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第二章 逻辑函数
主要内容
2.1 逻辑函数
2.2 逻辑函数的简化
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2.1 逻辑函数
逻辑代数 （ Logic Algebra） 是由英国数
学家乔治 ·布尔 (George Boole)于 1849年首
先提出的, 因此也称为布尔代数 （ Boolean
Algebra） 。 逻辑代数研究逻辑变量间的相互
关系, 是分析和设计逻辑电路不可缺少的数学
工具 。 所谓逻辑变量, 是指只有两种取值的变
量,真或假, 高或低, 1或 0。
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2.1.1 基本逻辑
逻辑变量之间的关系多种多样, 有简单的也有复
杂的, 最基本的逻辑关系有,逻辑与, 逻辑或和逻辑非
三种 。
1.逻辑与
只有当决定某事件的全部条件同时具备时，该事
件才发生，这样的逻辑关系称为逻辑与，或称逻辑相
乘。
2.1 逻辑函数
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在如图电路中, 只有当开关 S1和
S2同时接通时, 电灯 F才会亮 。 若以
S1,S2表示两个开关的状态, 以 F表
示电灯的状态, 用 1表示开关接通和
电灯亮, 用 0表示开关断开和电灯灭,
则只有当 S1和 S2同时为 1时, F才为 1，
F与 S1和 S2之间是一种与的逻辑关系 。
逻辑与运算的运算符为, ·”,写成
F=S1·Ｓ 2或 F=S1S2。
逻辑变量之间取值的对应关系可
用一张表来表示, 这种表叫做逻辑真
值表,简称真值表 。 与逻辑关系的真
值表如表所示 。
S 1 S 2
F
与逻辑电路
S1 S2 F
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
与逻辑的真值表
2.1 逻辑函数
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2.逻辑或
在决定某事件的诸多条件中,
当有一个或一个以上具备时, 该
事件都会发生, 这样的逻辑关系
称为逻辑或, 或称逻辑相加 。
在如图电路中, 当开关 S1和
S2中有一个接通 （ S1=1或 S2=1）
或一个以上接通 （ S1=1且 S2=1）
时, 电灯 F都会亮 （ F=1）, 因
此 F与 S1和 S2之间是一种或的逻
辑关系 。 逻辑或运算的运算符为
,+”,写成 F=S1+S2。 或逻辑
关系的真值表如表所示 。
或逻辑电路
F
S
1
S
2
或逻辑的真值表
S1 S2 F
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
2.1 逻辑函数
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3.逻辑非
在只有一个条件决定某事件
的情况下, 如果当条件具备时,
该事件不发生；而当条件不具
备时, 该事件反而发生, 这样
的逻辑关系称为逻辑非, 也称
为逻辑反 。
在如图电路中, 当开关 S接
通 （ S=1 ） 时, 电灯 F 不亮
（ F=0 ）, 而当开关 S 断开
（ S=0） 时, 电灯 F亮 （ F=1） 。
因此, F与Ｓ之间是逻辑反的关
系, 写成 F= 。 非逻辑关系的
真值表如表所示 。
S
非逻辑的真值表
S F
0
1
1
0
非逻辑电路
S F
2.1 逻辑函数
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4.其他常见逻辑运算
除了与, 或, 非三种最基本的逻辑运算外, 常
见的复合逻辑运算有,与非, 或非, 异或, 同或, 与
非与非, 或非或非等, 这些运算的表达式如下,
与非表达式,
或非表达式,
异或表达式,
同或表达式,
与非与非表达式,
或非或非表达式,
F AB
F A B
F A B A B A B
F A B AB A B
F AB C D
F A B C D
?
??
? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ?
以上这些复合逻辑运算的真值表分别如下表所示。
2.1 逻辑函数
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与非逻辑的真值表
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
2.1 逻辑函数
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或非逻辑的真值表
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
2.1 逻辑函数
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A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
异或逻辑的真值表
2.1 逻辑函数
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A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
1
同或逻辑的真值表
2.1 逻辑函数
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与非与非逻辑的真值表
2.1 逻辑函数
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或非或非逻辑的真值表
2.1 逻辑函数
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5 门电路
输出和输入之间具有一定逻辑关系的电路称为逻辑门电路, 简
称门电路 。 常用的门电路有与门, 或门, 非门, 与非门, 或非门,
与或非门, 异或门, 同或门等, 它们的逻辑符号如图所示 。
&
F
A
B
与门 F ＝ AB
≥1
F
A
B
或门 F ＝ A ＋ B
FA
非门 F ＝
1
A
&
F
A
B
与非门 F ＝ AB
≥1
F
A
B
或非门 F ＝ BA ?＋
≥1
F
A
B
与或非门 F ＝ CD AB ?＋
&
C
D
＝ 1
F
A
B
异或门 F ＝ BA ?
＝
F
A
B
同或门 F ＝ A ⊙ B
常用门电路的逻辑符号
2.1 逻辑函数
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1.逻辑函数
定理：任何逻辑关系都可表示为逻辑函数。
∵ 输入逻辑变量 A,B,C?输出运算结果 Y
∴ Y~A,B,C，记为 Y=F(A,B,C）
如果 A,B,C和 Y只取 0,1两个值，则叫二值逻辑函数。
例：楼道开关控制逻辑问题就是一个逻辑函数。 A和 B分别是
楼下、楼上的两个单刀双掷开关,P为楼道灯，任何时候均可在
楼下或楼上开关楼道灯。
若用 1表示开关掷上，用 0表示开关掷下，用 1表示灯亮，用 0
表示灯灭，则灯 P是开关 A,B,C的二值逻辑函数，即,P=F
（ A,B）
2.1.3 逻辑函数及其表示方法
2.1 逻辑函数
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2,逻辑函数的表示方法
逻辑函数常用的描述方法有函数式, 真值表, 卡
诺图和逻辑图等 。
1),函数式
由逻辑变量和逻辑运算符号组成, 用于表示变量
之间逻辑关系的式子, 称为逻辑函数式 。 常用的逻辑
函数式有与或表达式, 标准与或表达式, 或与表达式,
标准或与表达式, 与非与非表达式, 或非或非表达式,
与或非表达式等 。
2.1 逻辑函数
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与或表达式,
标准与或表达式,
或与表达式,
标准或与表达式,
与非与非表达式,
或非或非表达式,
与或非表达式,
F AB AC D
F A B C D AB C D AB CD
F ( A B ) ( A C D )
F ( A B C D ) ( A B C D ) ( A B C D )
F AB CD
F A B C D
F AB CD
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
2.1 逻辑函数
18重大通信学院 ?何伟
2),真值表
用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格,
称为真值表 。 例如, 在一个判奇电路中, 当 A,B,C
三个变量中有奇数个 1时, 输出 F为 1；否则, 输出 F为
0。 可列出下表所示的真值表 。
2.1 逻辑函数
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判奇电路的真值表
A B C F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
0
1
0
0
1
2.1 逻辑函数
20重大通信学院 ?何伟
3),卡诺图
将逻辑变量分成两组, 分别在横竖两个方向用循
环码形式排列出各组变量的所有取值组合, 构成一个
有 2n个方格的图形, 其中, 每一个方格对应变量的一
个取值组合, 这种图形叫做卡诺图 。 卡诺图分变量卡
诺图和函数卡诺图两种 。 在变量卡诺图的所有方格中,
没有相应的函数值, 而在函数的卡诺图中, 每个方格
上都有相应的函数值 。
2.1 逻辑函数
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如图为二～五个变量的卡诺图，方格中的数字为该方格
对应变量取值组合的十进制数，亦称该方格的编号。
0 1
2 3
A
B
0 1
0
1
( a )
0 1 23
A
BC
00 01
0
1
( b )
4 5 7 6
11 10
0 1 23
AB
CD
00 01
00
01
( c )
4 5 7 6
11 10
11 12 13 15 14
10 8 9 11 10
0 1 23
AB
C D E
0 0 0 0 0 1
00
01
( d )
4576
0 1 1 0 1 0
11
12131514
10
8 9 11 10
24 25 2627 28293130
2021232216 17 19 18
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0
(a)两变量 ;(b)三变量 ;(c)四变量 ;(d)五变量
2.1 逻辑函数
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一个四变量函数的卡诺图
0 1 10
AB
CD
00 01
00
01 1 1 1 0
11 10
11 0 0 0 1
10 0 1 1 0
如图为一个四
变量函数的卡诺图，
方格中的 0和 1表示
在对应变量取值组
合下该函数的取值。
2.1 逻辑函数
23重大通信学院 ?何伟
4),逻辑图
由逻辑门电路符号构成的, 用来表示逻辑变量之
间关系的图形称为逻辑电路图, 简称逻辑图 。 如图为
函数 ? ? ? ?F A B A ( B C ) (C D )的逻辑图。
≥1&
F
&
≥1
1
1
＝ 1
D
C
A
B
函数 F的逻辑图
2.1 逻辑函数
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2.1.4 逻辑函数相等和逻辑函数的基本公式
1,逻辑函数相等
定义：如果对应于输入变量的任一状态组合，输出变量
F和 G的值都相同，则称 F和 G是等值的，即 F=G。
由定义可知,F和 G的真值表相同 ?F=G
例 2-2(P20)
2.1 逻辑函数
2,逻辑函数基本公式
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( 1 ) 0 0 0
( 2 ) 0 1 0
( 3 ) 1 1 1
( 4 ) 0 0
( 5 ) 0
( 6 ) 1
( 7 ) 0
( 8 )
( 9 )
( 10 ) ( ) ( )
( 11 ) ( )
( 12 )
( 13 )
??
