125 习 题 四 在以下各题中, 除题目中已有说明的外, 可测函数的积分都是关于给定的测度空间 ),,( μFX的. 1. 设 ? ? ? ≥ < = .1, ,1,0 )( 2 xx x xF F μ是由F导出的L-S测度. 计算 (0, ) . F fdμ +∞ ∫ 其中 .)( ]2,1(}1{)1,( cIbIaIxf ++= ?∞ 2. 设 n AA ,, 1 null是]1,0[中的n个Lebesgue可测集. 若每个]1,0[∈x至少于这n 个集中的q个, 则必存在某个, i A 使得.)( n q Am i ≥ 3. 设f是]2,0[ π上的L可测函数并且 2 0 ()ln(1 ()) .fx fx dx π +<+∞ ∫ 证明f是]2,0[ π上的L可积函数. 4. 设 1 μ和 2 μ是可测空间),( FX上的两个测度. 证明 ).i( 21 μμ +是),( FX上的测度. ).ii( 若f关于 1 μ和 2 μ都可积, 则f关于 21 μμ +可积, 并且 ∫∫∫ +=+ .)( 2121 μμμμ fdfdfd 5. 设f为可测函数. 若存在正测度集,A 使得当Ax∈时, ,0)( >xf 则 0. A fdμ> ∫ 6. 证明: ).i(设f为可测函数. 若对每个可测集,A 均有0, A fdx≥ ∫ 则 a.e.0≥f ).ii( 设f和g是可积函数并且对任意可测集A , 成立 . AA fdgdμ μ= ∫∫ 则a.e..gf = 7. 设)( n f为可积函数列, f为可测函数. 若.0lim =? ∫ ∞→ μdff n n 则f可积. 8. 设)1(, ≥nff n 为可测函数. 若,0lim =? ∫ ∞→ μdff n n 则.ff n ?→? μ 9. 设f为有限测度空间上的可测函数. 则f可积的充要条件是对任给的,0>ε 存 在,0>k 使得 {} . fk fdμ ε ≥ < ∫ 126 提示: 利用积分的绝对连续性. 10. 设f为可测函数. 证明f可积的必有条件是 .})1({ 1 +∞<+<≤ ∑ ∞ =n nfnnμ 当+∞<)(Xμ时, 上述条件也是充分条件. 11. 若f为可积函数. 则.0})({lim =≥ +∞→ nfn n μ 12. 设f为有限测度空间上的可测函数. 则f可积的充要条件是 .})({ 1 +∞<≥ ∑ ∞ =n nfμ 13. 设f为有限测度空间上的可测函数. 则f可积的充要条件是 .})2({2 0 +∞<≥ ∑ ∞ =n nn fμ 14. 设f为有限测度空间上的可测函数, 并且存在0>M和,1>α 使得 .0,})({ >≤≥ λ λ λμ α M f 证明f可积. 15. 设)1(, ≥nff n 为可积函数. 若对每个可测集A均有 1 ,1, nn AA fd f d nμμ + ≤≥ ∫∫ 并且lim , n n AA f dfdμ μ →+∞ = ∫∫ 则. a.e. ff n ?→? 16. 设)1(, ≥nff n 为可测函数. . a.e. ff n ?→? 若 ∫ +∞< ≥ ,sup 1 μdf n n 则f可积. 17. 设)1(, ≥nff n 为可测函数, . a.e. ff n ?→? 若存在可积函数g , 使得 1),a.e.( ≥≤ ngf n 则.0lim =? ∫ +∞→ μdff n n 18. 设}{ n f是可测函数列, 并且 ∑ ∫ ∞ = +∞< 1 . n n df μ 则 ∑ ∞ =1n n f可积, 并且 . 11 μμ ∑ ∫∫ ∑ ∞ = ∞ = = n n n n dfdf 19. 设)1(, ≥nff n 为非负可测函数列, .ff n ?→? μ 证明 ∫∫ ∞→ ≤ .lim μμ dfdf n n 20. 设级数 ∑ ∞ =1n n a绝对收敛. 证明 ∑ ∞ =1n n a可以表示成)),(,( μNN P上一个可积函数的 127 积分. 21. 设)1(, ≥nff n 为非负可积函数, 满足, a.e. ff n ?→? ∫∫ = +∞→ ,lim μμ dfdf n n . 证明: 对任意可测集,XE ? 成立 lim . n n EE f dfdμ μ →+∞ = ∫ ∫ 提示: 注意).1(20 ≥≤?+?≤ nfffff nn 22. 举例说明在Fatou引理中, 不等号可能成立. 23. 设}{ n A是一列可测集并且.)( 1 +∞< ∑ ∞ =n n Aμ 证明对几乎所有,Xx∈ x只属于 有限个. n A 24. 设f是有限测度空间X上的可测函数, .,)( Xxdxfc ∈≤≤对任意,1≥n 设dyyyc n =<<<= null 10 将],[ dc分成n个长度相等的小区间. 证明 .