116 §4.6 乘积测度与Fubini定理 教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理 —Fubini定理. 本节要点 乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理. Fubini定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积 分顺序的定理.Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用. 设X和Y是两个非空集, ., YBXA ?? 称BA×为YX ×中的矩形(定义 ?=×??=?× BA , ). 例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即 1 R =× 1 R . 2 R 当A和B是直线上的有 界区间时, BA×就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间, 但可以将 1 R =× 1 R 2 R这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形具有如 下性质(图6—1): (1). ).()()()( 21212211 BBAABABA ∩×∩=×∩× (2). )].()[(])[()()( 21211212211 BBAABAABABA ?×∩∪×?=×?× 图6-1 设),,( μAX和),,( νBY是两个测度空间. 若,A∈A ,B∈B 则称BA×为可测矩形. 设 C是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证C是一个半环. 由C生成的代数?σ )(Cσ称为A与B的乘积σ -代数, 记为.BA× )()( 21212 BBAAE ?×∩= 1211 )( BAAE ×?= X 1 A nullnullnull nullnullnullnull nullnull 2 A 1 E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 B 1 B Y nullnullnullnullnullnullnull 2 E 117 在C上定义一个非负值集函数如下. 对任意∈×BA C , 令 ).()())(( BABA νμνμ ?=×× (1) 定理1 由(1)式定义的集函数νμ×是C上的测度. 证明 显然0))(( =?×νμ . 往证νμ×在C上是可数可加的. 设BA×是一个可测矩 形, }{ nn BA ×是一列互不相交的可测矩形使得 1 . nn n AB A B ∞ = ×= × ∪ 由于}{ nn BA ×是 互不相交的, 故成立 .)()()()( 1 ∑ ∞ ? = n BABA yIxIyIxI nn 对任意固定的,Yy∈ 将上式两边对x积分并利用单调收敛定理得到 .)()()()( 1 ∑ ∞ = = n BnB yIAyIA n μμ 再对y积分得到.)()()()( 1 ∑ ∞ = ?=? n nn BABA νμνμ 这就是 .))(())(( 1 ∑ ∞ = ××=×× n nn BABA νμνμ 即νμ×在C上是可数可加的. 因此νμ×是C上的测度. ■ 设R是由C生成的环, 即 }.1,,,:{ 1 1 ≥== = kEEEA k k i i 是互不相交的可测矩形 ∪ R 注意由于∈×YX ,R 故R实际上是一个代数. 按下面的方式将νμ×延拓到R上. 若 ∈E ,R E的一个分解式为, 1 ∪ k i ii BAE = ×= 则令 .)()())(( 1 ∑ = ?=× k i ii BAE νμνμ (2) 由§2.2.引理7, ))(( BA××νμ的值不依赖于BA×的分解式的选取. 由定理1和§2.2定理8 立即得到如下定理. 定理2 由(2)式定义的集函数νμ×是R上的测度. 设 ? × )( νμ是由νμ×导出的外测度, νμ× M是 ? × )( νμ可测集的全体所成的?σ代数. 由§2.2定理5, ? × )( νμ在 νμ× M上是一个测度, 称这个测度为μ和ν的乘积测度, 仍记为 118 νμ× . 称测度空间),,( νμ νμ ×× × MYX为),,( μAX与),,( νBY乘积空间. 由§2.2.定理 10, 测度空间),,( νμ νμ ×× × MYX是完备的. 容易证明若μ和ν都是?σ有限的, 则 νμ×也是?σ有限的(其证明留作习题). 由第一章习题第26题的结果知道)(Cσ = ).(Rσ 由BA×的定义和§2.2定理5, BA× = )(Cσ = ?)