33 习 题 一 1. 证明以下各式: ∪∪∩∪ n i n i m j ji m j ji c BABA BAABA 1111 ).().2( ).().1( ==== ?=? ∩∪=∪ () ∪∪ TtTt tt BABA ∈∈ ∩=∩ .)().3( .)().4( ∩∪ Tt t Tt t AEAE ∈∈ ?=? .)().5( ∪∩ Tt t Tt t AEAE ∈∈ ?=? ).()()().6( CBCACBA ∩?∩=∩? 2. 设}{ n f是 1 R上的一列实值函数, 满足,)()( 21 null≤≤ xfxf ∈x 1 R . 并设}{ n f 存在极限函数).(xf 证明对任意实数c, 成立 .})(:{})(:{).i( 1 ∪ ∞ = >=> n n cxfxcxfx .})(:{})(:{).ii( 1 ∩ ∞ = ≤=≤ n n cxfxcxfx 3. 设}{ n f是 1 R上的一列实值函数. 证明 ∩∪∩ 11 }.)(:{})(lim:{ ≥≥≥ ∞→ >=+∞= km mn nn n kxfxxfx 4. 设?E , n R ∈a , n R 记}.:{ ExxaEa ∈+=+ 证明若∈BA,, n R ∈a , n R 则 .)().ii( ).()().i( cc AaAa BaAaBAa +=+ +∩+=∩+ 5. 设.1),,0(), 1 ,0( 212 ≥== ? nnA n A nn 求.limlim n n n n AA ∞→ ∞→ 和 6. 设}{ n f是 n R上的一列实值函数, , n A R? 并且在 n R上 ).()()( ∞→→ nxIxf An 证明.}21)(:{lim Axfx n n =≥ ∞→ 7. 设f是X到Y的映射, Ttt A ∈ }{是X中的一族集. 证明 (i). ( ). tt tT tT f AfA ∈∈ ?? ?? =? ? ? ? ? ?? ∪∪ 34 (ii). ( ). tt tT tT f AfA ∈∈ ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ∩∩ ).iii(给出一个例子, 使得).()()( BfAfBAf ∩≠∩ 8. 设f是X到Y的映射, Ttt A ∈ }{是Y中的一族集, .YA? 证明 .)().ii( .)().i( 11 11 ∩∩ ∪∪ Tt t Tt t Tt t Tt t AfAf AfAf ∈ ? ∈ ? ∈ ? ∈ ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? .))(()().iii( 11 cc AfAf ?? = 此外, 若,: YXf → ,: ZYg → 则对ZA?成立 )).(()()().iv( 111 AgfAfg ??? =null 9. 证明关于特征函数的如下等式: (1). ).()()()( xIxIxIxI BABABA ∩∪ ?+= (2). ).()()( xIxIxI BABA = ∩ (3).若}{ n A是X的一列互不相交的子集, , 1 ∪ ∞ = = n n AA则.)()( 1 ∑ ∞ = = n AA xIxI n (4). 若,, YBXA ?? 则).()()( xIxIxI BABA = × (5). 设}{ n A是一列集, ,lim n n AA ∞→ = .lim n n AB ∞→ =则),(lim)( xIxI n A n A ∞→ = ).(lim)( xIxI n A n B ∞→ = 10. 设A是无限集, B是可数集. 证明若存在一个A到B的单射,f则A是可数集. 11. 证明可数集的有限子集的全体是可数集. 12. 设)(xf是]1,0[上的实值函数, 并且存在,0>M 使得对]1,0[中的任意有限个不 同的数,, 1 n xx null 均有 .)()( 1 Mxfxf n ≤+null 证明}0)(:]1,0[{ ≠∈= xfxA是至多 可数集. 提示: ∪ ∞ = = 1 , k k AA 其中}.)(:]1,0[{ 1 kk xfxA >∈= 13. 证明以有理数为端点的区间只有可数个. 14. 设A是 1 R中的不可数集. 证明存在,Ax∈ 使得对任意,0>ε ),( εε +?∩ xxA不是可数集. 提示: 利用上题的结果.. 35 15. 设A是 1 R中的可数集. 证明},:{ AyxyxE ∈?=是可数集. 16. 设A是 1 R中的可数集. 证明存在∈ 0 x , 1 R 使得.)( 0 ?=+∩ AxA 提示: 令},,:{ AyxyxE ∈?= 则. 1 ?≠?ER 17. 证明]1,0[]1,0[ × ~ ].1,0[ 18. 设}{ n A是环R中的一列集. 证明存在R中一列互不相交的集},{ n B 使得 ∪∪∪∪ ∞ = ∞ === == 1111 ., i i i i n i i n i i BABA 19. 