})({lim 1 11∑ ∫ = ?? ∞→ <≤= n i iii n yfyyfd μμ (试将上式与Riemann积分的定义比较). 25. 设}{ n f是有限测度空间),,( μFX上的可测函数列, 证明 ∫ → + 0 1 μd f f n n 当且仅当.0?→? μ n f 26. 设f是),0[ ∞+上的L可积函数, 并且f在),0[ ∞+上一致连续. 证明 ).(0)( +∞→→ xxf 27. 设f是]1,0[上的L可积函数. 若对任意)10( ≤≤ cc , 总有 [0, ] 0, c fdx= ∫ 则a.e.0=f 28. 设f在],[ ba上Riemann可积, g是 1 R上的连续函数. 证明))(( xfg在],[ ba 上Riemann可积. 29. 证明 x exf ? =)(在),0[ ∞+上L可积, 并且求其L积分. 30. 证明Riemann函数 ? ? ? ? ? = = . , 0 ,, 1 )( 是无理数若 互质若 x nm n m x n xf 在]1,0[上是Riemann可积的. 128 31. 当0>α为何值时, 函数 α x x xf sin )( =在),1[ ∞+上是L可积的. 32. 设K为]1,0[中的Cantor集. 当Kx∈时定义,)( 2 xxf = 当x属于K?]1,0[ 中长为 n 3 1 的开区间时定义. 2 1 )( n xf = 计算 1 0 () .f xdx ∫ 33. 设f和g在],[ ba上Riemann可积, 并且在],[ ba的一个稠密子集上相等. 证 明f和g在],[ ba上积分相等. 34. 设f是 1 R上的L可积函数, ,0)0( =f )0(f ′存在并且有限. 证明 x xf )( 在 1 R上是L可积的. 35. 计算 1 0 () ,f xdx ∫ 其中 ? ? ? ? ? = . , 1 )( 3 为无理数若 为有理数若 x x xx xf 36. 设f是]1,0[上的单调增加函数, E是]1,0[中的L可测集并且.)( tEm = 证 明 0 () () . t E f xdx f xdx≤ ∫∫ 37. 用Lebesgue积分的性质证明 1 2 0 1 arctg 1 (1) . (2 1) n n x dx xn ∞ = =? ? ∑ ∫ 38. 设,)1()( 1 nxf n+ ?= ,,2,1, 1 1 1 null=≤< + n n x n .0)0( =f 证明f在]1,0[ 上是广义Riemann可积的, 但不是Lebesgue可积的. 39. 设,bca << ).()( ),[ xIxF c +∞ = 又设f是],[ ba上的有界实值函数. 证明在 ],[ ba上关于F L-S可积当且仅当f在cx =连续. 并且当f在cx =连续时, () () (). b a f xdFx fc= ∫ 40. 设f在],[ hbha +?是Lebesgue可积的. 证明 0 lim ( ) ( ) 0. b t a fx t fxdx → +? = ∫ 提示:利用定理4.5.2. 41. 设f是 1 R上的L可积函数, g是 1 R上的有界L可测函数. 证明函数 1 () ( ) ( ) , R I tfxtgxdx=+ ∫ ∈t . 1 R 是 1 R上的连续函数. 129 42. 设f是 1 R上的可积函数, 并且对任意具有紧支集的连续函数g , 有 1 ()() 0. R fxgxdx= ∫ 证明0=f a.e.. 43. 设.,1,,, XxnYXEFE n ∈≥×∈ 证明 .)()2( .)()()1( 11 xxx n xnx n n FEFE EE ?=? = ∞ = ∞ = ∪∪ 44. 设),( AX和),( BY是两个可测空间, )(xf和)(yg分别是),( AX和 ),( BY上的可测函数. 证明)()(),( ygxfyxh =是),( BA××YX上的可测函数. 45. 设),,( μFX是一完备的?σ有限的测度空间, )),(,( 11 mRR M是一维 L测度空间, ),( txf是),, 1 mX m ×× × μ μ MR(上的可测函数. 若对几乎所有∈t 1 R , ),( tf ?是a.e.?μ有 限的, 则对几乎所有Xx∈ , ),( ?xf是a.e.?m有限的. 提示: 令},),(:),{( +∞== txftxA则.}),(:{ x Axtft =+∞= 考虑).)(( Am μ× 46. 设),( AX和),( BY是两个可测空间, μ是),( BA××YX上的测度.令 .),()( 1 A∈×= AYAA μμ 证明: (1) 1 μ是),( AX上的测度. (2) 若)(xf是),( AX上的可积函数, 则 1 () () . XXY f xd fxdμ μ × = ∫∫ 提示: (2)先考虑特征函数. 