53 §2.3 n R上的Lebesgue测度 教学目的 本节利用§2.2中一般测度的构造方法, 构造一个重要的测度, 即欧氏空间 n R上的Lebesgue测度. Lebesgue测度的建立, 为定义Lebesgue积 分打下基础. 本节要点 利用§2.2一般测度的构造方法,可以较快的构造出Lebesgue测 度. Lebesgue测度不仅具有抽象测度具有的基本性质, 而且还具有一些特有的 性质,如利用开集或闭集的逼近性质等. Lebesgue可测集包含了常见的一些集, 但仍存在不可测集. Lebesgue-Stieljes测度是Lebesgue度的推广. 应利用较多 的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对Lebesgue测度的理解. 在§2.1和§2.2中讨论了一般测度的性质和构造方法. 本节将讨论一个十分重要的情形, 就是n维欧式空间 n R上的Lebesgue测度和Lebesgue-Stieltjes测度. 我们将重点讨论 Lebesgue测度, 然后介绍直线上的Lebesgue- Stieltjes测度. 方体的体积 我们将要定义的Lebesgue测度是熟知的长度, 面积和体积概念的推广, 因 此我们先对 n R上的方体的体积作一些规定. 设I是直线上的一个有界区间(开的, 闭的或半 开半闭的). 用I表示区间I的长度, 即I的右端点与左端点之差. 若I是无界区间, 则规 定.+∞=I 又规定空集也是区间并且.0=? 设 n II ,, 1 null是直线上的n个区间. 称 n R的 子集 n III ××= null 1 为 n R中的一个方体. 在直线 1 R和平面 2 R中, 方体分别就是区间和矩 形. 若 n II ,, 1 null都是开区间, 则称I为 n R中的开方体. 类似可定义 n R中的闭方体和半开 半闭方体. 设 n III ××= null 1 为 n R中的一个方体, 称 n III ??= null 1 为I的体积. 环R上的测度 设C是 n R中有界的左开右闭方体的全体所成的集类. 不难证明C是 一个半环(在 1 R的情形是显然的. 一般情形留作习题). 对每个∈I C , 令 .)( IIm = 则显然集函数m在C上是有限可加的并且0)( =?m . 又设R是由C生成的环, 即 }.1,,,:{ 1 1 ≥== = kIIIA k k i i 并且互不相交属于其中CR null ∪ (见§1.3定理4).对每个∈A R , 若A的一个分解式为, 1 ∪ ∞ = = i i IA则令 54 .)()( 1 ∑ = = k i i ImAm (1) 由§2.2引理7, )(Am的值不依赖于A的分解式的选取, 因此m在R上的值是确定的. 引理1 由(1)式定义的R上的集函数m具有如下性质: )i( m是有限可加的. )ii( m是单调的. )iii( m是次有限可加的, 即若∈ k AA ,, 1 null ,R 则 .)()( 11 ∑ == ≤ k i i k i i AmAm ∪ 证明 设 k AA ,, 1 null是R中的k个互不相交的集. 令. 1 ∪ k i i AA = = 设 i A的一分解式为 .,,1, 1 kiIA i m j iji null ∪ == = 则 ∪∪ k i m j ij i IA 11== =是A的一个分解式. 因此有 .)()()( 111 ∑∑∑ === == k i i k i m j ij AmImAm i 故)i(得证. 利用m的有限可加性, 类似于§2.1测度的单调性和次可数可加性的证明, 可以 证明)ii(和)iii(成立.■ 定理2 由(1)式定义的集函数m是R上的测度. 证明 由§2.2定理8, 只需证明m在C上是可数可加的. 设}{ i I是C中的一列互不相交 的集并且∈= ∞ = ∪ 1i i II C .由引理2.3.1, 对任意1≥k成立 ).()()( 11 ImImIm k i i k i i ≤= == ∑ ∪ 令,∞→k 即得).()( 1 ImIm i i ≤ ∑ ∞ = 下面证明反向不等式. 任意给定一个0>ε . 容易知道, 存在闭方体IJ ?和开方体 )1( ≥? iIJ ii 使得 ,)()( ε≤? JmIm .1, 2 )()( ≥≤? iImJm i ii ε (2) 55 (以一维情形为例, 若],,( baI = ],,( iii baI =则取],[ baJ ε+= , ) 2 ,( i iii baJ ε += ). 