??
??
?
??
??
??
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
AA
AA
AA
A A A
A B B A
A B C A B C
A B C A B A C
A B A B
AA
( 1 ) 0 0 0
( 2 ) 0 1 0
( 3 ) 1 1 1
( 4 ) 1 0
( 5 ) 0
( 6 ) 1
( 7 ) 0
( 8 )
( 9 )
( 10 ) ( ) ( )
( 11 ) ( ) ( )
( 12 )
? ??
? ??
? ??
? ?
? ??
? ??
? ??
? ??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
AA
AA
AA
A A A
A B B A
A B C A B C
A B C A B A C
A B A B
2.1 逻辑函数
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式 (8),(8′)称为同一律；
式 (9),(9′)称为交换律；
式 (10),(10′)称为结合律；
式 (11),(11′)称为分配律；
式 (12),(12′)称为德 ·摩根 (De·Morgan)定律；
式 (13)称为还原律。
2.1 逻辑函数
27重大通信学院 ?何伟
2.1.5 三个定理
1.代入规则
在一个逻辑等式两边出现某个变量 （ 或表示式 ）
的所有位置都代入另一个变量 （ 或表达式 ）, 则等式
仍然成立 。
例如,已知, 在等式两边出现 B的所
有位置都代入 BC,则等式仍然成立, 即
?A B = A + B
? A ( B C) = A + ( B C) = A + B + C
2.1 逻辑函数
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2.反演规则
对一个逻辑函数 F进行如下变换,将所有的, ·”换成
,＋,,, ＋, 换成, ·”,,0”换成, 1”,,1”换成
,0”,原变量换成反变量, 反变量换成原变量, 则得到
函数 F的反函数 。
使用反演规则时, 要注意以下两点,保持原函数中逻
辑运算的优先顺序；不是单个变量上的反号保持不变 。
F
例如,
则
Z A B A C D
Z ( A B ) A C D
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
2.1 逻辑函数
29重大通信学院 ?何伟
3.对偶规则
对一个逻辑函数 F进行如下变换,将所有的, ·”换
成, ＋,,, ＋, 换成, ·”,,0”换成, 1”,,1”
换成, 0”,则得到函数 F的对偶函数 F′。 例如,
F1=A·(B+C),F1′=A+B·C
F2=A·B+A·C,F2′=(A+B)·(A+C)
如果两个函数相等, 则它们的对偶函数亦相等 。
这就是对偶规则 。,已知
A·(B+C)=A·B+A·C
A+B·C=(A+B)·(A+C)
2.1 逻辑函数
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2.1.6 常用公式
下面列出一些常用的逻辑函数公式, 利用前面介
绍的基本公式可以对它们加以证明 。
（ 1） A+A·B=A
证明,A+A·B=A·1+A·B
=A·(1+B)
=A·1
=A
公式的含义是,在一个与或表达式中, 如果一个与
项是另一个与项的一个因子, 则另一个与项可以不要 。
这一公式称为吸收律 。 例如,
2.1 逻辑函数
31重大通信学院 ?何伟
( A B ) ( A B ) C D A B? ? ? ? ? ? ?
（ 2） A A B A B
A A B ( A A ) ( A B )
1 ( A B )
AB
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
证明,
2.1 逻辑函数
32重大通信学院 ?何伟
公式的含义是,在一个与或表达式中, 如
果一个与项的反是另一个与项的一个因子, 则
这个因子可以不要 。 例如,
A +B +( A B ) C =A +B + A +B C =A +B +C? ? ?
2.1 逻辑函数
33重大通信学院 ?何伟
（ 3）
证明,
A B+ A C = A B+ A C + B C
A B+ A C + B C = A B+ A C + B C ( A + A )
= A B+ A C + A B C + A B C
= ( A B+ A B C ) + ( A C + A C B)
= A B+ A C
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
公式的含义是,在一个与或表达式中, 如果一个与项
中的一个因子的反是另一个与项的一个因子, 则由这两
个与项其余的因子组成的与项是可要可不要的 。 例如,
2.1 逻辑函数
34重大通信学院 ?何伟
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
A B C+ ( A + B ) D+ C D
= ( A B ) C+ ( A B ) D+ C D
= ( A B ) C+ ( A B ) D
= A B C+ ( A + B ) D
2.1 逻辑函数
35重大通信学院 ?何伟
（ 4）
证明,
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
??
A B+ A C = A B+ A C + B C D
A B+ A C + B C D = ( A B+ A C ) + B C D
= A B+ A C + B C + B C D
= A B+ A C + ( B C + B C D )
= A B+ A C + B C
= A B+ A C
2.1 逻辑函数
36重大通信学院 ?何伟
公式的含义是,在一个与或表达式中, 如
果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的
一个因子, 则包含这两个与项其余因子作为因
子的与项是可要可不要的 。 例如,
A B C + ( A + B ) D+ C D E+ F G = A B C + ( A + B ) D? ? ? ? ? ? ? ? ?