(Rσ νμ× M . 因此νμ×也是BA×上的测度. 有时也称测度空间),,( νμ××× BAYX为),,( μAX与 ),,( νBY乘积空间. 下面我们将证明Fubini定理. 为此需要作一些准备. 设., XxYXE ∈×? 称集 }),(:{ EyxYyE x ∈∈=为E在x的截口. 类似地, 对,Yy∈ 称集 }),(:{ EyxXxE y ∈∈=为E在y的截口. 注意 x E和 y E分别是Y和X的子集(图6—2). 图6—2 容易验证关于截口成立 ,)()().i( 11 ∪∪ ∞ = ∞ = = n xnx n n EE .)().ii( xxx FEFE ?=? 同样, 关于y的截口也成立类似的性质. 定理3 设),,( μAX和),,( νBY是两个?σ有限的测度空间, ∈E BA× . 则 ).i(对任意,Xx∈ 必有.B∈ x E ).ii( )( x Eν和是),,( μAX上的可测函数. 并且成立等式 ∫ =× .)())(( μννμ dEE x (3) X Y x E y E x y E ? ? ? ? ? ? ? nullnullnullnullnullnullnullnullnull 119 证明 ).i(设C是可测矩形的全体. 令 F }.,:{ BBA ∈∈×∈= x EXxE对任意 若∈×= BAE ,C 则当Ax∈时, .BE x =当Ax?时, .?= x E 故对任意 ,Xx∈ .B∈ x E 因此.FC ? 利用截口的性质容易证明F是一个σ -代数. 因此得到 =×BA ?)(Cσ .F 即对任意Xx∈必有.B∈ x E )ii(先设.)( +∞<Yν 由本定理的结论),i( 对任意,Xx∈ 必有.B∈ x E 故函数 )( x Eν有意义. 令 }.)(:{可测的是ABAF x EE ν×∈= 若BAE ×=是一个可测矩形, 则)()()( xIBE Ax νν =是A可测的. 这表明.FC ? 往证 F是一个λ类. 显然∈×YX .F 设∈FE, F并且.FE ? 注意到,)()( +∞<≤ YF x νν 我们有 ).()()())(( xxxxx FEFEFE νννν ?=?=? 故))(( x FE ?ν是A可测的. 因此∈?FE ,F 即F对包含差运算封闭.再设?}{ n E F 并且. ↑n E 则.)( ↑xn E 于是有 ).)((lim))(())(( 11 xn n n xnx n n EEE ννν ∞→ ∞ = ∞ = == ∪∪ 由上式看出))(( 1 x n n E ∪ ∞ = ν是A可测的. 因此∈ ∞ = ∪ 1n n E ,F 即F对单调增加的集列的并运算 封闭. 所以F是包含C的一个λ类. 注意到C是一个π类. 由§1.3.推论12, 我们有 =×BA ?)(Cσ .F 即对任意∈E BA× , )( x Eν是A可测的. 若.)( +∞=Yν 由于),,( νBY是?σ有限的, 因此存在Y的一列互不相交的可测集}{ n Y使得+∞<)( n Yν并且 1 . n n YY ∞ = = ∪ 对每个 ,1≥n 在B上定义测度 ∈∩= BYBB nn ),()( νν .B 则.)()( +∞<= nn YY νν 设∈E BA× . 则由上面所证, 每个,1≥n )( xn Eν是A可测的. 我们有 .)()())(()( 111 ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = =∩=∩= n xn n nx n nxx EYEYEE νννν ∪ 由此可见)( x Eν是A可测的. 在BA×上定义集函数λ如下: ∈= ∫ EdEE x ,)()( μνλ BA× . 120 则λ是非负值集函数并且.0)( =?m 设}{ n E是BA×中的一列互不相交的集. 则由单调 收敛定理得到 .)())(( ))(())(()( 11 111 ∑ ∫ ∑ ∫∫ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = == == n n n xn n xnx n n n n EdE dEdEE λμν μνμνλ ∪∪∪ 即λ是可数可加的. 故λ是BA×上的测度. 若BAE ×=是一个可测矩形, 则 ).)(()()(.)()()()( EBAdxIBdEE Ax νμνμμνμνλ ×=?=== ∫ ∫ 故在C上.νμλ ×= 测度的有限可加性蕴涵在由C生成的环R上.νμλ ×= 由于μ和ν 都是?σ有限的, 容易知道λ和νμ×也是?σ有限的(参见习题). 由§2.2定理6知道在 BA×上.νμλ ×= 这表明对任意∈E ,BA× (3)式成立.