112 §4.5 Lebesgue可积函数的逼近 教学目的 本节考虑可积函数的逼近问题. 本节要证明几个关于积分的 逼近定理.主要是关于Lebesgue积分的逼近定理. 教学要点Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数 逼近. 由于连续函数具有较好的性质, 因此L可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的.应通过例题和习题掌握这种方法. 设给定一个测度空间),,,( μFX C是可积函数类)(μL的一个子类. 若对任意可积 函数)(μLf ∈和,0>ε 存在一个∈g ,C 使得,εμ <? ∫ dgf 则称可积函数可以用C 中的函数逼近. 一般测度空间上积分的逼近 定理1 设),,( μFX是一个测度空间, ).(μLf ∈ 则对任意,0>ε 存在)(μL中的 简单函数,g 使得.εμ <? ∫ dgf 证明 设).(μLf ∈ 由§3.1推论10, 存在一个简单函数列},{ n f 使得}{ n f处处收敛 于f , 并且.1, ≥≤ nff n 由于f可积, 因此每个 n f都可积. 注意到fff n 2≤?并 且),(0 ∞→→? nff n 利用控制收敛定理得到 .0lim ∫ =? ∞→ μdff n n 因此存在一个, 0 n 使得. 0 εμ <? ∫ dff n 令 0 n fg =即知定理成立.■ Lebesgue积分的逼近 设E是 n R中的L可测集. 用)(EL表示E上的Lebesgue可积函 数的全体. 定理 2 设E是 n R上的一个Lebesgue可测集, ).(ELf ∈ 则对任意,0>ε 存在 n R 上具有紧支集的连续函数,g 使得. E fgdxε?< ∫ 证明 设).(ELf ∈ 先设设 A If = 是特征函数,其中EA?并且.)( +∞<Am 对任 113 意,0>ε 由§2.3定理6, 存在开集G和有界闭集,F 使得,GAF ?? 使得 .)( ε<?FGm 由于F是有界集, 因此存在半径充分大的开球),0( rU使得).,0( rUF ? 令,)),0(( c rUGB ∩= 则B是闭集并且.?=∩BF 由§3.3引理3, 存在 n R上的连续函 数,g 使得,1= F g .0= B g 则g是 n R上具有紧支集的连续函数. 注意到,1)(0 ≤≤ xg 我们有 ()() (). EEAA EA AF f gdx f gdx f gdx gdx fdx mE A mA F mG F ε ? ?? ?= ?+? =+ ≤?+? ≤?< ∫∫ ∫ ∫∫ 一般情形, 由定理1, 存在)(EL中的简单函数,? 使得. 2 ε ? <? ∫ E dxf 设. 1 i A k i i Ia ∑ = =? 不妨设,0≠ i a 则,)( +∞< i Am .,,1 ki null= 由上面所证的结果, 对每个,,,1 ki null= 存 在 n R上具有紧支集的连续函数, i g 使得. 2 i Ai E i Igdx ka ε ?< ∫ 令, 1 ∑ = = k i ii gag 则g 是 n R上具有紧支集的连续函数. 我们得到 1 . 222 i EEE k iAi E i f g dx f dx g dx aIgdx ?? εεε ε = ?=?+? <+ ? <+= ∫∫∫ ∑ ∫ ■ 设],[ ba是直线上的有界闭区间. 称型如 i J n i i Iaf ∑ = = 1 的函数为],[ ba上的阶梯函数, 其中 n JJ ,, 1 为],[ ba的互不相交的子区间. 由于阶梯函数是有界可测函数, 因此每个阶梯函 数属于.],[ baL 定理 3 设],[ baLf ∈ . 则对任意,0>ε 存在],[ ba上的一个阶梯函数g , 使得 . b a fgdxε?< ∫ 证明 设).(ELf ∈ 类似于定理2的证明, 我们不妨设, A If = 其中],[ baA?并且 .)( +∞<Am 由§2.3例3, 对任意,0>ε存在开集,U U是有限个开区间的并集, 使得 ..))()(( ε<?∪? AUUAm 显然我们可以设),,( baU ? 令, U Ig = 则g是阶梯函数. 并且 114 ()() ()(). b AU aAUA f gdx I I dx m A U m U A ?∪? ?≤ ? =?+?