于是 . 11 ∪∪ ∞ = ∞ = ?=? i i i i JIIJ 由有限覆盖定理, 可以从开方体列中}{ i J选出有限个也覆盖.J 不妨设这有限个方体为 .,, 1 k JJ null 设J′和)1( kiJ i ≤≤′分别是与J和 i J′有相同端点的左开右闭方体 (例如, 若 ],,[ baJ ε+= ) 2 ,( i iii baJ ε += , 则取],( baJ ε+=′ , ] 2 ,( i iii baJ ε +=′ ).由于 . 1 ∪ k i i JJ = ?于是更加有. 1 ∪ k i i JJ = ′?′ 由引理1我们有 .)()()()()( 111 ∑∑ === =′≤′≤′= k i i k i i k i i JmJmJmJmJm ∪ 因此由(2)得到 .)()()()( 11 εε +≤≤≤? ∑∑ ∞ == i i k i i ImJmJmIm 由于0>ε是任意的, 由上式得到.)()( 1 ∑ ∞ = ≤ i i ImIm综合前面的不等式得到 .)()( 1 ∑ ∞ = = i i ImIm 这就证明了集函数m在C上是可数可加的. 由§2.2定理8, 集函数m是R上的测.■ Lebesgue可测集与Lebesgue测度 Lebesgue测度的有关定义: Lebesgue外测度 ? m : 由R上的测度m导出的外测度. Lebesgue可测集: ? m -可测集. Lebesgue可测集类: )( n RM (σ -代数). Lebesgue测度m : ? m在)( n RM上的限制. Lebesgue测度空间: )),(,( m nn RR M (完备的, σ -有限的). Lebesgue测度和Lebesgue可测集分别简称为L测度和L可测集. 上面我们定义了L可测集和L测度. 那么L可测集类究竟有多大? L测度是否就是我们 熟知的长度、面积和体积的推广? 下面的两个定理回答了这个问题. 定理3 每个Borel可测集都是Lebesgue可测集, 即)( n RB ? )( n RM . 56 证明 设R是上面所定义的环. 容易证明=)(Rσ ).( n RB 由§2.2定理.5知道 )(Rσ ? )( n RM . 因此)( n RB ? )( n RM , 即每个Borel可测集都是Lebesgue可测集. 定 理证毕. 定理.3表明Lebesgue可测集类包含了足够多的集. 特别是一些常见的集都是L可测集. 尽管如此, n R中仍然存在子集不是L可测的. 这样的集称为Lebesgue不可测集. 在本节的 最后我们将给出一个Lebesgue不可测集的例子. 在§3.1例6中我们将证明, 在 n R中存在 子集是Lebesgue可测集但不是Borel集, 即)( n RM严格包含)( n RB . 由定理3知道, n R中的有限集, 可数集和各种方体都是L可测集. 现在来计算它们的 L测度. 定理4 n R中有限集和可数集的Lebesgue测度为零, 方体的Lebesgue测度等于该方体 的体积. 证明 首先注意到, 若I是 n R中的一个有界的左开右闭方体, 则由L测度的定义有 .)( IIm = 现在设I是 n R中的任意一个有界方体. 容易知道对任意0>ε , 存在左开右闭 方体 21 II和, 使得, 21 III ??并且 ., 21 εε <?<? IIII (参见本章习题第16题)由测度的单调性我们有 .)()()( 2211 εε +<=≤≤=≤? IIImImImII 由0>ε的任意性即得.)( IIm = 再考虑I是无界方体的情形. 设, 1 n III ××= null 其中 n II ,, 1 null是直线上的区间并且至少有一个是无界的. 容易知道对每个,,,1 ni null= 在 i I中 存在一列单调增加的有界闭区间 1, }{ ≥kki J , 使得 i k ki IJ = ∞ = ∪ 1 , 并且.lim , iki k IJ = ∞→ 令 , ,,1 knkk JJJ ××= null .1≥k 则}{ k J是一列单调增加的有界闭方体使得, 1 ∪ ∞ = = k k JI 并且 .limlim 1,,1 IIIJJJ nknk k k k =??=??= ∞→∞→ nullnull 由于 k J是有界方体, 由上面已证的结果有.)