76 §3.2 可测函数的收敛性 教学目的 可测函数列可以定义各种收敛性. 本节讨论几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛. 几种收敛性之间存在一些蕴涵关系. 通过本节 的学习, 可以使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的 了解. 本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov定理和Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz定理在几乎 处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. 以下所有的讨论都是在某一固定的测度空间),,( μFX上进行的. 几乎处处成立的性质 设)(xP是一个与x有关的命题. 若存在一个零测度集N, 使得当 NXx ?∈时)(xP成立(换言之, {: ()x Px不成立} N? ), 则称)(xP (关于测度μ )几乎处 处成立. 记为)(xP a.e.?μ , 或者)(xP a.e. 在上面的定义中, 若)(xP几乎处处成立, 则集})(:{不成立xPx包含在一个零测度集 内. 若})(:{不成立xPx是可测集, 则由测度的单调性知道({ : ( ) }) 0.xPxμ =不成立 显然, 若),,( μFX是完备的测度空间, 则)(xP几乎处处成立当且仅当 .0}))(:({ =不成立xPxμ 例1 设给定两个函数f和g . 若存在一个零测度集N , 使得当Nx?时 ),()( xgxf = 则称f和g几乎处处相等, 记为gf = a.e. 例2 设f为一广义实值函数. 若存在一个零测度集N , 使得当Nx?时,+∞<f 则 称f是几乎处处有限的, 记为+∞<f , a.e. 可测函数的几种收敛性 设E是X的子集. )1(, ≥nff n 定义在E上的函数. 若对任 意0>ε , 存在,0>N 使得当Nn ≥时, 对一切Ex∈成立,)()( ε<? xfxf n 则称}{ n f 在E上一致收敛于f , 记为..unff n → 定义1 设为}{ n f一可测函数列, f为一可测函数. (1) 若存在一个零测度集N, 使得当Nx?时, 有)()(lim xfxf n n = ∞→ , 则称}{ n f几乎处 处收敛于f , 记为ff n n = ∞→ lim a.e., 或ff n ?→? a.e. . 77 (2) 若对任给的0>ε , 总有 .0}{lim =≥? +∞→ εμ ff n n 则称}{ n f依测度收敛于f , 记为.ff n ?→? μ (3) 若对任给的0>δ , 存在可测集 δ E , δμ δ <)(E , 使得}{ n f在 δ EX ?上一致收 敛于f, 则称}{ n f几乎一致收敛于f, 记为ff n n = ∞→ lim a.un. 或 ff n ??→? a..un. . 容易证明, 若将两个a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限是唯一的. 例如, 若, a.e. ff n ?→? gf n ?→? a.e. , 则gf = a.e.. 其证明留作习题. 例3 设))),,0[(),,0([ m+∞+∞ M为区间),0[ ∞+上的Lebesgue测度空间. 其中 )),0[( +∞M是),0[ ∞+上的L可测集所成的σ -代数, m是 1 R上的L测度在),0[ ∞+上的 限制. 令 .1),(1)( ), 1 ( ≥?= nxIxf n n n 则对任意,0>x ).(0)( ∞→→ nxf n 当0=x时)(xf n 不收敛于0. 但,0})0({ =m 因此 在),0[ ∞+上.0 a.e. ?→? n f 由于对, 2 1 =ε / 11 ({ }) ([0, ] [ , )) 0, ( ). 2 n mf m n n n ≥= ∪+∞=+∞? →→+∞ 因此}{ n f不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不一定能推出依测 度收敛. 例4 设)]),1,0[(],1,0[( mM是]1,0[上的Lebesgue测度空间. 令 .1,)( ≥= nxxf n n 则对任意0>δ , }{ n f在]1,0[ δ?上一致收敛于0 .由于δδ =? ])1,1((m可以任意小, 因 此0 a..un. ??→? n f . 又显然.0 a.e. ?→? n f 例5 设)]),1,0[(],1,0[( mM是]1,0[上的Lebesgue测度空间. 令 .1,,,1],, 1 [ ≥= ? = nni n i n i A i n null 图2—1 )1( 3 A X0 1 nullnullnullnullnullnullnull 2 1 )1( 2 A )2( 2 A )2( 3 A )3( 3 A nullnullnullnullnull3 1 3 2 nullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnullnull 78 (图2—1)将}{ i n A先按照n后按照i的顺序重新编号记为}{ n E . 显然.0)( → n Em 令 )()( xIxf n En = , 1≥n , .0)( =xf 对任意0>ε , 由于 .,0)(})({ ∞→→=≥? nEmffm nn ε 故}{ n f依测度收敛于f . 但}{ n f在]1,0[上处处不收敛. 事实上, 对任意]1,0[ 0 ∈x , 必有 无穷多个 n E包含 0 x , 也有无穷多个 n E不包含 0 x . 故有无穷多个n使得,1)( 0 =xf n 又有 无穷多个n使得.0)( 0 =xf n 因此}{ n f在 0 x不收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几 乎处处收敛. 例3和例4表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大. 几种收敛性之间的关系 为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明). 引理2 设+∞<)(Xμ . 若. a.e. ff n ?→? 则对任意0>ε有 .0)}{(lim =≥? ∞ = ∞→ ∪ ni i n ff εμ 证明 设0>ε是一给定的正数. 