2.1 逻辑函数
37重大通信学院 ?何伟
2.1.7 逻辑函数的标准形式
逻辑函数的标准形式主要有两种, 即与一或式和或一与式 。
1,最小项 mi（ i取 0~2n-1）
定义：包括全部输入变量的乘积项，并且所有变量均以原变量或反变量的形
式在乘积项中必须且只能出现一次。
mi的重要特性：
①在输入变量的任何取值下必须有一个最小项且仅有一个最小项的知为 1；
②全体 mi之和为 1；
③任意两个 mi的乘积为 0；
④相邻两个 mi之和可以合并成一项，并消去一对因子。
相邻：两个 mi只有因子不同，其余均相同，这两个 mi叫相邻 mi。如
ABC,。
为什么 mi叫最小项：因为包含了全部输入变量的乘积项等于 1的机会最小。
ABC
2.1 逻辑函数
38重大通信学院 ?何伟
求最小项对应的变量取值组合时，如果变量为原
变量，则对应组合中变量取值为 1；如果变量为反变量，
则对应组合中变量取值为 0。例如,A,B,C的最小
项 ABC对应的变量取值组合为 101，其大小为 5，所
以,ABC的编号为 5，记为 m5。
2.1 逻辑函数
39重大通信学院 ?何伟
【 例 】 写出函数 的标准与或表达式 。
解,
F = A + B C + A B C
F = A + B C + A B C
= A ( B + B ) ( C + C ) + ( A + A ) B C + A B C
= A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C
= A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C
也可以写成
1 2 4 5 6 7(A,B,C )= m + m + m + m + m + m
F (A,B,C )= m (1,2,4,5,6,7 )
F (A,B,C )= (1,2,4,5,6,7 )
?
?
或
或
2.1 逻辑函数
40重大通信学院 ?何伟
从上面例子可以看出，一个与项如果缺少一个变
量，则生成两个最小项；一个与项如果缺少两个变量，
则生成四个最小项；如此类推，一个与项如果缺少 n个
变量，则生成 2n个最小项。
由真值表求函数的标准与或表达式时, 找出真值
表中函数值为 1的对应组合, 将这些组合对应的最小项
相或即可 。
2.1 逻辑函数
41重大通信学院 ?何伟
2,最大项 Mi（ i取 0~2n-1）
定义：包括全部输入变量的和项，并且所有变量均以原变量或反变量的形式 在和项中必须且只能出现一次。
Mi的重要特性：
①在输入变量的任何取值下必须有一个最大项且仅有一个最大项的知为 0；
②全体 Mi之积为 1；
③任意两个 Mi之和为 1；
④ 只有一个变量不同的两个 Mi的乘积等于各相同变量之和。
2.1 逻辑函数
42重大通信学院 ?何伟
? 【 例 】 写出函数 的标准或与表达式 。
? 解,
F =A( B +C )
F =A( B +C )
= ( A+B B +C C ) ( A A + B +C )
= ( A+B +C ) ( A+ B +C ) ( A+B + C ) ( A+ B + C ) ( A+ B +C ) ( A + B +C )
= ( A+B +C ) ( A+B + C ) ( A+ B +C ) ( A+ B + C ) ( A + B +C )
2.1 逻辑函数
43重大通信学院 ?何伟
也可以写成
0 1 2 3 6F ( A,B,C ) = M + M + M + M + M
F ( A,B,C ) = M ( 0,1,2,3,6 )
F ( A,B,C ) = ( 0,1,2,3,6 )
?
?
或
或
2.1 逻辑函数
44重大通信学院 ?何伟
我们知道, 同一个逻辑函数可以写成不同的表达
式 。 用基本逻辑门电路去实现某函数时, 表达式越简
单, 需用门电路的个数就越少, 因而也就越经济可靠 。
因此, 实现逻辑函数之前, 往往要对它进行化简, 先
求出其最简表达式, 再根据最简表达式去实现逻辑函
数 。 最简表达式有很多种, 最常用的有最简与或表达
式和最简或与表达式 。 不同类型的逻辑函数表达式,
最简的定义也不同 。
2.2 逻辑函数的化简
45重大通信学院 ?何伟
函数的最简与或表达式必须满足的条件有,
(1)与项个数最少 。
(2)与项中变量的个数最少 。
函数的最简或与表达式必须满足的条件有,
(1)或项个数最少 。
(2)或项中变量的个数最少 。
常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种 。
2.2 逻辑函数的化简
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2.2.1 公式化简法 （ 代数法 ）
公式法化简逻辑函数, 就是通过利用逻辑函数的
基本公式, 对函数进行消项, 消因子等, 以求得函数
的最简表达式 。 常用方法有以下四种 。
1,并项法
利用公式, 将两个与项合并为一
个, 消去其中的一个变量 。
A B + A B = B
2.2 逻辑函数的化简
47重大通信学院 ?何伟
【 例 】 求函数 的最简与或表达式 。
解,
F = A B + A B + A B + A B
F=A B+ A B + A B+ A B
= ( A B+ A B ) + ( A B+ A B )
= A + A = 1
2.2 逻辑函数的化简
48重大通信学院 ?何伟
2,吸收法
利用公式, 吸收多余的与项 。
【 例 】 求函数 的最简与或表达式 。
解, F=(A+AB+ABC)(A+B+C)
=A(A+B+C)
=AA+AB+AC
=A+AB+AC
=A
A + A B = A
F = ( A + A B + A B C ) ( A + B + C )
2.2 逻辑函数的化简
49重大通信学院 ?何伟
3,消去法
利用公式, 消去与项多余的因子 。
【 例 】 求函数 的最简与 或表达式 。
解,
A + A B = A + B
F = A B + A C + B C +C D + D
F =A B + A C + B C + C D + D
=A B + A C + B C + C + D
=A B + A + B + C + D
=B+ A + B + C + D
=1
2.2 逻辑函数的化简
50重大通信学院 ?何伟
4,配项消项法
利用公式, 进行配项, 以消去更多
的与项 。
【 例 】 求函数 的最简与或表达式 。
解,
A B + A C = A B + A C + B C
F = A B + B D + D A + D C E
F =A B +BD+ D A +D C E
= A B +BD+ A D +D A +D C E
= A B +BD+ D +D C E
= A B +D
2.2 逻辑函数的化简
51重大通信学院 ?何伟
【 例 】 求函数 的最简与或表达式 。
解,
F = A B + B C + B C + A B
F =A B + B C +B C + A B
=A B +B C +( B C + A B )
=A B +B C + B C + A B + A C
=A B + B C +( B C + A C + A B )
=A B + B C +B C + A C
=( A B + A C + B C ) +B C
=A B + A C +B C
2.2 逻辑函数的化简
52重大通信学院 ?何伟
2.2.2 图解化简法 （ 卡诺图化简法 ）
1.用卡诺图化简法求函数的最简与或表达式
卡诺图：将 n变量的全部最小项各用一个方块表示，并使具有逻辑
相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的叫做
n变量最小项的卡诺图。（由美国工程师卡诺提出）
循环码：相邻两组之间只有一个变量值不同的编码，如
00→ 01→ 11→ 10。
1)卡诺图的相邻性
最小项的相邻性定义,
两个最小项, 如果只有一个变量的形式不同 （ 在一个最小项
中以原变量出现, 在另一个最小项中以反变量出现 ）, 其余变量
的形式都不变, 则称这两个最小项是逻辑相邻的 。 卡诺图的相邻
性判别,
2.2 逻辑函数的化简
53重大通信学院 ?何伟
在卡诺图的两个方格中, 如果只有一个变量的取
值不同 （ 在一个方格中取 1,在另一个方格中取 0）,
其余变量的取值都不变, 则这两个方格对应的最小项
是逻辑相邻的 。 在卡诺图中, 由于变量取值按循环码
排列, 使得几何相邻的方格对应的最小项是逻辑相邻
的 。 具体而言, 每一方格和上下左右四边紧靠它的方
格相邻；最上一行和最下一行对应的方格相邻；最左
一列和最右一列对应的方格相邻；对折相重的方格相
邻 。 图 1-13画出了卡诺图中最小项相邻的几种情况 。
2.2 逻辑函数的化简
54重大通信学院 ?何伟 卡诺图中最小项相邻的几种情况
AB
00 01
00
01
11 10
11
10
紧靠相邻
AB
00 01
00
01
11 10
11
10
上下相对相邻
AB
00 01
00
01
11 10
11
10
左右相对相邻
AB
C D E
0 0 0 0 0 1
00
01
0 1 1 0 1 0
11
10
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0
对折相重相邻
2.2 逻辑函数的化简
55重大通信学院 ?何伟
2) 卡诺图化简法的一般规律
（ 1） 两个相邻的 1方格圈在一起, 消去一个变量, 如图所
示 。
两个相邻的 1方格对应的两个最小项中只有一个变
量的形式不同，将它们相或时可以消去该变量，只剩下
不变的因子。例如，在图（ a）中，两个相邻的 1方格对
应的两个最小项为 和,在这两个最小项中只有
变量 C的形式不同。因为,
结果将变量 C消去了，剩下两个不变的因子 和 。
将这两个方格圈在一起得到一个简化的与项 。
A B C A B C
A B C + A B C = A B ( C +C ) = A B
AB
AB
2.2 逻辑函数的化简
56重大通信学院 ?何伟
两个相邻最小项的合并
1 1
A
BC
00 01
0
1
11 10
B ACB AC B A ??
