I 引 言 Riemann 积分理论的缺陷 在数学分析课程中我们已经熟悉 Riemann 积分 . Riemann 积 分对处理连续函数和几何 , 物理中的计算问题时候是很有效的 . 但是 Riemann积分在理论使 存在一些缺陷 . 主要表现在以下几个方面 : 1. 可积函数对连续性的要求 . 设 )(xf 是定义在区间 ],[ ba 上的有界实值函数 . 又设 bxxxa n =<<<=" 10 是 ],[ ba 的一个分划 . 对每个 ,,,1 ki"= 令, ]}.,[:)(sup{,]},[:)(inf{ 11 iiiiii xxxxfMxxxxfm ?? ∈=∈= 并且令 1 1 max ? ≤≤ ?= ii ni xxλ . 则 )(xf 在 ],[ ba 上可积的充要条件是 ∑ = ? → =?? n i iiii xxmM 1 1 0 0))((lim λ . 其几何意义就是曲线 )(xfy = 的下方图形 (曲边梯形 )的外接阶梯形与内接阶梯形面积之差 趋于零 (如图 ). 因此为保证 )(xf 在 ],[ ba 上可积 , )(xf 在 ],[ ba 上的不连续点不能太多 . 由于 Riemann 积分对被积函数的连续性要求太强 , 这样就限制了 Riemann 积分的应用 . 例如 Dirichlet 函数 1 () 0. x Dx x ? ? ? = ? ? ?? 若 为有理数 若为无理数 在 ]1,0[ 上不满足条件 (1). 因此 )(xD 在上不是 Riemann 可积的 . 2. 积分与极限顺序的交换 X Y O 1 x b a )(xf 2 x 1?i x i x 1?n x i m i M II 在数学分析中 , 经常会遇到积分运算和极限运算交换顺序的问题 . 设 )}({ xf n 是 ],[ ba 上的连续函数列 ,并且 lim ( ) ( ), n n f xfx →∞ = [, ].x ab?∈ 一般情况下 , )(xf 未必在 ],[ ba 上可积 . 即使 )(xf 在 ],[ ba 上可积 , 也未必成立 lim ( ) ( ) . bb n n aa f xdx f xdx →∞ = ∫∫ 为使 )(xf 在 ],[ ba 上可积并且 (2)成立 , 充分条件是 )}({ xf n 在 ],[ ba 上一致收敛于 )(xf (这不是必要条件 , 例如考虑函数 ]1,0[ 上的函数列 n n xxf =)(),2,1("=n ). 这个条 件太强并且不易验证 . 3. 可积函数空间的完备性 . 设 ],[ baR 是 ],[ ba 上 Riemann 可积函数的全体 . 在 ],[ baR 上定义距离 1 2 2 ( , ) ( () () ) b a dfg fx gx dx=? ∫ , ∈gf ,],[ baR . 则 ],[ baR 称为一个距离空间 (确切涵义将在泛函分析部分叙述 ). 设 }{ n f 是 ],[ baR 中序列 , ∈f ],[ baR . 若 ,0),(lim = ∞→ ffd n n 则称 }{ n f 按距离收于 .f ],[ baR 中序列 }{ n f 称为是 Cauchy 序列 , 若对任意 0,>ε 存在 ,0>N 使得当 Nnm >, 时 , .<ε),( nm ffd 有例子 表明 , 在 ],[ baR 中并非每个 Cauchy 序列都是收敛的 , 即 ],[ baR 不是完备的空间 . 而空间 的完备性在泛函分析理论中是非常重要的 . 因此 ],[ baR 不是作为研究对象的理想空间 . 以上几点表明 , Riemann 积分有不少缺陷 , 这就限制了 Riemann 积分的应用 , 因此有必 要加以改进 . 二十世纪初 , 法国数学家 Lebesgue(1875-1941)创建了一种新的积分理论 , 称之 为 Lebesgue 积分 . Lebesgue 积分理论是 Riemann 积分理论的推广和发展 . 