18 § 1.3 集 类 教学目的 本节继前面两节之后,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基 础知识. 本节给出几种在测度论中常见集类. 介绍了本节集类的知识后,将可 以有效简化测度论若干定理的证明. 本节要点 本节介绍了在测度论常见的几种集类,如环,代数和σ -代数等. 本节介绍的集类较多, 应注意理清各个集类之间的相互关系. 与σ -代数相 关的概念及其应用是本节的重点. 集类 设X为一固定的非空集. 以X的一些子集为元素的集称为X上的集类. 集类一般 用花体字母如A ,B ,C等表示. 例如, 由直线 1 R上开区间的全体所成的集就是 1 R上的一 个集类. 本节若无特别申明, 均设所考虑的集类都是X上的集类. 在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类. 对集类要求不同的运算封闭性就 得到不同的集类. 本节介绍常见的几种集类, 主要包括半环, 环, 代数和σ -代数. 这几种集 类对运算封闭性的要求一个比一个强. I 半环与环 定义1 设C是一集类, 若C满足条件 (1) ∈? C (2) 若.,, CC ∈∩∈ BABA则 (3) 若,, C∈BA则存在C中有限个互不相交的集,,, 1 n CC null 使得 . 1 ∪ n i i CBA = =? 则C称为半环. 例1 设}:],{( +∞<≤<?∞= babaC是直线上左开右闭有界区间的全体. 则C是一 个半环. 定义2 设R是一个非空集类. 若R对并运算和差运算封闭, 则称R为环. 定理3设R是一个非空集类. 则 (1) 若R对不相交并和差运算封闭, 则R是环. (2) 若R是一个环. 则∈? R并且R对交运算封闭 证明 由于),( BAABA ?∪=∪ 故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到. 因 19 此若R对不相交并和差运算封闭, 则R对并运算也封闭, 因而R是一个环. 设R是一个 环. 由于R非空, 故存在∈A .R 于是∈?=? AA .R 由于 )),()(()( ABBABABA ?∪??∪=∩ 即交运算可以通过并运算和差运算得到, 因此R对交运算封闭.■ 例2 设R },:{的有限子集是XAA= 则R是一个环. 定理4 设C是一个半环. 令 R }.1,,,:{ 1 1 ≥= = kCCC k k i i 并且互不相交属于Cnull ∪ (1) 则R是一个环. 并且R是包含C的最小的环. 证明 显然.RC ?由定理3, 为证R是一个环, 只需证明R对不相交并和差运算封闭 即可. 显然R对不相交并算封闭. 往证R对差运算封闭. 设 1 n i i A A = = ∪ 和 1 n j j B B = = ∪ 是R中任意两个集. 则 .)()()( 1111 ∪∪∪∪ n i m j ji n i i n i i BABABA ==== ∩=∩=∩ 由于C对交运算, 利用上述等式知道R对交运算封闭. 我们有 .)( 1111 ∪∩∪∪ n i m j ji m j j n i i BABABA ==== ?=?=? (2) 由于C是半环, 故 ji BA ?可以表示为C中的有限个集的不相交并, 因此由R的定义知道 ∈? ji BA R . 上面已证R对交运算封闭, 因此 1 () m ij j AB = ?∈ ∩ R . 由于 {} 1 ():1,, m ij j ABi n = ?=null ∩ 中的集互不相交并且R对不相交并运算封闭, 由(2)知道 ∈?BA R . 即R对差运算封闭. 所以R是一个包含C的环. 显然,若R′是任意包含C的 环,则?R .R′ 即R是包含C的最小的环(图3—1是当C是例1中的半环的情形). ■ 1 A 2 A 1 B 11 BA ? nullnullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnullnull 2 B 22 BA ? nullnullnull nullnullnullnullnull 21 AAA ∪= 21 BBB ∪= 20 图3—1 我们称由(1)定义的环R为由C生成的环, 记为).