< ∫∫ ε ■ 定理4 设∈f ). 1 (RL 则对任意,0>ε 存在 1 R上的一个具有紧支集的阶梯函数,g 使得 1 .fgdxε?< ∫ R 证明 设∈f ). 1 (RL 类似于定理2的证明, 我们不妨设, A If =其中.)( +∞<Am 令 .,2,1],,[ null=?∩= kkkAA k 则 ↑k A并且. 1 ∪ ∞ = = k k AA 于是).()(lim AmAm k k = ∞→ 因此对 任意,0>ε 存在 0 k使得. 2 )()( 0 ε <? k AmAm 令. 0 k A I=? 则].,[ kkL ?∈? 由定理3, 存 在],[ kk?上的阶梯函数,g 使得. 2 k k gdx ε ? ? ?< ∫ 延拓g的定义使得g在 c kk ],[?上为 零. 则g是为 1 R上的具有紧支集的阶梯函数. 我们得到 111 0 () ( ) . 22 k k k f gdx f dx gdx mA mA gdx ?? εε ? ε ? ?≤ ?+ ? =? +?<+= ∫∫∫ ∫ RRR ■ 下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子. 例1 (Riemann-Lebesgue引理)设].,[ baLf ∈ 则 lim ( )cos 0. b n a f x nxdx →∞ = ∫ (1) lim ( )sin 0. b n a f x nxdx →∞ = ∫ (2) 证明 先设 ),( βα If = , 其中].,[),( ba?βα 则 sin sin ()cos ()cos 0, . b a nn f x nxdx f x nxdx n n ? ==→∞ ∫∫ β α βα 于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数,f (1)式成立. 现在设].,[ baLf ∈ 对任意 ,0>ε 由定理3, 存在一个阶梯函数g , 使得. 2 ε <? ∫ b a dxgf 由上面证明的结果, 存在 ,0>N 使得当Nn >时, . 2 cos)( ε < ∫ b a nxdxxg 于是当Nn >时有 ()cos ( () ())cos ()cos . 2 bb b aa a b a f x nxdx f x g x nxdx g x nxdx fgdx ε ε ≤? + ≤?+< ∫∫ ∫ ∫ 115 因此(1)成立. 类似地可以证明(2)成立. ■ 例2 设f是 n R 上的L可积函数, 则 0 lim ( ) ( ) 0. n t fx t fxdx → +? = ∫ R (3) 证明 先设f是具有紧支集的连续函数. 则存在闭球),,0( rS使得当),0( rSx?时 .0=f 由于f在),0( rS上连续, 因此f在),0( rS上一致连续. 因此对任意,0>ε 存在 ,0>δ 使得当),,0(, rSxx ∈′′′ δ<′′′ ),( xxd时, 成立.)()( ε<′′?′ xfxf 记 ).()( txfxf t += 于是当δ<),0( td时, 我们有 (0, ) ((0,)). n tt Sr f fdx f fdx mS rε?= ?< ∫∫ R 这表明当f是具有紧支集的连续函数时,(3)成立.一般情形, 由定理2, 存在 n R上的具有紧 支集的连续函数g , 使得. 3 n fgdx ε ?< ∫ R 由上面所证, 存在,0>δ 使得当 δ<),0( td时, . 3 n t ggdx ε ?< ∫ R 由§4.1例4, 有 . 3 nn tt f g dx f g dx ε ?=?< ∫∫ RR 于是当δ<),0( td时, 我们有 . 333 nn nn tttt f fdx fgdxggdxgfdx εεε ε ?≤ ?+ ?+ ? <++= ∫∫∫∫ RR RR 因此(3)成立.■ 小 结 本节证明了几个关于积分的逼近定理.主要是关于Lebesgue积分的逼近定理. 本 节的结果表明Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近. 利用积分 的逼近定理, 可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题.例1和例2 说明了可积函数的逼近定理的典型方法. 习 题 习题四, 第40题—第42题.