( kk JJm = 于是由测度的下连续性我们有 .lim)(lim)( IJJmIm k k k k === ∞→∞→ 因此任何方体的L测度等于该方体的体积. 由于单点集}{a可看成是方体, 即 }{a ],[],[ aaaa ××= null , 因此 57 .0],[],[})({ =××= aaaaam null 再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的L测度为零. ■ 由定理4知道, Lebesgue测度确实是区间的长度, 矩形的面积和方体的体积概念的推 广, 而且它能对 n R中的更多的子集给予一种类似于体积的度量. 例1 由于直线上有理数集是可数集, 由定理4知道, 直线上有理数集的L测度等于零. 又实数集 1 R的一维L测度.) 11 +∞== R(Rm但 1 R作为 2 R的子集, 其二维L测度 .00}0{})0{()( 111 =?+∞=×=×= RRR mm 这里顺便指出证明区间]1,0[不是可数集的另一方法. 由定理4, 可数集的L测度为零. 但,1)]1,0[( =m 因此]1,0[不是可数集. 例2 设K是Cantor集. 在§1.4中构造Cantor集时, 从]1,0[中去掉的那些开区间的并记 为.G 我们已经知道这些区间长度之和为1, 即.1)( =Gm 由于,]1,0[ GK ?= 因此 .011)()]1,0[()( =?=?= GmmKm 我们知道K不是可数集(其基数为c ), 这个例子表明一个不可数集的L测度也可能为零. 设A是 n R的子集, R是上面所定义的环. 则由L外测度的定义有 ? ? ? ? ? ? ?= ∑ ∞ = ∞ = ? 1 1 ,}{:)(inf)( i i iii AAAAmAm ∪ 并且中的集列是R . (3) 下面给出Lebesgue外测度的另一种表示方法. 定理5 设A是 n R的子集. 则 ? ? ? ? ? ? ?= ∞ = ∞ = ? ∑ ∪ 11 ,}{:inf)( i ii i i IAIIAm并且是一列有界开区间. (4) 证明 设A是 n R的子集. 若,)( +∞= ? Am 则(4)显然成立. 现在设.)( +∞< ? Am 则 由(3)知道, 对任意0>ε , 存在R中的一列集}{ i A使得 ∪ ∞ = ? 1i i AA并且 .)()( 1 ε+< ? ∞ = ∑ AmAm i i (5) 由于每个 i A都可以表为有限个左开右闭方体的并, 故不妨设每个 i A都是左开右闭方体. 容 易知道对每个i , 存在开方体 i I使得 ii IA ?并且. 2 i ii AI ε <? 由于, 1 ∪ ∞ = ? i i IA 利用(5) 得到 58 .2)()()( 111 εε +≤+≤=≤ ? ∞ = ∞ = ∞ = ? ∑∑∑ AmAIImAm i i i i i i 在上式里对A的所有有界开方体的覆盖取下确界得到 ε2)(}{:inf)( 11 , +≤ ? ? ? ? ? ? ?≤ ? ∞ = ∞ = ? ∑ AmIAIIAm i ii i i ∪ 并且是一列有界开区间. 由于0>ε是任意的, 故(2)成立.■ L可测集与L测度的逼近 我们知道型集 δ G和型集 σ F都是Borel集, 当然也是L可 测集. 下面我们进一步考察L可测集的构造. 定理6 设A为 n R中的L可测集. 则 ).i(对任意,0>ε 存在开集,AG ? 使得.)( ε<? AGm ).ii(对任意,0>ε 存在闭集,AF ? 使得.)( ε<?FAm 若 ,)( +∞<Am 则F可以取为是有界闭集. ).iii(存在型集 δ G ,AG ? 使得.0)( =? AGm ).iv(存在型集 σ F ,AF ? 使得.0)( =?FAm 证明 ).i(先设.)( +∞<Am 由定理5, 存在一列覆盖A开方体}{ n I使得 .)( 1 ε+< ∑ ∞ = AmI n n 令, 1 ∪ ∞ = = n n IG 则G为开集, AG ?并且 .)()()( 11 ε+<=≤ ∑∑ ∞ = ∞ = AmIImGm n n n n 于是得到 .)()()( ε<?=? AmGmAGm 现在设+∞=)(Am . 设}{ i E一列互不相交的L可测集, 使得+∞<)( i Em并且 n R ∪ ∞ = = 1i i E . 