■ 注1 由定理3, 我们也可以用(3)式来定义BA×上的乘积测度,νμ× 这样定义的 νμ×与我们前面定义的 νμ× M上的乘积测度νμ×在BA×上是一致的. 但是这样得到的 乘积测度空间),,( νμ××× BAYX一般说来不是完备的. 本节所用的定义乘积测度的方 式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间),,( νμ νμ ×× × MYX , 这样就避免了对 ),,( νμ××× BAYX再进行完备化的讨论. 引理4 设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的测度空间, 若∈E νμ× M并且 .0))(( =× Eνμ 则对几乎所有,Xx∈ B∈ x E并且a.e.,0)( = x Eν 证明 由§2.2定理11, 存在∈F =)(Rσ ,BA× 使得EF ?并且 .0))(())(( =×=× EF νμνμ 定理3 )ii(蕴涵a.e.0)( = x Fν 由于B关于ν是完备的, 因此由 xx FE ?得到 ∈ x E a.e.,B并且a.e.0)( = x Eν .■ 定理5 设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的?σ有限的测度空间, ∈E νμ× M . 则 ).i(则对几乎所有,Xx∈ 必有.B∈ x E ).ii()( x Eν是),,( μAX上的可测函数. 并且成立等式 ∫ =× .)())(( μννμ dEE x (4) ).iii(若),( yxf是),,( νμ νμ ×× × MYX上的可测函数, 则对几乎所有,Xx∈ 函数 ),()( yxfyf x =是),,( νBY上的可测函数. 证明 设∈E νμ× M . 由§2.2定理13, 存在∈F BA× 和∈N νμ× M , ,0))(( =× Nνμ使得.NFE ?= 由引理4, ∈ x N a.e.,B并且a.e.0)( = x Nν 再利用定 理3, 我们有∈?= xxx NFE a.e.,B 因此)i(得证. 由定理3, )( x Fν是A可测的. 由于 121 A关于μ是完备的, 并且 a.e.),()()()( xxxx FNFE νννν =?= 故)( x Eν是A可测的(参见第三章习题第7题). 注意到,0))(( =× Nνμ 由定理3 )ii( , ∫∫ ==×=× ).()())(()))(( xx EdFFE ννννμνμ 即(4)成立. 因此)ii(得证. 由于对任意实数,a ∈< }),(:),{( ayxfyx νμ× M .于是由结论 )i( , 对几乎所有,Xx∈我们有 ∈<=<∈ x ayxfyxayxfYy }),(:),{(}),(:{ .B 即),()( yxfyf x =是),,( νBY上的可测函数. 因此)iii(得证.■ 由对称性,关于 y E和)(( y Eμ成立类似于定理3,引理4和定理5的结果. 设),,( μAX和),,( νBY是两个测度空间, ),( yxf是YX ×上的可测函数. 若对几乎 所有固定的,Xx∈ ),( yxf在Y上的积分存在. 记() (, ) . Y gx fxydν= ∫ ( )(xg可能在 一个?μ零测度集上没有定义, 在这个零测度集上令)(xg =0). 若)(xg是X上的可测函数 并且在X上的积分存在, 则称f的二次积分存在, 并且称() X gxdμ ∫ 为f的二次积分,记 为 () XY fddν μ ∫∫ 或. XY dfdμ ν ∫∫ 类似可以定义另一个顺序的二次积分. YX dfdν μ ∫∫ 关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系, 我们由如下的定理. 这 是本节最主要的结果 定理6 (Fubini理)设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的?σ有限的测度空间. 则 ).i(若f是),,( νμ νμ ×× × MYX上的非负可测函数, 则() (, ) Y I xfxydν= ∫ 和 () (,) X Jy fxydμ= ∫ 分别是X和Y上的非负可测函数. 并且成立 XY fdμ ν × ×= ∫ () XY fddν μ ∫∫ = ( ) . YX fddμ ν ∫ ∫ (5) ).ii(若f是),,( νμ νμ ×× × MYX上的可积函数, 则() (, ) Y I xfxydν= ∫ 和 () (,) X Jy fxydμ= ∫ 分别是关于μ和ν可积的. 并且(5)成立. 