任取Xx∈ , 若对任意,1≥n 存在,ni ≥ 使得 .)()( ε≥? xfxf i 则)()( xfxf n 不收敛于. 这表明 ∩∪ ∞ = ∞ = ≥? 1 }{ nni i ff ε )}.()(:{ / xfxfx n ?→?? 由于, a.e. ff n ?→? 因此由上式知道 .0}{ 1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ≥? ∞ = ∞ = ∩∪ nni i ff εμ 由于+∞<)(Xμ , 由测度的上连续性, 我们有 0}{}{lim 1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ≥?= ? ? ? ? ? ? ? ? ≥? ∞ = ∞ = ∞ = ∞→ ∩∪∪ nni i ni i n ffff εμεμ . ■ 容易证明, 若, a..un. ff n ??→? 则ff n ?→? a.e. (其证明留作习题). 下面的定理表明当 +∞<)(Xμ时, 其逆也成立. 定理3 (叶戈洛夫)若+∞<)(Xμ , 则ff n ?→? a.e. 蕴涵. a..un. ff n ??→? 证明 设+∞<)(Xμ , . a.e. ff n ?→? 由引理2 , 对任意0>ε , 有 .0}{lim = ? ? ? ? ? ? ? ? ≥? ∞ = ∞→ ∪ ni i n ff εμ 于是对任意的0>δ和自然数1≥k , 存在自然数 k n使得 79 . 2 } 1 { k ni i k k ff δ μ < ? ? ? ? ? ? ? ? ≥? ∞ = ∪ 令.} 1 { 1 ∪∪ ∞ = ∞ = ≥?= kni i k k ffE δ 由测度的次可数可加性我们有 . 2 } 1 {)( 11 δ δ μμ δ =≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ≥?≤ ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = k k k ni i k k ffE ∪ 往证在 C E δ 上, }{ n f一致收敛于f . 事实上, 由De Morgan公式得 1 11 {}{},1. kk C ii kin in Eff ffk kk δ ∞∞ ∞ == = =?<??<≥ ∩∩ ∩ (1) 对任意0>ε 取k足够大使得. 1 ε< k 则由(1)式知道,当 k ni ≥时对一切 C x E δ ∈ , 有 . 1 )()( ε<<? k xfxf i 即在 C E δ 上}{ n f一致收敛于f .这就证明了ff n ??→? a..un. ■ 注2 在叶戈洛夫定理中, 条件+∞<)(Xμ不能去掉. 例如, 若令),()( ),[ xIxf nn +∞ = .1≥n 则}{ n f在 1 R上处处收敛于0. 但容易知道}{ n f不是几乎一致收敛于0. 定理4 若+∞<)(Xμ , 则ff n ?→? a.e. 蕴涵.ff n ?→? μ 证明 设+∞<)(Xμ , . a.e. ff n ?→? . 由引理2 , 对任意0>ε有 .0}{lim = ? ? ? ? ? ? ? ? ≥? ∞ = ∞→ ∪ ni i n ff εμ 由测度的单调性立即得到 ()≤≥? ∞→ }{lim εμ ff n n .0}{lim = ? ? ? ? ? ? ? ? ≥? ∞ = ∞→ ∪ ni i n ff εμ 即.ff n ?→? μ ■ 本节例3表明, 在定理4中, 条件+∞<)(Xμ不能去掉. 定理5 (Riesz)若,ff n ?→? μ 则存在}{ n f的子列}{ k n f , 使得. a.e. ff k n ?→? 证明 设.ff n ?→? μ 对任意0>ε和0>δ , 存在1≥N , 使得当Nn ≥时, 有 δεμ <≥? })({ ff n . 于是对任意自然数1≥k , 存在自然数 k n , 使得 80 . 2 1 }) 1 ({ k n k ff k <≥?μ (2) 我们可适当选取 k n使得null,2,1, 1 =< + knn kk . 往证. a.e. ff k n ?→? 令 null ∩ ,2,1,} 1 { =<?= ∞ = i k ffE ik ni k . 对任意 i Ex∈ , 当ik ≥时, . 1 )()( k xfxf k n <? 这表明}{ k n f在 i E上收敛于f . 令. 1 ∪ ∞ = = i i EE 则}{ k n f在E上收敛于f . 往证 ()0. C Eμ = 由De Morgan公式, 我们有 .} 1 { 11 ∩∩∪ ∞ = ∞ = ∞ = ≥?== iiik n c i c k ffEE k 利用(2)容易得到 1 ()1. C Eμ ≤ 因此由测度的上连续性并且利用(2), 我们有 .0 2 1 lim }) 1 ({lim } 1 {lim)( =≤ ≥?≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ≥?= ∑ ∑ ∞ = ∞→ ∞ = ∞→ ∞ = ∞→ ik k i ik n i ik n i c k ff k ffE k k μ μμ ∪ 这就证明了. a.e. ff k n ?→? ■ 几种收敛性之间的关系如图2—2 图2—2 定理5给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系. 利用这种联系, 常常可以把依测度 几乎处处收敛 几乎一致收敛 依测度收敛 ∞<)(Xμ 叶戈洛夫定理 ∞<)(Xμ 存在子列 k n f Riese定理 81 收敛的问题转化为几乎处处的问题. 而几乎处处收敛是比较容易处理的. 思考题 设+∞<)(Xμ . 证明: ff n ?→? μ 当且仅当}{ n f的任一子列}{ k n f都存在其 子列}{ k n f ′ , 使得).( a.e. ∞→′?→? ′ kff k n 小 结 本节介绍了几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛, 它们是伴随测度的建 立而产生的新的收敛性.几种收敛性之间有一些蕴涵关系. 其中最重要的是Egorov定理和 Riesz定理.利用Riesz定理,可以把较难处理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题. 本节还介绍了几乎处处成立的性质的概念, 后面讨论积分的性质时,将会更清楚地看到这个 概念的意义. 习 题 习题三, 第18题—第28题.