令.1, ≥∩= iEAA ii 则+∞<)( i Am并且. 1 ∪ ∞ = = i i AA 由上面所证的结果, 对每个i , 存在 开集. 2 )(, iiiii AGmAG ε <??使得 令. 1 ∪ ∞ = = i i GG 则G是开集, AG ? . 由于 59 ,)( 111 ∪∪∪ ∞ = ∞ = ∞ = ???=? i ii i i i i AGAGAG 我们有.)()( 1 ε<?≤? ∑ ∞ =i ii AGmAGm ).ii(由于 c A也是可测集, 根据(1)的结果, 存在开集, c AG ?使得.)( ε<? c AGm 令 , c GF = 则F是闭集并且.AF ? 由于 .)( cccc AGGAFAFA ?=∩=∩=? (6) 于是得 .)()( ε<?=? c AGmFAm 现在设.)( +∞<Am 先取一个闭集,AE ? 使得. 2 )( ε <?EAm 令),0( kSE k =是中心 在原点, 半径为k的闭球, 则 ↑ ∩ k EE并且.)( 1 ∪ ∞ = ∩= k k EEE 于是 ).())(()(lim 1 EmEEmEEm k kk k =∩=∩ ∞ = ∞→ ∪ 因此存在 0 k使得. 2 )()( 0 ε <∩? k EEmEm 令, 0 k EEF ∩= 则F是有界闭集, .AF ? 并且 . 22 )()()()( ε εε =+<?+?=? FEmEAmFmAm ).iii(由于),i( 对任意k , 存在开集,AG k ? 使得. 1 )( k AGm k <? 令. 1 ∩ ∞ = = k k GG 则G为型集 δ G , . 1 )( k AGmAG i <??并且 令,+∞→k 即得0)( =? AGm . ).iv(由)iii(的结果, 存在型集 δ G G使得.0)( =?? cc AGmAG并且 令, c GF = 则F为型集 σ F , .AF ?并且 (6)成立. 于是有得到 .0)()( =?=? c AGmFAm ■ 推论7 若A为 n R中的L可测集. 则 }.:)(inf{)( AGGGmAm ?=是开集并且 }.:)(sup{)( AFFFmAm ?=是有界闭集并且 证明 推论的结论不难由定理6得到, 详细过程从略. 证毕. 由于L测度具有上述推论所述的性质, 我们称L测度是正则的. 例3 设A是 1 R中的L可测集并且.)( +∞<Am 则对任意,0>ε存在有限个开区间的 60 并集U , 使得.)( ε<?UAm 证明 由定理2.3.6, 任意,0>ε 存在开集,AG ? 使得. 2 )( ε <? AGm 由直线上开 集的构造定理, 存在一列互不相交的开区间)},{( ii ba使得.),( 1 ∪ ∞ = = i ii baG 由于 +∞<)(Am知道.)( +∞<Gm 于是.)()( 1 +∞<=? ∑ ∞ = Gmab i ii 因此可以取n足够大使得 . 2 )( 1 ε <? ∑ ∞ +=ni ii ab 令,),( 1 ∪ n i ii baU = = 则. 2 )( ε <?UGm 我们得到 .. 22 )()( )()()( ε εε =+<?+?≤ ?+?=? AGmUGm AUmUAmUAm ■ 下面的定理8表明Lebesgue测度具有平移不变性, 其证明留作习题. 定理8 设A是 n R中的L可测集, ∈ 0 x n R , 则Ax + 0 是L可测集并且 ).()( 0 AmAxm =+ 其中}.:{ 00 AxxxAx ∈+=+ Lebesgue-Stieltjes测度 下面讨论Lebesgue测度的推广即Lebesgue-Stieltjes测度. 我们 仅讨论 1 R的情形. 设F是定义在 1 R上的单调增加的右连续实值函数. 令 }.1],(,],,(:],({ , 11 1 ≥== = kbababaA kk k i ii 互不相交null ∪ R 则R是一个环(见§1.3例3). 对任意∈A R ,若A的一个分解式为,],( 1 ∪ k i ii baA = =则令 .))()(()( 1 ∑ = ?= k i iiF aFbFAμ (7) 则 F μ是定义在R上的非负值集函数. 类似于定理2 的证明, 可以证明 F μ是R上的测度. 设 ? F μ是由 F μ导出的外测度, ? R是 ? F μ可测集的全体所成的σ?代数. 由§2.2定理5, ? F μ是 ? R上的测度, 称之为由F导出的Lebesgue-Stieltjes测度, 简称为L-S测度. 