1
第三章 拉普拉斯变换
本章要点
拉氏变换的定义 —— 从傅立叶变换到拉
氏变换
拉氏变换与傅氏变换的关系
拉氏变换的性质，收敛域
卷积定理 (S域 )
系统函数和单位冲激响应
2
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号
st
e 是 L T I 系统的特征函数 ??? js ?,并对
?? js 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ ??? js ? ）
进行讨论。
6.1 双边拉氏变换。
如果系统冲激响应为 )( t?,则对
st
e 产生的响应为
st
esHty )()( ?
)()()( tdtetsH
st
?? ??
?
?
??
? 的双边拉氏变换。
ste
)(th
y(t)
?
?
?
??
?
?
??
?
?
???
??
??
?
?
dehe
dehthety
sst
tsst
)(
)()()( )(
3
一般地，对于信号 )( tx 有
dtetxsX
st?
?
??
?
? )()(
dteetx
tjt ???
?
??
?
?
?
)(
])([
t
etxF
??
?
表明 )( sx 就是对
t
etx
??
)( 能作地傅立叶变换。 由于
t
e
??
的引入，就
可以通过适当选择
?
,使 原来傅立叶变换不收敛 的 信号, 其拉氏变换
存在。 因此拉氏变换比傅立叶变换收敛性强，应用范围更少，它是傅
立叶变换地推广。
dtetxX tj? ??? ?? ?? )()(
所做的
广
)(sX
4
如果 )( sx 在 ?? js 收敛，则 即 s 可以取 ?j
dtetXjX
tj ??
?
??
?
?? )()( 是 )( tx 的拉氏变换
??
???
js
sXjX )()( 表明傅立叶变 换氏拉氏变换在 ?j 轴上的特例
由傅立叶 反 变换 得到 拉 斯 反 变换
])([)(
t
etxFSX
??
? )()( SXetx
t
的反变换即为
??
????
?
?
??
?
?
dejXetx
tjt
)(
2
1
)( ?
?
?
?
?
??
?
????? deejXtx
tjt?
?
?
)(
2
1
)(
??? js ?
ds
j
d
1
??
dsesX
j
st
j
j
?
??
??
?
?
?
?
)(
2
1
付里叶变换
的付里叶反变换即为 )()( sXetx t??
)(sX
dtetx tj??)(
是
5
?
?
??
?? dtetxsX st)()(
dsesX
j
tx
j
j
st? ??
??
?
?
??
)(
2
1
)(
6
6, 2 拉氏变换的收敛域
一．收敛域,使
)( sX
存在的 s 取值范围称为
)( sX
的
R O C 。
由于
])([)(
t
etxFsX
??
?
，
?
R O C 与
?
有关。能
够使
t
etx
??
)(
绝对可积的那些
?
的取值范围,
表明 R O C 由
]R e [ s
决定。
例一,
)()( tuetx
t?
?
1
1
)(
0
)1(
0
?
???
??
?
??
?
??
s
dtedteesX
tsstt
)1( ???
-1
?j
?
7
例二,
)()( tuetx
t
???
?
dtesX
ts
?
??
??
??
0
)1(
)(
1
1
?
?
s
)1( ???
两个不同的信号具有相同的拉氏变换式，仅是 R OC 不
同表明拉氏变换式 连同 ROC 才能与信号一一对应。
?
?j
1?
8
例三,
)()()( tuetueetx
atat
ta
?
?
????
asas
dteedteesX
statstat
?
?
?
??
??
??
?
???
??
11
)(
0
0
),( aa ??? ??
当 a >0 时，这两部分地收敛域有共同部分
aa ??? ?
此时
?)( sX
22
211
as
a
asas ?
?
?
?
?
?
存在
当 a <0 时这两个 R O C 无公共区域 x ( s ) 不存在。
表明拉氏变换虽然是付氏变换地推广,
但并非任何信号地拉氏变换都存在。
同时可以看到 R O C 通常氏一个 平行于
?j
轴的带形域。
a -a
?
?j
9
例四,
)()( tutx ?
s
dteSX
st
1
)(
0
??
?
?
?
0??
例五,
)()( ttx ??
1)()( ??
?
?
??
?
dtetsX
st
?