(CR由定理4知道, )(CR是包含C 的最小的环. 例3 设 }.1),(],(],(:],({ 1 ≥≠?=∩= = kjibababa jjii k i ii∪ R 由例1和定理4知道R是一个环. II 代数与σ -代数 定义5 设A是一个非空集类. 若A对并运算和余运算封闭, 则称为一个代数. 容易知道, 集类A是一个代数当且仅当A是一个包含全空间X的环. 结合环的运算 封闭性知道, 若A是一个代数, 则A∈? X,并且A对有限并、有限交、差和余运算封闭. 定义6若F是一个非空集类, 满足 (1) 若., FF ∈∈ c AA则 (2) 若.,,2,1, 1 FF ∈=∈ ∞ = ∪ null n nn AnA则 则称F为一个σ -代数(或σ -域).. 例4 设F = },,{ ?X则F是X上的σ -代数. 这是X上的最小的σ -代数. 例5设)(XP是由X的全体子集所成的集类. 则)(XP是一个σ -代数. 这是X上的 最大的σ -代数. 例6 设X是一个无限集. 令A .:{ AA= 或者 C A是有限集}. 则A是X上的一个代 数. 由于A对可数并运算不封闭, 因此A不是一个σ -代数. 若令F AA:{=或者 C A至 多是可数集} 则F是X上的一个σ -代数. 以上结论的验证留作习题. 定理7设F是一个σ -代数. 则 (1) ., FF ∈∈? X (2) F对有限或可数并、有限或可数交、余和差运算封闭. 证明 由于 , 11 nullnullnull nnn AAAAA ∪∪∪=∪∪ 即有限并可以表示成可数并. 由于F对可数并运算封闭, 因此F对有限并运算封闭. 因此 F是代数，由代数的性质知道F∈?,X并且F对有限交运算和差运算封闭。 由De 21 Morgan公式得到,)( 11 C n C n n n AA ∪∩ ∞ = ∞ = = 由于F对可数并和余运算的封闭性知道F对可数交 运算封闭.■ 以上定义的四种集类的关系是, 每个σ -代数都是代数, 每个代数都是环, 每个环都是 半环. 思考题: 1.分别举例说明半环不必是环, 环不必是代数, 代数不必是σ -代数. 2. 举例说明σ -代数对任意多个集的并运算不一定封闭. 由集类生成的σ -代数 在定理4中我们已经知道, 给定一个非空集类,C 存在一个包含 C的最小的环)(CR . 关于σ -代数和代数有类似的结果. 定理8设C是一个非空集类.则必存在唯一的一个σ -代数F ,满足 (1) F ?C . (2) 对任何包含C的代数?σ ,F ′ 必有F ′ ? F . 证明 由X的全体子集所成的集类)(XP是一个代数?σ . 因此至少存在一个包含C 的σ -代数. 令 F = ∩ }.:{代数的是包含?′′ σCFF 则F是一个包含C的σ -代数. 事实上, 显然F非空并且F ? C .设 .,2,1, null=∈ nA n F 往证. 1 F∈ ∞ = ∪ n n A 设F ′是任意一个包含C的σ -代数. 则 ∈ n A ,F ′ .,2,1 null=n由于F ′是σ -代数, 因此. 1 F ′∈ ∞ = ∪ n n A 这表明. 1 F∈ ∞ = ∪ n n A 因此F 对可数并运算封闭. 类似可以证明F对余运算封闭. 因此F是一个包含C的代数?σ .由 F的定义知道, 对任何包含C的代数?σ ,F ′ 必有F ′ ? F . 因此存在性得证.唯一性 是显然的.■ 由定理8, 对任意一个非空集类C , 存在唯一的一个包含C的最小的代数?σ . 这个 σ -代数称为由C生成的σ -代数, 记为).(Cσ 类似可定义由C生成的代数, 记为).(CA 例7 设C是由X的单点子集的全体所成的集类. 则 )(Cσ AA:{=或 c A是有限集或可数集}. (3) 证明 将(3)的右边所定义的集类记为F . 显然F ?C . 不难验证F是一个σ -代数 (具体验证过程留作习题). 