( a )
1 1
A
BC
00 01
0
1
11 10
CABCACB A ??
( b )
1
1
A
BC
00 01
0
1
11 10
CBCB ACBA ??
( c )
11
A
BC
00 01
0
1
11 10
CACABC BA ??
( d )
1
1
AB
CD
00 01 11 10
DCBDCABDCBA ??
( e )
1
1
AB
CD
00 01 11 10
CDBCDBACDB A ??
( f )
00
01
11
10
00
01
11
10
2.2 逻辑函数的化简
57重大通信学院 ?何伟
（ 2） 四个相邻的 1方格圈在一起, 消去两个变量, 如图所
示 。
四个相邻的 1方格对应的四个最小项中有两个变量的
形式变化过, 将它们相或时可以消去这两个变量, 只剩下
不变的因子 。
例如, 在图 （ e） 中, 四个相邻的 1方格对应的四个
最小项分别为, 在这四个最
小项中, A和 C两个变量的形式变化过 。
A B C D A B C D A B C D A B C D、,,
2.2 逻辑函数的化简
58重大通信学院 ?何伟
A B C D + A B C D +A B C D +A B C D
= A B C D + A B C D + A B C D +A B C D
= A B D ( C +C ) +A B D ( C +C )
= A B D +A B D
=( A +A) B D
= B D
（ ）（ ）
2.2 逻辑函数的化简
59重大通信学院 ?何伟
（ 3） 八个相邻的 1方格圈在一起, 消去三个变量, 如图
所示 。
八个相邻的 1方格对应的八个最小项中, 有三个变量
的形式变化过, 将它们相或时可以消去这三个变量,
只剩下不变的因子 。
2.2 逻辑函数的化简
60重大通信学院 ?何伟
四个相邻最小项的合并
1
1
A
BC
00 01
0
1
11 10
CCABC BACBAC B A ????
( b )
1 1
AB
CD
00 01 11 10
BADBCAB C DADCBAD CBA ????
( d )
00
01
11
10
1 1
A
BC
00 01
0
1
11 10
BCBAC BACB AC B A ????
( a )
1 1
1
1
11
AB
CD
00 01 11 10
DBCDBADC BACDB ADC B A ????
( c )
00
01
11
10 11
1
1
AB
CD
00 01 11 10
D BDCBAD C BADCB AD C B A ????
( e )
00
01
11
10
1
1
AB
CD
00 01 11 10
CBDCABD CABDCBAD CBA ????
( f )
00
01
11
10
1 1
1
1
1
1
2.2 逻辑函数的化简
61重大通信学院 ?何伟
八个相邻最小项的合并
1 1
AB
CD
00 01 11 10
BDA B CA B C DDCABD CAB
DBCABCDADCBAD CBA
????
????
( a )
00
01
11
10
11
AB
CD
00 01 11 10
BDCBACDBADC BAD C BA
DCB ACDB ADC B AD C B A
????
????
( b )
00
01
11
10
1 1
1 1
1 1 1 1
11 1 1
1
1
AB
CD
00 01 11 10
DDCBADA B CDBCADCB A
D C BAD CABD CBAD C B A
????
????
( c )
00
01
11
10
1
1
AB
CD
00 01 11 10
CDCBADA B CDBCADCB A
CDBAA B C DBCD ACDB A
????
????
( d )
00
01
11
10
1
1
1 1
1
1 1
1 1
1
1 1
2.2 逻辑函数的化简
62重大通信学院 ?何伟
（ 4） 2n个相邻的 1方格圈在一起, 消去 n个变量 。 2n个
相邻的 1方格对应的 2n个最小项中, 有 n个变量的形式
变化过, 将它们相或时可以消去这 n个变量, 只剩下不
变的因子 。
（ 5） 如果卡诺图中所有的方格都为 1,将它们圈在一起,
结果为 1。 如果卡诺图中所有的方格都为 1,将它们圈
在一起, 等于将变量的所有不同最小项相或, 因此结
果为 1。 这种情形表示在变量的任何取值下, 函数值恒
为 1。
2.2 逻辑函数的化简
63重大通信学院 ?何伟
3) 卡诺图化简法的步骤和原则
用卡诺图化简逻辑函数时, 一般先画出函数的卡
诺图, 然后将卡诺图中的 1方格按逻辑相邻特性进行分
组划圈 。 每个圈得到一个简化的与项, 与项中只包含
在圈中取值没有变化过的变量, 值为 1的以原变量出现,
值为 0的以反变量出现 。 再将所得各个与项相或, 即得
到该函数的最简与或表达式 。
2.2 逻辑函数的化简
64重大通信学院 ?何伟
用卡诺图化简法求函数最简与或表达式的一般步骤如下,
（ 1） 画出函数的卡诺图 。
（ 2） 对相邻最小项进行分组合并 。
（ 3） 写出最简与或表达式 。
用卡诺图化简法求函数最简与或表达式的原则如下,
（ 1） 每个值为 1的方格至少被圈一次 。 当某个方格
被圈多于一次时, 相当于对这个最小项使用同一律
A+A=A,并不改变函数的值 。
2.2 逻辑函数的化简
65重大通信学院 ?何伟
（ 2） 每个圈中至少有一个 1方格是其余所有圈中不包含
的 。 如果一个圈中的任何一个 1方格都出现在别的圈中,
则这个圈就是多余的 。
（ 3） 任一圈中都不能包含取值为 0的方格 。
（ 4） 圈的个数越少越好 。 圈的个数越少, 得到的与项就
越少 。
（ 5） 圈越大越好 。 圈越大, 消去的变量越多, 所得与项
包含的因子就越少 。 每个圈中包含的 1方格的个数必须
是 2的整数次方 。
2.2 逻辑函数的化简
第二章 逻辑函数
主要内容
2.1 逻辑函数
2.2 逻辑函数的简化
2重大通信学院 ?何伟
2.1 逻辑函数
逻辑代数 （ Logic Algebra） 是由英国数
学家乔治 ·布尔 (George Boole)于 1849年首
先提出的, 因此也称为布尔代数 （ Boolean
Algebra） 。 逻辑代数研究逻辑变量间的相互
关系, 是分析和设计逻辑电路不可缺少的数学
工具 。 所谓逻辑变量, 是指只有两种取值的变
量,真或假, 高或低, 1或 0。
3重大通信学院 ?何伟
2.1.1 基本逻辑
逻辑变量之间的关系多种多样, 有简单的也有复
杂的, 最基本的逻辑关系有,逻辑与, 逻辑或和逻辑非
三种 。
1.逻辑与
只有当决定某事件的全部条件同时具备时，该事
件才发生，这样的逻辑关系称为逻辑与，或称逻辑相
乘。
2.1 逻辑函数
4重大通信学院 ?何伟
在如图电路中, 只有当开关 S1和
S2同时接通时, 电灯 F才会亮 。 若以
S1,S2表示两个开关的状态, 以 F表
示电灯的状态, 用 1表示开关接通和
电灯亮, 用 0表示开关断开和电灯灭,
则只有当 S1和 S2同时为 1时, F才为 1，
F与 S1和 S2之间是一种与的逻辑关系 。
逻辑与运算的运算符为, ·”,写成
F=S1·Ｓ 2或 F=S1S2。
逻辑变量之间取值的对应关系可
用一张表来表示, 这种表叫做逻辑真
值表,简称真值表 。 与逻辑关系的真
值表如表所示 。
S 1 S 2
F
与逻辑电路
S1 S2 F
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