ROC 为整个 S 平面
? 当 x （ s ）的 ROC 包含
?j
轴时，
且存在,)( ?X
?
?
js
sXX
?
? )()(
如：
)()( tuetx
t?
?
?
?
?
js
sj
X
?
?
?
?
?
1
1
1
1
)(
? 当 x(s) 的 ROC 不包含
?j
轴时,)( ?X 可能不存
在，也可能存在，一般地说，如果不包含
?j
轴，
?j
也不是 R OC 的边界时，
)( ?X
不存在，例,
1...)(
)()(
1
1
???
???
?
?
?
s
t
sX
tuetx
ROC图
1???
)s g n ()( 2121 ttu ??
?j
?
10
如果,X （ S ）不包含
?j
轴，
?j
轴是 ROC 的边界
时，
)( ?X
可以利用冲激函数表示为,
)()()(
1
k
N
k
k
js
asXjX ?????
?
???
?
?
?
假定
)( sX
有 N 个极点。 k
a
是
)( sX
在极点处的留数，
k
?
为
)( sX
的极点，即
)( sX
分母的根。
例：
)()( tutx ?
s
sX
1
)( ?
0??
0??
是 ROC 的
边界。
s
sX
1
)( ?
极点为 0,极点的留数为 1 。
所以,
)(
1
)( ???
?
? ??
j
X
。
11
二, 零极点图,
从例子中看到一般情况下 x （ s ）可以表示为两个多项式
之比
)(
)(
)(
sD
sN
sX ?
零点,N （ s ）的根
极点,D （ s ）的根
如果我们把 X （ S ）的全部零点和极点都表示在 S 平面
上，就构成了它的零极点图，，根据零极点图及其收敛域，就可
以表示出 X （ S ）（最多相差一个因子），这就是拉氏变换的零极
点图示法。
12
13
14
)1)(2(
)(2 23
??
?
ss
s
23? ?
?j
15
域的零极点图表示求信号 S
)2(
16
三,ROC 的特征,
从例子可以看出 ROC 边界位置是由 x （ s ）的极点决定的，
ROC 有一些普通的特征,归纳如下,
1, x( S ) 的 RO C 由平行于
?j
的带状区域构成 。收敛域是使
t
etx
??
)(
绝对可积的那些 s 构成的，只与 ? 有关，故 R OC 的边
界总是平行于
?j
的直线。
2, 拉氏变换的 ROC 无极点。
3, 时限信号的 ROC 是整个 s 平面。
4, 右边信号的 ROC 是最右边极点的 右边,
设
?? js ??
00
在 ROC 内，则
??
?
?
?
dtetx
t
t
0
0
)(
?
0
?? ?
????
?
?
?????
??
?
???
dtetxedteetxdtetx
t
t
ttt
tt
t
0
0
000
0
)()()(
)()(
0
???????
即
??
?
?
?
dtetx
t
t
?
0
)(
??
在 R OC 内。
又 ROC 内无极点,? ROC 必在最右边极点的右边。
5, 左边信号的 ROC 是最左边极点的左边。
6, 双边信号的拉氏变换如果存在，则它的 ROC 是一个 带形区
域。
17
18
19 )()( 2 tuee tt ?? ? )()( 2 tuee tt ??? ?? )()( 2 tuetue tt ?? ???
2
1
1
1
???? ss
20
6,3 拉氏变换的性质,
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 R O C
1, 线性。
)()()()( 2121 sbXsaXtbxtax ??? R O C, 包括 ? 21 RR
若 1
R
与 2
R
无公共部分，则表明
)()(
21
tbxtax ?
的拉氏变换不存在。
当
)()(
21
sbXsaX ?
中有零极点抵消时,R O C 可能会扩大。
例 1,
bsbs
sXtuetuetx btbt
?
?
?
????? ?
11
)()()()(
)()(2
)()()(1
:2
tuetx
tuettx
t
t
?
?
??
?? ?
例
bb ??? ??,,,,,,,,,
不存在为空交与时
存在有公共和时当
)(,21,0
:,)(,21,0
SXRRb
bbR OCSXR OCRRb
?
???? ?
1
1)(
?
??
s
ssX
)()()( 21 txtxtx ??
121 )( ??? SssX
112 )( ??? ssX
1??
1??
21
2,时域平移,
0
)()(
0
st
esXttx
?