今后将延 拓后的测度 ? F μ仍记为 F μ . 由§2.2定理10, ? R关于测度 F μ是完备的. 由§2.2定理5, =)( 1 RB ?)(Rσ ? R . 因此 F μ至少在)( 1 RB有定义. 显然Lebesgue测度m就是 Lebesgue-Stieltjes测度 F μ当xxF =)(时的情形. 由L-S测度的定义, 对直线上的每个有界左开右闭区间],( ba , 有 61 ).()()],(( aFbFba F ?=μ (8) (上式的物理意义是, 如果)(xF表示分布在区间],( x?∞上的质量, 则)],(( ba F μ表示分布 在区间],( ba上的质量). 利用(8)式和测度的性质, 容易计算出其它类型的区间、有限集和可 数集的L-S测度. 例4 设 ? ? ? ? ? ≥ <≤ < = . 2 ,212 ,10 )( 2 xx x x xF 当 当 当 则)(xF是单调增加的右连续函数. 计算 )),1,0(( F μ )),0(( ∞+ F μ和}).1({ F μ 解 利用测度的下连续性和可减性, 我们有 .0))0() 1 1((lim )] 1 1,0((lim)] 1 1,0(())1,0(( 1 =??= ?=?= ∞→ ∞→ ∞ = F n F nn n F n n FF μμμ ∪ .)0(lim)),0((lim)],0(()),0(( 2 1 +∞=?===∞+ ∞→∞→ ∞ = nnn n F n n FF μμμ ∪ .20)0()1())1,0((])1,0((})1({ =??=?= FF FFF μμμ Lebesgue不可测集 最后我们给出一个Lebesgue不可测集的例子.. 例5 Lebesgue不可测集的例. 对任意],1,0[, ∈yx 若yx?是有理数, 则记为x ~ .y 容易验证关系“~”是区间]1,0[上的一个等价关系. 因此这个等价关系“~”将]1,0[分成一些互 不相交的等价类. 根据Zermelo选取公理, 存在]1,0[的一个子集,E 使得E与每个等价类只 交于一点. 我们证明E不是L可测的. 设}{ n r是]1,1[?中的有理数的全体. 对每个,n 令.ErE nn += 则集列}{ n E具有如下 性质: (1). 当nm ≠时, .?=∩ nm EE 若不然, 设, nm EEx ∩∈ 则,Erx m ∈? .Erx n ∈? 由于 mnnm rrrxrx ?=??? )(是有理数, 因此 m rx?和 n rx?属于同一等价 类. 但. nm rxrx ?≠? 这样E就包含了同一等价类中的两个不同的元. 这与E的性质矛盾! 因此.?=∩ nm EE (2). 成立如下包含关系: ].2,1[]1,0[ 1 ??? ∞ = ∪ n n E 62 事实上, 设].1,0[∈x 由E的性质, E应包含x所在的等价类中的某一元.y 由于x和y在 同一等价类中, 故yxr ?=是一有理数. 由于,11 ≤≤? r 故r是}{ n r中的某一数, 设 . 0 n rr = 则. 00 nn Eyrx ∈+=因此.]1,0[ 1 ∪ ∞ = ? n n E至于包含关系]2,1[ 1 ?? ∞ = ∪ n n E是显然的. 现在用反证法. 假定E是L可测的. 由定理8, 每个 n E是L可测的, 并且 ).()( EmEm n = 由测度的可数可加性, 我们有 .3)]2,1[()()( 111 =?≤ ? ? ? ? ? ? ? ? == ∞ = ∞ = ∞ = ∑∑ mEmEmEm n n n n n ∪ 故必须.0)( =Em于是.0)( 1 = ∞ = ∪ n n Em 但另一方面由于,]1,0[ 1 ∪ ∞ = ? n n E 应有).(1 1 ∪ ∞ = ≤ n n Em 这样就导致矛盾. 因此E不是L可测的. 小 结 本节利用§2.2中一般测度的构造方法, 建立了 n R上的Lebesgue测度. Lebesgue 测度是长度, 面积和体积概念的推广. Lebesgue测度能对更多的集即可测集给出度量. Lebesgue可测集包含了常见的一些集, 但仍存在不可测集.由于 n R是具有丰富的结构的空 间, 因此 n R上的Lebesgue测度具有一些一般测度不具有的性质.如利用开集或闭集的逼近 性质等.Lebesgue-Stieljes测度是Lebesgue度的推广.充分利用几何直观, 可以帮助理解本节 的内容. 习 题 习题二, 第17题—第37题.