与逻辑的真值表
2.1 逻辑函数
5重大通信学院 ?何伟
2.逻辑或
在决定某事件的诸多条件中,
当有一个或一个以上具备时, 该
事件都会发生, 这样的逻辑关系
称为逻辑或, 或称逻辑相加 。
在如图电路中, 当开关 S1和
S2中有一个接通 （ S1=1或 S2=1）
或一个以上接通 （ S1=1且 S2=1）
时, 电灯 F都会亮 （ F=1）, 因
此 F与 S1和 S2之间是一种或的逻
辑关系 。 逻辑或运算的运算符为
,+”,写成 F=S1+S2。 或逻辑
关系的真值表如表所示 。
或逻辑电路
F
S
1
S
2
或逻辑的真值表
S1 S2 F
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
2.1 逻辑函数
6重大通信学院 ?何伟
3.逻辑非
在只有一个条件决定某事件
的情况下, 如果当条件具备时,
该事件不发生；而当条件不具
备时, 该事件反而发生, 这样
的逻辑关系称为逻辑非, 也称
为逻辑反 。
在如图电路中, 当开关 S接
通 （ S=1 ） 时, 电灯 F 不亮
（ F=0 ）, 而当开关 S 断开
（ S=0） 时, 电灯 F亮 （ F=1） 。
因此, F与Ｓ之间是逻辑反的关
系, 写成 F= 。 非逻辑关系的
真值表如表所示 。
S
非逻辑的真值表
S F
0
1
1
0
非逻辑电路
S F
2.1 逻辑函数
7重大通信学院 ?何伟
4.其他常见逻辑运算
除了与, 或, 非三种最基本的逻辑运算外, 常
见的复合逻辑运算有,与非, 或非, 异或, 同或, 与
非与非, 或非或非等, 这些运算的表达式如下,
与非表达式,
或非表达式,
异或表达式,
同或表达式,
与非与非表达式,
或非或非表达式,
F AB
F A B
F A B A B A B
F A B AB A B
F AB C D
F A B C D
?
??
? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ?
以上这些复合逻辑运算的真值表分别如下表所示。
2.1 逻辑函数
8重大通信学院 ?何伟
与非逻辑的真值表
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
2.1 逻辑函数
9重大通信学院 ?何伟
或非逻辑的真值表
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
2.1 逻辑函数
10重大通信学院 ?何伟
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
异或逻辑的真值表
2.1 逻辑函数
11重大通信学院 ?何伟
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
1
同或逻辑的真值表
2.1 逻辑函数
12重大通信学院 ?何伟
与非与非逻辑的真值表
2.1 逻辑函数
13重大通信学院 ?何伟
或非或非逻辑的真值表
2.1 逻辑函数
14重大通信学院 ?何伟
5 门电路
输出和输入之间具有一定逻辑关系的电路称为逻辑门电路, 简
称门电路 。 常用的门电路有与门, 或门, 非门, 与非门, 或非门,
与或非门, 异或门, 同或门等, 它们的逻辑符号如图所示 。
&
F
A
B
与门 F ＝ AB
≥1
F
A
B
或门 F ＝ A ＋ B
FA
非门 F ＝
1
A
&
F
A
B
与非门 F ＝ AB
≥1
F
A
B
或非门 F ＝ BA ?＋
≥1
F
A
B
与或非门 F ＝ CD AB ?＋
&
C
D
＝ 1
F
A
B
异或门 F ＝ BA ?
＝
F
A
B
同或门 F ＝ A ⊙ B
常用门电路的逻辑符号
2.1 逻辑函数
15重大通信学院 ?何伟
1.逻辑函数
定理：任何逻辑关系都可表示为逻辑函数。
∵ 输入逻辑变量 A,B,C?输出运算结果 Y
∴ Y~A,B,C，记为 Y=F(A,B,C）
如果 A,B,C和 Y只取 0,1两个值，则叫二值逻辑函数。
例：楼道开关控制逻辑问题就是一个逻辑函数。 A和 B分别是
楼下、楼上的两个单刀双掷开关,P为楼道灯，任何时候均可在
楼下或楼上开关楼道灯。
若用 1表示开关掷上，用 0表示开关掷下，用 1表示灯亮，用 0
表示灯灭，则灯 P是开关 A,B,C的二值逻辑函数，即,P=F
（ A,B）
2.1.3 逻辑函数及其表示方法
2.1 逻辑函数
16重大通信学院 ?何伟
2,逻辑函数的表示方法
逻辑函数常用的描述方法有函数式, 真值表, 卡
诺图和逻辑图等 。
1),函数式
由逻辑变量和逻辑运算符号组成, 用于表示变量
之间逻辑关系的式子, 称为逻辑函数式 。 常用的逻辑
函数式有与或表达式, 标准与或表达式, 或与表达式,
标准或与表达式, 与非与非表达式, 或非或非表达式,
与或非表达式等 。
2.1 逻辑函数
17重大通信学院 ?何伟
与或表达式,
标准与或表达式,
或与表达式,
标准或与表达式,
与非与非表达式,
或非或非表达式,
与或非表达式,
F AB AC D
F A B C D AB C D AB CD
F ( A B ) ( A C D )
F ( A B C D ) ( A B C D ) ( A B C D )
F AB CD
F A B C D
F AB CD
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
2.1 逻辑函数
18重大通信学院 ?何伟
2),真值表
用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格,
称为真值表 。 例如, 在一个判奇电路中, 当 A,B,C
三个变量中有奇数个 1时, 输出 F为 1；否则, 输出 F为
0。 可列出下表所示的真值表 。
2.1 逻辑函数
19重大通信学院 ?何伟
判奇电路的真值表
A B C F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
0
1
0
0
1
2.1 逻辑函数
20重大通信学院 ?何伟
3),卡诺图
将逻辑变量分成两组, 分别在横竖两个方向用循
环码形式排列出各组变量的所有取值组合, 构成一个
有 2n个方格的图形, 其中, 每一个方格对应变量的一
个取值组合, 这种图形叫做卡诺图 。 卡诺图分变量卡
诺图和函数卡诺图两种 。 在变量卡诺图的所有方格中,
没有相应的函数值, 而在函数的卡诺图中, 每个方格
上都有相应的函数值 。
2.1 逻辑函数
21重大通信学院 ?何伟
如图为二～五个变量的卡诺图，方格中的数字为该方格
对应变量取值组合的十进制数，亦称该方格的编号。
0 1
2 3
A
B
0 1
0
1
( a )
0 1 23
A
BC
00 01
0
1
( b )
4 5 7 6
11 10
0 1 23
AB
CD
00 01
00
01
( c )
4 5 7 6
11 10
11 12 13 15 14
10 8 9 11 10
0 1 23
AB
C D E
0 0 0 0 0 1
00
01
( d )
4576
0 1 1 0 1 0
11
12131514
10
8 9 11 10
24 25 2627 28293130
2021232216 17 19 18
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0
(a)两变量 ;(b)三变量 ;(c)四变量 ;(d)五变量