47. 设)(xf和)(yg分别是?σ有限测度空间),,( μAX和 ),,( μBY上的可积函数.证明)()(),( ygxfyxh =是),,( νμ××× BAYX上的可积函数, 并且 12 1 2 . () XY X Y hd f d gdμ μμμ × ×= ? ∫∫∫ . 48. 用Fubini定理证明当0≥ mn a或者 ∑∑ ∞ = ∞ = +∞< 11nm mn a时,成立 . 1111 ∑∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = mn mn nm mn aa 49. 证明 2 2 [0, ) [0, ) . (1 )(1 ) 2 dxdy yxy +∞ × +∞ = ++ ∫ π 50. 计算 22 0 1 ()(0). ax bx I eedxab x +∞ ?? =? < ∫ 51. 设=),( yxf , )( 222 22 yx yx + ? ),0,0(),( ≠yx .0)0,0( =f 证明 130 11 11 00 00 (, ) (, ) .f x y dx dy f x y dy dx ???? ?? ??≠ ???? ∫∫ ∫∫ 52. 计算积分 22 (1 ) 00 xy I ye dxdy +∞ +∞ ?+ = ∫∫ , 并且由此证明 2 0 . 2 x edx π +∞ ? = ∫ 53. 设),( yxf在]1,0[]1,0[ ×上L可积. 证明 111 00 0 (, ) (, ) . x y dx f x y dy dy f x y dx= ∫∫ ∫∫ 54. 设f在],0[ a上L可积, () () . a x ft gx dt t = ∫ 证明 00 . aa gdx fdx= ∫ ∫ . 提示: [, ] 0 () () () . a xa ft gx I tdt t = ∫ 55. 设E是 n R上的L可测集, f是E上有界的L可测函数, 并且存在0>M和 ,10 <<α 使得 ,}))(,({ α λ λ M xfExm <>∈ .0>λ 证明f在E上L可积. 56. 设f是 1 R上的L可积函数, .0>α 证明a.e..0)( 1 →nxf n α 提示: 先证明 1 1 1 () . R n fnxdx n α ∞ = <+∞ ∑ ∫ 57. 设),( AX和),( BY是两个可测空间, f是X到Y的映射. 使得对任意 ,B∈B 都有A∈ ? )( 1 Bf (称f是),( AX到),( BY的可测映射). 又设若μ是),( AX上 的测度. 证明: ).i( (逆像测度)集函数 B∈= ? BBfB )),(()( 1 μν 是),( BY上的测度(称之为μ关于f的逆像测度). ).ii( (积分的变量代换公式) 若g是),( BY上的可测函数, 则成立 () . XY gfd gdμ ν= ∫∫ 上式表示当等式一边的积分存在时, 等式另一边的积分也存在, 并且两边相等. 提示: 先对 B Ig =是特征函数证明. 58. 设}{ n f是可测函数列. 称}{ n f是一致可积的, 若 {} 1 lim sup 0. n n k fk n fdμ →∞ > ≥ = ∫ 131 证明: }{ n f是一致可积的当且仅当}{ n f满足 ).i( }{ n f是一致积分绝对连续的, 即对任意,0>ε 存在,0>δ 使得当,F∈A δμ <)(A时, 成立(1). n A fd nμε<≥ ∫ ).ii(}{ n f是一致积分有界的, 即.sup 1 +∞< ∫ ≥ μdf n n 59. 设}{ n f是可测函数列. 证明若}{ n f满足以下条件之一: ).i( 存在可积函数,g 使得.1,a.e. ≥≤ ngf n ).ii( 存在1>p使得 ∫ +∞< ≥ .sup 1 μdf p n n 则}{ n f是一致可积的. 60. 设+∞<)(Xμ , }{ n f是可积函数列, f为可测函数. 证明: ).i(若}{ n f是一致可积的并且,ff n ?→? μ 则f是可积的并且 ∫ =? ∞→ .0lim μdff n n ).ii(若f可积并且 ∫ =? ∞→ ,0lim μdff n n 则}{ n f是一致可积的并且.ff n ?→? μ ).iii(利用这个结果, 给出当+∞<)(Xμ时控制收敛定理的另一个证明. 提示: 利用定理3.2.5, Fatou引理和等式 . CC nn n AAA f fdffdfdfdμ μμμ?≤?+ + ∫∫∫∫ 61. 叙述并且证明关于复值可测函数积分的控制收敛定理.