgxg k k k k = ? ? ? ? ? ? ≤≤ ∑∑ ∞ = ? ∞ = ∈x . n R 因此当f有界时, 定理的结论成立. 若)(xf无界, 令),(tg)( 1 xfx ? =? 则≤)(x? . 2 π 由上面所证, 存在 n R上的连续函 数,ψ 使得.?ψ = F 令)(tg)( xxg ψ= . 则g是 n R上的连续函数并且.fg F = ■ 定理5 (Lusin鲁津) 设E是 n R上的Lebesgue可测集, f是E上a.e.有限的Lebesgue 可测函数. 则对任意,0>δ 存在 n R上的连续函数g ,使得 .)})()(:({ δ<≠∈ xgxfExm 并且.)(sup)(sup xfxg ExRx n ∈∈ ≤ 证明 由定理2, 对任意,0>δ 存在E的闭子集F , 使得f在F上连续并且 .)( δ<?FEm 由定理4, 存在 n R上的连续函数,g使得当Fx∈时, ).()( xfxg =并且 .)(sup)(sup)(sup xfxfxg ExFxRx n ∈∈∈ ≤= 由于.)}()(:{ FExgxfEx ??≠∈ 因此 .)()})()(:({ δ<?≤≠∈ FEmxgxfExm ■ 思考题: 在直线上的情形, 用直线上开集的构造定理给出定理5的另一证明. 小 结 本节考察了欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节的主要结果是Lusin 定理(有两个等价形式). Lusin定理表明, Lebesgue可测函数可以用连续函数在某种意义下逼 近. 由于连续函数的具有较好的性质, 比较容易处理, 因此这个结果在有些情况下是很有用 的. 本节还证明了Tietze扩张定理, 它也是一个很有用的结果. 习 题 习题三, 第29题—第31题.