并且克服了 Riemann 积分的上述缺陷 . Lebesgue 积分的大体思路 . 设 )(xf 为 ],[ ba 上的有界实值函数 . 前面已经提到 , 为 使 ()f x 在 ],[ ba 上 Riemann 可积 , 必须 ∑ = ? → =?? n i iiii xxmM 1 1 0 0))((lim λ . 这样就要求振幅 ii M m? 比较大的那些小区间 1 [,] ii x x ? 的长度之和很小 . 因此那些在很多地 方振幅很大的不连续函数就不可积了 . 为了使得很多连续性不好的函数也可积 , Lebesgue 提出了一种新的积分思想 . 主要想 III 法就是不从分割区间 ],[ ba 着手 , 而是从分割函数的值域出发 . 为简单计 , 这里只考虑 () 0fx≥ 的情况 . 注意到 Riemann 积分的几何意义就是曲线 ()yfx= 的下方图形 () {(,): ,0 ()}Gf xy a x b y fx=≤≤≤≤的面积 . 因此可以用下面的方式计算 ()Gf面积 . 令 inf{ ( ) : [ , ]},mfxxab= ∈ sup{ ( ) : [ , ]}.M fx x ab= ∈ 对 [, ]mM的任意一个分划 01 n my y y M=<<<=", 令 1 {[,]: () }, iii Exaby fxy ? =∈ ≤ < 1, 2, ,in=". 则 i E 是区间 [, ]mM的子集 . 用 i E 表示 i E 的“长度” . 作和式 : 1 1 . n ii i yE ? = ∑ 它相当于 ()Gf的一个近似值 (如图 ). 令 1 max{ :1 } ii yy inλ ? =?≤. 则定义 ()f x 在 [,]ab上的 Lebesgue 积分为 : 1 0 1 (L) ( ) lim . n b ii a i f xdx y E λ ? → = = ∑ ∫ (如果上述极限存在 ). 这样定义积分的好处在于 , 由于在每个 i E 上 , ()f x 的振幅小于 ,λ 因此很多连续性不好的函数 (例如 Dirichlet 函数 )也可积了 . 但是按照 Lebesgue 的方式定义积分有一个很大的困难, 就是要给出 i E 的意义 . i E 应该是一种类似区间长度的东西 . 但是一般情况下 , i E 不是区间 , 甚至也不是有限个不相 交区间的并 . 因此必须对直线上比区间更一般的集 E , 给出一种类似于区间长度的度量 .为 此 , Lebesgue 建立了测度理论 , 并且在测度理论的基础上 , 建立了 Lebesgue 积分理论 . Lebesgue 积分理论为的建立近代分析理论打下了坚实的基础 . O x y ()f x 1 y 2 y 3 y 4 M y= 0 my= 1 E 12 222 EEE=∪ 4 E 1 2 E 2 2 E 1 3 E 2 3 E 12 333 EEE=∪ a b IV 本课程的大致内容 本课程很大一部分内容就是介绍 Lebesgue 测度理论 . 由于测度理 论要经常地遇到集的运算和欧氏空间上的各种点集 , 因此本课程首先要介绍集合论和欧氏 空间上点集的知识 . 然后介绍测度理论 . 由于 Lebesgue 测度理论并不能给直线上的每个集 定义测度 , 只能对一部分集即所谓 ’“可测集” 给出测度 , 因此要定义 ()f x 的 Lebesgue 积分 , 必须要求由 ()f x 产生的型如 1 {: () } ii Exy fxy ? =≤<的集是可测集,这样的函数称为可 测函数 . 只有对可测函数才能定义新的积分 , 因此在定义 Lebesgue 积分之前 , 需要讨论可测 函数的性质 . 作了这些准备后 , 就可以定义 Lebesgue积分了 . 并讨论 Lebesgue积分的性质及 其应用 . 总之 , 本课程的内容就是围绕建立 Lebesgue 积分理论而展开的 . 上面简单介绍了本课程主要思想和的大致内容 . 学习了本课程后 , 将会对这里所述内 容有更好的理解 .