2.1 逻辑函数
22重大通信学院 ?何伟
一个四变量函数的卡诺图
0 1 10
AB
CD
00 01
00
01 1 1 1 0
11 10
11 0 0 0 1
10 0 1 1 0
如图为一个四
变量函数的卡诺图，
方格中的 0和 1表示
在对应变量取值组
合下该函数的取值。
2.1 逻辑函数
23重大通信学院 ?何伟
4),逻辑图
由逻辑门电路符号构成的, 用来表示逻辑变量之
间关系的图形称为逻辑电路图, 简称逻辑图 。 如图为
函数 ? ? ? ?F A B A ( B C ) (C D )的逻辑图。
≥1&
F
&
≥1
1
1
＝ 1
D
C
A
B
函数 F的逻辑图
2.1 逻辑函数
24重大通信学院 ?何伟
2.1.4 逻辑函数相等和逻辑函数的基本公式
1,逻辑函数相等
定义：如果对应于输入变量的任一状态组合，输出变量
F和 G的值都相同，则称 F和 G是等值的，即 F=G。
由定义可知,F和 G的真值表相同 ?F=G
例 2-2(P20)
2.1 逻辑函数
2,逻辑函数基本公式
25重大通信学院 ?何伟
( 1 ) 0 0 0
( 2 ) 0 1 0
( 3 ) 1 1 1
( 4 ) 0 0
( 5 ) 0
( 6 ) 1
( 7 ) 0
( 8 )
( 9 )
( 10 ) ( ) ( )
( 11 ) ( )
( 12 )
( 13 )
??
??
??
?
??
??
??
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
AA
AA
AA
A A A
A B B A
A B C A B C
A B C A B A C
A B A B
AA
( 1 ) 0 0 0
( 2 ) 0 1 0
( 3 ) 1 1 1
( 4 ) 1 0
( 5 ) 0
( 6 ) 1
( 7 ) 0
( 8 )
( 9 )
( 10 ) ( ) ( )
( 11 ) ( ) ( )
( 12 )
? ??
? ??
? ??
? ?
? ??
? ??
? ??
? ??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
AA
AA
AA
A A A
A B B A
A B C A B C
A B C A B A C
A B A B
2.1 逻辑函数
26重大通信学院 ?何伟
式 (8),(8′)称为同一律；
式 (9),(9′)称为交换律；
式 (10),(10′)称为结合律；
式 (11),(11′)称为分配律；
式 (12),(12′)称为德 ·摩根 (De·Morgan)定律；
式 (13)称为还原律。
2.1 逻辑函数
27重大通信学院 ?何伟
2.1.5 三个定理
1.代入规则
在一个逻辑等式两边出现某个变量 （ 或表示式 ）
的所有位置都代入另一个变量 （ 或表达式 ）, 则等式
仍然成立 。
例如,已知, 在等式两边出现 B的所
有位置都代入 BC,则等式仍然成立, 即
?A B = A + B
? A ( B C) = A + ( B C) = A + B + C
2.1 逻辑函数
28重大通信学院 ?何伟
2.反演规则
对一个逻辑函数 F进行如下变换,将所有的, ·”换成
,＋,,, ＋, 换成, ·”,,0”换成, 1”,,1”换成
,0”,原变量换成反变量, 反变量换成原变量, 则得到
函数 F的反函数 。
使用反演规则时, 要注意以下两点,保持原函数中逻
辑运算的优先顺序；不是单个变量上的反号保持不变 。
F
例如,
则
Z A B A C D
Z ( A B ) A C D
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
2.1 逻辑函数
29重大通信学院 ?何伟
3.对偶规则
对一个逻辑函数 F进行如下变换,将所有的, ·”换
成, ＋,,, ＋, 换成, ·”,,0”换成, 1”,,1”
换成, 0”,则得到函数 F的对偶函数 F′。 例如,
F1=A·(B+C),F1′=A+B·C
F2=A·B+A·C,F2′=(A+B)·(A+C)
如果两个函数相等, 则它们的对偶函数亦相等 。
这就是对偶规则 。,已知
A·(B+C)=A·B+A·C
A+B·C=(A+B)·(A+C)
2.1 逻辑函数
30重大通信学院 ?何伟
2.1.6 常用公式
下面列出一些常用的逻辑函数公式, 利用前面介
绍的基本公式可以对它们加以证明 。
（ 1） A+A·B=A
证明,A+A·B=A·1+A·B
=A·(1+B)
=A·1
=A
公式的含义是,在一个与或表达式中, 如果一个与
项是另一个与项的一个因子, 则另一个与项可以不要 。
这一公式称为吸收律 。 例如,
2.1 逻辑函数
31重大通信学院 ?何伟
( A B ) ( A B ) C D A B? ? ? ? ? ? ?
（ 2） A A B A B
A A B ( A A ) ( A B )
1 ( A B )
AB
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
证明,
2.1 逻辑函数
32重大通信学院 ?何伟
公式的含义是,在一个与或表达式中, 如
果一个与项的反是另一个与项的一个因子, 则
这个因子可以不要 。 例如,
A +B +( A B ) C =A +B + A +B C =A +B +C? ? ?
2.1 逻辑函数
33重大通信学院 ?何伟
（ 3）
证明,
A B+ A C = A B+ A C + B C
A B+ A C + B C = A B+ A C + B C ( A + A )
= A B+ A C + A B C + A B C
= ( A B+ A B C ) + ( A C + A C B)
= A B+ A C
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
公式的含义是,在一个与或表达式中, 如果一个与项
中的一个因子的反是另一个与项的一个因子, 则由这两
个与项其余的因子组成的与项是可要可不要的 。 例如,
2.1 逻辑函数
34重大通信学院 ?何伟
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
A B C+ ( A + B ) D+ C D
= ( A B ) C+ ( A B ) D+ C D
= ( A B ) C+ ( A B ) D
= A B C+ ( A + B ) D
2.1 逻辑函数
35重大通信学院 ?何伟
（ 4）
证明,
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
??
A B+ A C = A B+ A C + B C D
A B+ A C + B C D = ( A B+ A C ) + B C D
= A B+ A C + B C + B C D
= A B+ A C + ( B C + B C D )
= A B+ A C + B C
= A B+ A C
2.1 逻辑函数
36重大通信学院 ?何伟
公式的含义是,在一个与或表达式中, 如
果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的
一个因子, 则包含这两个与项其余因子作为因
子的与项是可要可不要的 。 例如,
A B C + ( A + B ) D+ C D E+ F G = A B C + ( A + B ) D? ? ? ? ? ? ? ? ?