??
R O C, R
时域平移时
)( sX
乘以因子
0
st
e
?
，该因子的引入
不会改变
)( sX
的极点。所以 R O C 不变。
例,
)1()()( ??? tututx
,
)1(
1
)(
s
e
s
sX
?
??
)( sX
的 R O C,整个 s 平面
有限长信号
0??
se
sssX
??? 11)( 零极点抵消由于线性性质,
22
例 1,? ?
( ),tx t e u t?? 1( ),
1Xs s? ?
1? ??
? ?23 1( ) ( 2 ) 3ttx t e e u t X s s??? ? ? ? ? ?
显然 RO C, 3? ??
0ReR O C ],[Rs?
表明 的 ROC是将 的 ROC
平移了一个 。
0()X s s? ()Xs
0R e[ ]s
3,S域平移
( ) ( ),x t X s? R OC, R
若 则
?j
?j
)()( 00 ssXetx ts ??
23
c o s)(.,,,,,,
)()(:2
??
?
ttx
SXtx
c?
例
))((c o s)( 21 tjtjc cc eetxttx ??? ???
)]()([21 cc jsXjsX ?? ????
RR O C,
RR O C,
24
4,尺度变换,
)()( SXtx ?
R O C, R
)(
1
)(
a
s
X
a
atx ?
R O C, aR
当 RS ? 则 x ( s ) 收敛。
R
a
s
?
时
)(
a
s
X
收敛，即 aRS ? 表明 R O C
的边界作相应的尺度变换。
例,)( sX 的 R O C, 12 ??? ? 则,
)
2
(
s
X
的 R O C 24 ??? ?
时域压缩，则 x （ s ）及 R O C 展宽。
时域扩展，则 x （ s ）及 R O C 压缩。时域与 S 域存在相反
关系。
25
例,
? ? 1( ) ( ),1tx t e u t X s s?? ? ? ?1? ??
1R OC,
2? ??
? ?2()
2
12
( ),
1 21
2
tt
x e u t
Xs
ss
?
?
??
??
)(1)(
a
sX
a
atx ?
2
1
12
2)2(2)
2
( ??
?
?? ?
s
sXtx)
2
1( ?a
26
:1时??a )()( SXtx ??? ROC,是 X（ S） ROC的反转
)23(:
)()(:
??
?
tx
SXtx
求
例
ROC,R
sss eXeSXSX
txtxtx
3
2
)()()(
)23()2()(
33
12 ?? ??
???? ROC,3R
sss eXXSX
txtxtx
3
2
)()()(
))(3()3()(
33
1
33
1
3
2
???
???
ROC,3R
27
5,卷积特性,
)()(
)()(
22
11
sXtx
sXtx
?
?
2
1
:
:
RR O C
RR O C
)()()()(
2121
sXsXtxtx ??
RO C,包括 ? 21
RR
当
)()(
21
sXsX
有零极点抵消时,RO C 可能
会扩大。
卷积特性是 L T I 系统复频域分析的理性基
础。
28
例,
1
1( ),
1Xs s? ?
1,? ??
? ? ? ?2
1( ),
23
sXs
ss
??
??
2,? ??
12 1RR ?? ? ?
? ? ? ?12
1( ) ( ),
23
X s X s
ss
?
??
2,? ?? ROC扩大
29
6,时域微分,
)()( sXtx ?
)()( ssXtx ??
R O C,包括 R 。
当 x ( s ) 在 s ＝ 0 有一阶极点，且该极点位于 R O C
边界时,由于 S 的引入将消去该极点，从而使 R O C
扩大。
例,
1
1
)()()(
?
???
?
s
SXtuetx
t
1???
1
)(
'
?
?
s
s
tx
1???
例,
s
SXtutx
1
)()()( ???
0??
1)(
'
?tx
R O C, 整个 S 平面
ROC,
R
30
7,时域积分,
)()( sXtx ?
)(
1
)( sX
s
dx
t
?
?
??
??
R O C,包括
)0?? ?R
∵
)()()( tutxdx
t
??
?
??
??
)()( sXtx ?
R O C, R
s
tu
1
)( ?
R O C,
0??
?
)(
1
)( sX
s
dx
t
?
?
??
??