另一方面, 设F ′是任意一个包含C的σ -代数. 若A是至多可数 集, 则A可以表示成单点集的有限并或可数并. 既然F ′包含C并且对有限并和可数并运 22 算封闭, 因此∈A .F ′ 若 c A是至多可数集, 则∈ c A .F ′ 由于F ′对余运算封闭, 因此 ∈= cc AA )( .F ′ 这表明F ′ ? F . 综上所证, F是包含C的最小的σ -σ -代数. 因此 =)(Cσ .F ■ 例8 设C = },:{的有限子集是XAA 1 C = }.:{的有限子集是或XAAA c 则 )(Cσ = ).( 1 Cσ 证明 由于 1 CC ? ? )( 1 Cσ , 并且)(Cσ是包含C的最小σ -代数,因此 )(Cσ ? )( 1 Cσ . 往证相反的包含关系. 设A∈ 1 C . 则A或者 c A是有限集. 若A是有限集, 则A∈C ? ).(Cσ 若 c A是有限集, 则 c A ∈C ? ).(Cσ 由于)(Cσ对余运算封闭, 因此 A= ∈ cc A )( ).(Cσ 这表明 1 C ? ).(Cσ因此)( 1 Cσ ? ).(Cσ 这就证明了)(Cσ = ).( 1 Cσ ■ 设C是一个非空集类. 若F是一个σ -代数并且C ? ,F 则必有)(Cσ ? .F 这是因 为)(Cσ是包含的C的最小的σ -代数. 由此得到测度论中常用的一种证明方法如下: 设我 们要证明由集类C生成的代数?σ )(Cσ中所有的集都具有某种性质P. 令 F = P}.:{具有性质AA 然后证明(i).C ? .F (ii).F是一个σ -代数. 于是由)(Cσ的最小性知道)(Cσ ? .F 即 )(Cσ中所有的集都具有性质P. 在上述证明方法中, 具有性质P的集可以通俗的称为“好集”, 上述证明方法可以称为 “好集原理”. 以下部分不作为课堂讲授内容, 必要时仅介绍其主要结果, 不讲证明. π类与λ类 定义9 设C是一个非空集类. (1) 称C为π类, 若C对有限交运算封闭. (2) 称C为λ类, 若C满足 )i( . ∈X C . )ii( .若∈BA, C并且,BA? 则∈?BA C (对包含差运算封闭). )iii( .若?}{ n A F并且, ↑n A 则C∈ ∞ = ∪ 1n n A (对单调增加的集列的并运算封闭). 设C是一个非空集类. 类似于?σ代数的情形, 存在一个包含C的最小λ类, 称之为 由C生成的λ类, 记为).(Cλ 定理10 集类F是?σ代数当且仅当F既是π类又是λ类. 证明 必要性是显然的. 往证充分性. 因为F既是π类又是λ类, 因此F对余运算和 有限交运算封闭. 于是由De Morgan公式推出F对有限并运算封闭. 设}{ n A是F中的一 23 列集. 令.1, 1 ≥= = nAB n i in ∪ 则?}{ n B F并且. ↑n B由于F是λ类, 因此 ∈= ∞ = ∞ = ∪∪ 11 n n n n BA .F 故F对可数并运算封闭. 所以F是一个?σ代数.■ 定理11 设C是一个π类. 则=)(Cλ ).(Cσ 推论12 若C是一个π类, F是一个λ类并且?C ,F 则?)(Cσ .F 证明 由定理11知道=)(Cσ ).(Cλ 即)(Cσ是包含C的最小λ类. 而F是一个包含 C的λ类, 因此?)(Cσ .F ■ 由推论12我们得到在测度论中另一个常用的证明方法. 设C是一个π类, 若我们要证 明)(Cσ中所有的集都具有某种性质P. 令 F = AA:{具有性质P}. 然后证明(i) C ? .F (ii) F是一个λ类. 于是由推论12知)(Cσ ? .F 即)(Cσ中所有 的集都具有性质P. 小 结 本节介绍的环, 代数和σ -代数等是测度论中常见的几种集类. 它们的运算封闭 性一个比一个强. σ -代数是最重要的一种集类. 任何一个非空集类C可以生成一个σ -代 数, 即)(Cσ , 它是包含C的最小σ -代数. 利用)(Cσ的性质, 得到测度论中常用的一种证 明方法即所谓“好集原理”, 常常可以简化一些定理的证明. 习 题 习题一, 第18题—第28题.