证明 ).i(由对称性, 只需证明() (, ) Y I xfxydν= ∫ 是X上的非负可测函数, 并且 XY fdμ ν × ×= ∫ () XY fddν μ ∫ ∫ (6) 先设 E If =是特征函数, 其中∈E νμ× M . 由定理5 )i( , 对几乎所有,Xx∈ ∈ x E .B 于是 (, ) () ( ). x EEx YY I xyd I yd Eννν== ∫ ∫ a.e..?μ 122 由定理5 )ii( , )( x Eν是X上的可测函数. 并且 ( ) ..)()()( μνμννμνμ ddIdEEdI XY E X x YX E ∫∫∫∫ ==×=× × 这表明当f是特征函数时, () (, ) Y I xfxydν= ∫ 是X上的非负可测函数并且(6)成立. 由 积分的线性性质知道, 当f是非负简单函数时, )(xI是X上的非负可测函数并且(6)成立. 一般情形, 设f是非负可测函数. 则存在非负简单函数列}{ n f使得.ff n ↑ 由上面的证明, () (, ) nn Y I xfxydν= ∫ 是X上的非负可测函数. 由单调收敛定理得到 (, ) (, ) . n YY f xyd fxydν ν↑ ∫∫ 因此)(xI是X上的非负可测函数. 再对函数列}{ n I应用 单调收敛定理, 我们有 () () lim lim . nn nnXY XY X Y X Y f dfd fdfdμ νμν νμνμ →∞ →∞×× ×= ×= = ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ 即(6)成立. 因此)i(得证. ).ii(由对称性, 我们只需证明)(xI是关于μ可积的, 并且(6)成立. 由)i(的结论, (, ) Y f xydν + ∫ 和(, ) Y f xydν ? ∫ 是X上的非负可测函数. 因此)(xI是X上的可测函数. 对 + f和 ? f分别运用(6), 我们有 ()() () . XY XY XY XY XY XY fd f d f d f dd fdd fd d μν μν μν ν μνμ νμ +? ×× × ×= ×? × =? = ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 注意由于f是关于νμ×可积的, 故上式中出现的积分都是有限的, 因此作减法运算是允许 的. 这就证明了)(xI是关于μ可积的, 并且(6)成立.■ 推论7 设),,( μAX和),,( νBY是两个完备的?σ有限的测度空间, f是 ),,( νμ νμ ×× × MYX上的可测函数. 若 YX dfdνμ<+∞ ∫ ∫ 或 , XY dfdμν<+∞ ∫ ∫ 则f可积并且成立 XY fdμ ν × ×= ∫ XY dfdμ ν ∫ ∫ = . YX dfdν μ ∫ ∫ (7) 证明 设+∞< ∫∫ XY dfd μν . 由Fubini定理, 我们有 XY fdμ ν × ×= ∫ . YX dfdνμ<+∞ ∫ ∫ 123 即f可积. 再由Fubini定理即知(7)成立. ■ 注2 在Fubini定理中, 若),( yxf是可积的. 则由于() (, ) Y I xfxydν= ∫ 是关于μ可 积的. 因此函数)(xI几乎处处有限. 这表明对几乎所有,Xx∈ ),()( yxfyf x =是关于ν 可积的. 同理, 对几乎所有,Yy∈ 函数),()( yxfxf y = 是关于μ可积的. 注3在Fubini定理中, 若去掉),,( μAX和),,( νBY是完备的这个条件, 则当f是 ),,( νμ××× BAYX上的非负可测函数或可积函数时, 定理的结论仍成立. 其证明与定理 6的证明是类似的. 只是此时不用定理5而直接引用定理.3就可以了. 例1 设),,( μAX是一个?σ有限的测度空间, f是X上的非负可测函数, .1 +∞<≤ p 则 1 0 ({ : ( ) }) . pp f dpt xfxtdtμμ +∞ ? => ∫∫ 证明 令},0)(:),{( ≥>= txftxE 则}.)(:{ txfxE t >= 显然txf ?)(是乘积空 间)),(,( 11 mX ××× μRR MF上的可测函数, 故 ∈>?= }0)(:),{( txftxE )( 1 RMF × . 因此函数),()( txIxI EE t =是关于)( 1 RMF × 可测的. 由Fubini定理我们有 () 1 0 1 {: ( ) } 0 1 {: ( ) } 0 1 0 () () () ({ : ( ) }) . fx pp XX p xf x t X p xf x t X p fxddptdt dptI xdt ptdt I xd ptxfxtdt μμ μ μ μ ? +∞ ? > +∞ ? > +∞ ? = = = => ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ■ 下面我们将本节的结果用到 n R上的Lebesgue积分上去. 