证明: 集类A是一个代数当且仅当A是一个包含全空间X的环.. 20. 若F为代数并且对不相交可数并运算封闭, 则F为?σ代数. 21. 设X是一无限集. 证明 ).i( 令 A }.:{是有限集或 c AAA= 则A是X上的一个代数, 但不是σ -代数. ).ii(令 F AA:{=或 c A是至多可数集} 证明F是代数?σ . 22. 设F是X上的?σ代数, .XE ? 令}.:{ FF ∈∩= AAE E 证明 E F是E上的 ?σ代数. 23. 设A是X的一个非空真子集. 证明)(Aσ },,,{ c AAX?= . 24. 举例说明X上的两个?σ代数的并不一定是?σ代数. 25. 设.XA? 令}.:{ XEAE ??=C 求).(Cσ 26. 设C为一半环, )(CR是由C生成的环. 证明)).(()( CRC σσ = 27. 设C是一非空集类. 证明对每个∈A ),(Cσ 都存在中一列集},{ n A 使得 ).1,( ≥∈ nAA n σ 提示: 令F ={A: 存在,}{ C? n A使得)}1,( ≥∈ nAA n σ . 证明F是包含的C 的?σ代数. 28. 设YXf →:是X到Y的映射, C是Y上的集类. 证明 )).(())(( 11 CC σσ ?? = ff 其中}.:)({)( 11 CC ∈= ?? EEff 提示: 令F ))}.(()(),(:{ 11 CC ?? ∈∈= fAfAA σσ 则F是一个?σ代数. 29. 设∈ 0 x n R , r>0. 证明 ).i( 0 x的邻域?r ),( 0 rxU是开集. ).ii(),( 0 rxS = }),(:{ 0 rxxdx ≤是闭集. 36 ).iii( ).,(),( 00 rxSrxU = 30. 设?BA, . n R 证明 ).i( .)( nullnullnull BABA ∩=∩ ).ii(,)( BABA ′∪′=′∪ .BABA ∪=∪ 31. 设?A , n R 证明A的闭包A和A的导集A′都是闭集. 32. 设?BA, , n R .?=∩BA 证明.?=∩ null BA 33. 证明定理1.4.9. 34. 设?A , n R ∈x . n R 定义x与A的距离为),(inf),( yxdAxd Ay∈ = . 证明: ).i( 函数),()( Axdxf =是 n R上的连续函数. ).ii( 若A是闭集, .Ax? 则.0),( >Axd ).iii( 若A是有界闭集, 则对任意∈x , n R 存在Ay ∈ 0 使得 ).,(),( 0 Axdyxd = 35. 设)(xf是 n R上的实值函数. 证明)(xf在 n R上连续的充要条件是对任意 常数c, 集})(:{ cxfx ≤和})(:{ cxfx ≥都是闭集. 36. 证明: 每个闭集可以表示成可数个开集的交,每个开集可表示成可数个闭集的并. 37. 证明空集和全直线是直线上仅有的又开又闭的集. 提示: 利用直线上开集的构造定理. 38. 设?A . n R 证明若A′是可数集, 则A是可数集. 提示: 先证明若,?=′A 则A是有限集或者可数集. 39. 设f是 1 R上的实值函数. 证明f的连续点的全体是一个 δ G型集. 提示: .})(lim:{ 1 ∩ ∞ = → = n n ax Gxfa存在并且有限 其中 }. 1 )()(),,(,,0:{ n xfxfaUxxaG n <′′?′∈′′′?>?= δδ 40. 设}{ n f是 1 R上的一列连续函数. 证明}0)(lim:{ > ∞→ xfx n n 是 σ F型集, })(lim:{ +∞= ∞→ xfx n n 是 δ G型集. 提示: 0)(lim > ∞→ xf n n 当且仅当存在N∈k和,N∈m 使得对任意 ,mn ≥ .1)( kxf n ≥ 41. 设f是],[ ba上单调增加的实值函数, 使得)],[( baf在)](),([ bfaf中稠密. 证明f在],[ ba上连续. 42. 分别在以下情形下, 证明)()( 1 RBC =σ : 37 (1). C是直线上型如),[ ∞+a区间的全体. (2). C是直线上有界左开右闭区间],( ba的全体. (3). C是直线上有界左开右闭区间],( ba的全体生成的环, 即 }.1],(,],,(:],({ , 11 1 ≥= = kbababa kk k i ii 互不相交其中null ∪ C 43. 设?A , n R ∈ 0 x . n R 证明若∈A ),( n RB 则∈+ Ax 0 ).( n RB其中 }.:{ 00 AxxxAx ∈+=+ 提示: 设C是直线上有界左开右闭区间],( ba的全体. 令 F )}(:)({ 0 nn AxA RR BB ∈+∈= . 证明F是包含的C的?σ代数.