2.1 逻辑函数
37重大通信学院 ?何伟
2.1.7 逻辑函数的标准形式
逻辑函数的标准形式主要有两种, 即与一或式和或一与式 。
1,最小项 mi（ i取 0~2n-1）
定义：包括全部输入变量的乘积项，并且所有变量均以原变量或反变量的形
式在乘积项中必须且只能出现一次。
mi的重要特性：
①在输入变量的任何取值下必须有一个最小项且仅有一个最小项的知为 1；
②全体 mi之和为 1；
③任意两个 mi的乘积为 0；
④相邻两个 mi之和可以合并成一项，并消去一对因子。
相邻：两个 mi只有因子不同，其余均相同，这两个 mi叫相邻 mi。如
ABC,。
为什么 mi叫最小项：因为包含了全部输入变量的乘积项等于 1的机会最小。
ABC
2.1 逻辑函数
38重大通信学院 ?何伟
求最小项对应的变量取值组合时，如果变量为原
变量，则对应组合中变量取值为 1；如果变量为反变量，
则对应组合中变量取值为 0。例如,A,B,C的最小
项 ABC对应的变量取值组合为 101，其大小为 5，所
以,ABC的编号为 5，记为 m5。
2.1 逻辑函数
39重大通信学院 ?何伟
【 例 】 写出函数 的标准与或表达式 。
解,
F = A + B C + A B C
F = A + B C + A B C
= A ( B + B ) ( C + C ) + ( A + A ) B C + A B C
= A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C
= A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C
也可以写成
1 2 4 5 6 7(A,B,C )= m + m + m + m + m + m
F (A,B,C )= m (1,2,4,5,6,7 )
F (A,B,C )= (1,2,4,5,6,7 )
?
?
或
或
2.1 逻辑函数
40重大通信学院 ?何伟
从上面例子可以看出，一个与项如果缺少一个变
量，则生成两个最小项；一个与项如果缺少两个变量，
则生成四个最小项；如此类推，一个与项如果缺少 n个
变量，则生成 2n个最小项。
由真值表求函数的标准与或表达式时, 找出真值
表中函数值为 1的对应组合, 将这些组合对应的最小项
相或即可 。
2.1 逻辑函数
41重大通信学院 ?何伟
2,最大项 Mi（ i取 0~2n-1）
定义：包括全部输入变量的和项，并且所有变量均以原变量或反变量的形式 在和项中必须且只能出现一次。
Mi的重要特性：
①在输入变量的任何取值下必须有一个最大项且仅有一个最大项的知为 0；
②全体 Mi之积为 1；
③任意两个 Mi之和为 1；
④ 只有一个变量不同的两个 Mi的乘积等于各相同变量之和。
2.1 逻辑函数
42重大通信学院 ?何伟
? 【 例 】 写出函数 的标准或与表达式 。
? 解,
F =A( B +C )
F =A( B +C )
= ( A+B B +C C ) ( A A + B +C )
= ( A+B +C ) ( A+ B +C ) ( A+B + C ) ( A+ B + C ) ( A+ B +C ) ( A + B +C )
= ( A+B +C ) ( A+B + C ) ( A+ B +C ) ( A+ B + C ) ( A + B +C )
2.1 逻辑函数
43重大通信学院 ?何伟
也可以写成
0 1 2 3 6F ( A,B,C ) = M + M + M + M + M
F ( A,B,C ) = M ( 0,1,2,3,6 )
F ( A,B,C ) = ( 0,1,2,3,6 )
?
?
或
或
2.1 逻辑函数
44重大通信学院 ?何伟
我们知道, 同一个逻辑函数可以写成不同的表达
式 。 用基本逻辑门电路去实现某函数时, 表达式越简
单, 需用门电路的个数就越少, 因而也就越经济可靠 。
因此, 实现逻辑函数之前, 往往要对它进行化简, 先
求出其最简表达式, 再根据最简表达式去实现逻辑函
数 。 最简表达式有很多种, 最常用的有最简与或表达
式和最简或与表达式 。 不同类型的逻辑函数表达式,
最简的定义也不同 。
2.2 逻辑函数的化简
45重大通信学院 ?何伟
函数的最简与或表达式必须满足的条件有,
(1)与项个数最少 。
(2)与项中变量的个数最少 。
函数的最简或与表达式必须满足的条件有,
(1)或项个数最少 。
(2)或项中变量的个数最少 。
常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种 。
2.2 逻辑函数的化简
46重大通信学院 ?何伟
2.2.1 公式化简法 （ 代数法 ）
公式法化简逻辑函数, 就是通过利用逻辑函数的
基本公式, 对函数进行消项, 消因子等, 以求得函数
的最简表达式 。 常用方法有以下四种 。
1,并项法
利用公式, 将两个与项合并为一
个, 消去其中的一个变量 。
A B + A B = B
2.2 逻辑函数的化简
47重大通信学院 ?何伟
【 例 】 求函数 的最简与或表达式 。
解,
F = A B + A B + A B + A B
F=A B+ A B + A B+ A B
= ( A B+ A B ) + ( A B+ A B )
= A + A = 1
2.2 逻辑函数的化简
48重大通信学院 ?何伟
2,吸收法
利用公式, 吸收多余的与项 。
【 例 】 求函数 的最简与或表达式 。
解, F=(A+AB+ABC)(A+B+C)
=A(A+B+C)
=AA+AB+AC
=A+AB+AC
=A
A + A B = A
F = ( A + A B + A B C ) ( A + B + C )
2.2 逻辑函数的化简
49重大通信学院 ?何伟
3,消去法
利用公式, 消去与项多余的因子 。
【 例 】 求函数 的最简与 或表达式 。
解,
A + A B = A + B
F = A B + A C + B C +C D + D
F =A B + A C + B C + C D + D
=A B + A C + B C + C + D
=A B + A + B + C + D
=B+ A + B + C + D
=1
2.2 逻辑函数的化简
50重大通信学院 ?何伟
4,配项消项法
利用公式, 进行配项, 以消去更多
的与项 。
【 例 】 求函数 的最简与或表达式 。
解,
A B + A C = A B + A C + B C
F = A B + B D + D A + D C E
F =A B +BD+ D A +D C E
= A B +BD+ A D +D A +D C E
= A B +BD+ D +D C E
= A B +D
2.2 逻辑函数的化简
51重大通信学院 ?何伟
【 例 】 求函数 的最简与或表达式 。
解,
F = A B + B C + B C + A B
F =A B + B C +B C + A B
=A B +B C +( B C + A B )
=A B +B C + B C + A B + A C
=A B + B C +( B C + A C + A B )
=A B + B C +B C + A C
=( A B + A C + B C ) +B C
=A B + A C +B C
2.2 逻辑函数的化简
52重大通信学院 ?何伟
2.2.2 图解化简法 （ 卡诺图化简法 ）
1.用卡诺图化简法求函数的最简与或表达式
卡诺图：将 n变量的全部最小项各用一个方块表示，并使具有逻辑
相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的叫做
n变量最小项的卡诺图。（由美国工程师卡诺提出）
循环码：相邻两组之间只有一个变量值不同的编码，如
00→ 01→ 11→ 10。
1)卡诺图的相邻性
最小项的相邻性定义,
两个最小项, 如果只有一个变量的形式不同 （ 在一个最小项
中以原变量出现, 在另一个最小项中以反变量出现 ）, 其余变量
的形式都不变, 则称这两个最小项是逻辑相邻的 。 卡诺图的相邻
性判别,
2.2 逻辑函数的化简
53重大通信学院 ?何伟
在卡诺图的两个方格中, 如果只有一个变量的取
值不同 （ 在一个方格中取 1,在另一个方格中取 0）,
其余变量的取值都不变, 则这两个方格对应的最小项
是逻辑相邻的 。 在卡诺图中, 由于变量取值按循环码
排列, 使得几何相邻的方格对应的最小项是逻辑相邻
的 。 具体而言, 每一方格和上下左右四边紧靠它的方
格相邻；最上一行和最下一行对应的方格相邻；最左
一列和最右一列对应的方格相邻；对折相重的方格相
邻 。 图 1-13画出了卡诺图中最小项相邻的几种情况 。
2.2 逻辑函数的化简
54重大通信学院 ?何伟 卡诺图中最小项相邻的几种情况
AB
00 01
00
01
11 10
11
10
紧靠相邻
AB
00 01
00
01
11 10
11
10
上下相对相邻
AB
00 01
00
01
11 10
11
10
左右相对相邻
AB
C D E
0 0 0 0 0 1
00
01
0 1 1 0 1 0
11
10
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0
对折相重相邻
2.2 逻辑函数的化简
55重大通信学院 ?何伟
2) 卡诺图化简法的一般规律
（ 1） 两个相邻的 1方格圈在一起, 消去一个变量, 如图所
示 。
两个相邻的 1方格对应的两个最小项中只有一个变
量的形式不同，将它们相或时可以消去该变量，只剩下
不变的因子。例如，在图（ a）中，两个相邻的 1方格对
应的两个最小项为 和,在这两个最小项中只有
变量 C的形式不同。因为,
结果将变量 C消去了，剩下两个不变的因子 和 。
将这两个方格圈在一起得到一个简化的与项 。
A B C A B C
A B C + A B C = A B ( C +C ) = A B
AB
AB
2.2 逻辑函数的化简
56重大通信学院 ?何伟
两个相邻最小项的合并
1 1
A
BC
00 01
0
1
11 10
B ACB AC B A ??