定理8 设)( 1 RB和)( 2 RB分别是 1 R和 2 R上的Borelσ -代数, 1 m和 2 m分别是 1 R和 2 R上的Lebesgue测度. 则×)( 1 RB =)( 1 RB )( 2 RB并且在)( 2 RB上. 211 mmm =× 即 =××× )),()(,( 11 1111 mmRRRR BB ).),(,( 2 22 mRR B 证明 设R是 2 R中的左开右闭方体的全体生成的环, R′是由 2 R中的Lebesgue可测 矩形的全体生成的环. 则=)(Rσ ),( 2 RB =′)(Rσ ×)( 1 RB ).( 1 RB 由于?R R′, 故 =)( 2 RB =′? )()( RR σσ ×)( 1 RB ).( 1 RB 反过来, 令 1 p和 2 p是 2 R到 1 R的投影函数, 即.,),( 1 xyxp = yyxp =),( 2 . 则 1 p和 2 p 都是连续的, 因而是 2 R上的Borel可测函数. 由§3.1定理2, 若∈BA,)( 1 RB , 则 ∈ ? )( 1 1 Ap )( 2 RB , ∈ ? )( 1 2 Bp ).( 2 RB 于是 124 ).()()()()( 21 2 1 1 11 RRR B∈∩=×∩×=× ?? BpApBABA 故?′R ).( 2 RB 于是×)( 1 RB =)( 1 RB ?′)(Rσ ).( 2 RB因此 ×)( 1 RB =)( 1 RB )( 2 RB . 由乘积测度的定义容易知道在R上. 211 mmm =× 由§2.2定 理6知道在)(Rσ上. 211 mmm =× 即在)( 2 RB上面. 211 mmm =× ■ 定理9 两个一维Lebesgue测度空间的乘积测度空间是二维Lebesgue测度空间, 即 =×× × ),,( 11 11 mm ii mm MRR ).),(,( 2 22 mRR M (8) 证明 仍设R , R′, 1 m和 2 m如定理8. 由定理8, =××× )),()(,( 11 1111 mmRRRR BB ).),(,( 2 22 mRR B 此即 =×′× )),(,( 11 11 mmRσRR ).),(,( 2 2 mRσR 由§2.2定理15, ),,( 11 11 mm ii mm ×× × MRR和)),(,( 2 22 mRR M分别是 )),(,( 11 11 mm ×′× RσRR和)),(,( 2 2 mRσR的完备化空间. 因此(8)成立.■ 推论10 设f是 2 R上的非负L可测函数或L可积函数.则成立 2 R f dxdy= ∫ dy f dx ∫ ∫11 RR = .dx f dy ∫ ∫11 RR 特别地, 当dy f dx<+∞ ∫∫11 RR 或者dx f dy<+∞ ∫ ∫11 RR 时, 成立 dy f dx ∫∫11 RR = .dx f dy ∫ ∫11 RR (我们将 2 R上的L积分记为 2 . R f dxdy ∫ ) 证明 将定理6和推论7应用到乘积空间),,( 11 11 mm ii mm ×× × MRR上, 并利用定理9 即得. ■ 显然, 对 p R与 q R的乘积空间 qp+ R的情形,成立与推论10类似的结果. 例2 计算 0 sin ()(0). ax bx x I eedxab x +∞ ?? =?< ∫ 解 我们有 00 sin () sin. b ax bx xy a x e e dx dx e xdy x +∞ +∞ ?? ? ?= ∫∫∫ 由于 00 1 sin ln . bbb xy xy aaa b dy e x dx dy e dx dy y a +∞ +∞ ?? ≤==<+∞ ∫∫ ∫∫ ∫ 由Fubini定理(推论7), 我们有 00 2 sin sin 1 arctg arctg . 1 bb xy xy aa b a I dx e xdy dy e xdx dy b a y +∞ +∞ ?? == ==? + ∫∫ ∫∫ ∫ 125 小 结 本节首先介绍了测度空间的乘积空间.乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定 理. 本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理—Fubini定理. Fubini定理 是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用. 习 题 习题四, 第43题—第57题.