( a )
1 1
A
BC
00 01
0
1
11 10
CABCACB A ??
( b )
1
1
A
BC
00 01
0
1
11 10
CBCB ACBA ??
( c )
11
A
BC
00 01
0
1
11 10
CACABC BA ??
( d )
1
1
AB
CD
00 01 11 10
DCBDCABDCBA ??
( e )
1
1
AB
CD
00 01 11 10
CDBCDBACDB A ??
( f )
00
01
11
10
00
01
11
10
2.2 逻辑函数的化简
57重大通信学院 ?何伟
（ 2） 四个相邻的 1方格圈在一起, 消去两个变量, 如图所
示 。
四个相邻的 1方格对应的四个最小项中有两个变量的
形式变化过, 将它们相或时可以消去这两个变量, 只剩下
不变的因子 。
例如, 在图 （ e） 中, 四个相邻的 1方格对应的四个
最小项分别为, 在这四个最
小项中, A和 C两个变量的形式变化过 。
A B C D A B C D A B C D A B C D、,,
2.2 逻辑函数的化简
58重大通信学院 ?何伟
A B C D + A B C D +A B C D +A B C D
= A B C D + A B C D + A B C D +A B C D
= A B D ( C +C ) +A B D ( C +C )
= A B D +A B D
=( A +A) B D
= B D
（ ）（ ）
2.2 逻辑函数的化简
59重大通信学院 ?何伟
（ 3） 八个相邻的 1方格圈在一起, 消去三个变量, 如图
所示 。
八个相邻的 1方格对应的八个最小项中, 有三个变量
的形式变化过, 将它们相或时可以消去这三个变量,
只剩下不变的因子 。
2.2 逻辑函数的化简
60重大通信学院 ?何伟
四个相邻最小项的合并
1
1
A
BC
00 01
0
1
11 10
CCABC BACBAC B A ????
( b )
1 1
AB
CD
00 01 11 10
BADBCAB C DADCBAD CBA ????
( d )
00
01
11
10
1 1
A
BC
00 01
0
1
11 10
BCBAC BACB AC B A ????
( a )
1 1
1
1
11
AB
CD
00 01 11 10
DBCDBADC BACDB ADC B A ????
( c )
00
01
11
10 11
1
1
AB
CD
00 01 11 10
D BDCBAD C BADCB AD C B A ????
( e )
00
01
11
10
1
1
AB
CD
00 01 11 10
CBDCABD CABDCBAD CBA ????
( f )
00
01
11
10
1 1
1
1
1
1
2.2 逻辑函数的化简
61重大通信学院 ?何伟
八个相邻最小项的合并
1 1
AB
CD
00 01 11 10
BDA B CA B C DDCABD CAB
DBCABCDADCBAD CBA
????
????
( a )
00
01
11
10
11
AB
CD
00 01 11 10
BDCBACDBADC BAD C BA
DCB ACDB ADC B AD C B A
????
????
( b )
00
01
11
10
1 1
1 1
1 1 1 1
11 1 1
1
1
AB
CD
00 01 11 10
DDCBADA B CDBCADCB A
D C BAD CABD CBAD C B A
????
????
( c )
00
01
11
10
1
1
AB
CD
00 01 11 10
CDCBADA B CDBCADCB A
CDBAA B C DBCD ACDB A
????
????
( d )
00
01
11
10
1
1
1 1
1
1 1
1 1
1
1 1
2.2 逻辑函数的化简
62重大通信学院 ?何伟
（ 4） 2n个相邻的 1方格圈在一起, 消去 n个变量 。 2n个
相邻的 1方格对应的 2n个最小项中, 有 n个变量的形式
变化过, 将它们相或时可以消去这 n个变量, 只剩下不
变的因子 。
（ 5） 如果卡诺图中所有的方格都为 1,将它们圈在一起,
结果为 1。 如果卡诺图中所有的方格都为 1,将它们圈
在一起, 等于将变量的所有不同最小项相或, 因此结
果为 1。 这种情形表示在变量的任何取值下, 函数值恒
为 1。
2.2 逻辑函数的化简
63重大通信学院 ?何伟
3) 卡诺图化简法的步骤和原则
用卡诺图化简逻辑函数时, 一般先画出函数的卡
诺图, 然后将卡诺图中的 1方格按逻辑相邻特性进行分
组划圈 。 每个圈得到一个简化的与项, 与项中只包含
在圈中取值没有变化过的变量, 值为 1的以原变量出现,
值为 0的以反变量出现 。 再将所得各个与项相或, 即得
到该函数的最简与或表达式 。
2.2 逻辑函数的化简
64重大通信学院 ?何伟
用卡诺图化简法求函数最简与或表达式的一般步骤如下,
（ 1） 画出函数的卡诺图 。
（ 2） 对相邻最小项进行分组合并 。
（ 3） 写出最简与或表达式 。
用卡诺图化简法求函数最简与或表达式的原则如下,
（ 1） 每个值为 1的方格至少被圈一次 。 当某个方格
被圈多于一次时, 相当于对这个最小项使用同一律
A+A=A,并不改变函数的值 。
2.2 逻辑函数的化简
65重大通信学院 ?何伟
（ 2） 每个圈中至少有一个 1方格是其余所有圈中不包含
的 。 如果一个圈中的任何一个 1方格都出现在别的圈中,
则这个圈就是多余的 。
（ 3） 任一圈中都不能包含取值为 0的方格 。
（ 4） 圈的个数越少越好 。 圈的个数越少, 得到的与项就
越少 。
（ 5） 圈越大越好 。 圈越大, 消去的变量越多, 所得与项
包含的因子就越少 。 每个圈中包含的 1方格的个数必须
是 2的整数次方 。
2.2 逻辑函数的化简