,R O C 包括
)0( ?? ?R
如果 x ( s ) 在 s = 0 有零点，则由于零极点相抵消，
R O C 可能会扩大,
RR O C,
31
0 -1 1 2
1
t
例,
0
-1 -1 1 2
1
)]2()1([)]()1([)( ???????? tututututx
)(
1
)1(
1
)(
2 sss
ee
s
e
s
sXs
??
?????
?
)1(
1
)(
2
2
sss
eee
s
sX
??
????
)1)(1(
1
2
2
ss
ee
s
?
???
在 s =0 有二阶极点与二个零点相消 R O C 为整个 S 平面。
)(tx )(tx?
32
8,复频域微分,
)()( SXtx ?
R O C, R
ds
sdX
ttx
)(
)( ??
R O C, R
ds
sdX )(
只会造成阶数的提高,不会改变极点得位置,
所以 ROC 不变。
例,
atue
as
at
???
?
?
?.,,,)(
1
atute
as
as
at
?????
?
?
?
?.......][)(
2
)(
1
'
)(
1
ROC, a? ??例, 求 ()xt
2
11 ()
()
d
s a d s s a???? ( ) ( )atx t te u t???
2
1()
()Xs sa? ?
33
.复频域积分,
RR O CSXtx,),,,,,,,,,()( ?
11
)()(
1
dssXtx
t
s
?
?
?
RO C, R
证,
dtetxsX
st?
?
??
?
? )()(
111
1
)()( d t d setxdssX
ts
ss
?
? ?
??
?
? ??
?
dtdsetx
s
ts
1
1
)(
??
?
?
?
??
?
dtetx
t
st?
?
??
?
? )(
1
?? )(
1
tx
t
11
)( dssX
s
?
?
9,
34
10,初值定理,
若因果信号
)()( sXtx ?
且
)(l i m ssX
s ??
存在。
则
)(l i m)0( ssXx
s ??
?
?
)(])0(
2
1
)0()0([)(
2
tuxtxtxtx ?????????
???
?
?????????
???
)0(
1
)0(
1
)0(
1
)(
32
x
s
x
s
x
s
sX
?????????
???
)0(
1
)0(
1
)0()(
2
x
s
x
s
xssX
)0()(lim
?
??
? xssX
s
条件
)(l i m ssX
s ?? 存在，意味 着 x(t) 在 t=0 不包含冲
激及其导数，在 t=0 确有初值存在,可通过 S 域的
)(l i m ssX
s ??
求得,而不需要求 X (S) 的反变换,
35
1 1,终值定理,
因果信号 )()( sxtx ?,且 X (S ) 除在 s ＝ 0 可以有一阶极点外，
其余极点均在 S 平面的左半面。
则 )(l i m)(l i m
0
sSXtx
st ???
? x (t ) 的终值可以通过 )(lim
0
sSX
s ?
求得,条件是 x (s ) 的极点除在 s ＝ 0 可以有一阶极点外，其余极点在 S
的左半平面，该条件保证了 x (t ) 的终值存在。
极点位置与信号特征的关系。
)()( sXtx ?
36
)(tueat
t
)(tx
a
a??
?
?j
)(tx
t
)(tue at?
a?
a???
?j
?
左半面其它几种情况见下页
右半面其它几种情况见下页
37
极点在 S平面的分布与终值的关系
?j
38
3-1,3-2,3-5,3-6
(不限用定义做 )
39
6.4 常用信号的拉氏变换
由 u （ t ）或
)( t?
的拉氏变换出发，则用拉氏变换的性质，
可以求的许多常用的拉氏变换。
1,
)()( tutx ???
s
tu
1
)( ?
（
0??
）
s
tu
1
)( ??? ???
尺度
（
0??
）
s
tu
1
)( ????
（
0??
）
2,
)()( tuetx
at?
?
a > 0
s
tu
1
)( ?
（
0??
） 由 S 域平移有
as
tue
at
?
?
?
1
)(
（
a???
）
40
ta
etx
?
?)(, a > 0
)()()( tuetuetx
atat
???
?
as
tue
at
?
?
?
1
)(
as
tue
at
?
???
1
)(
as
sX
?
?
1
)( －
as ?
1
＝
22
2
as
a
?
?
aa ??? ?
a???
a??
偶信号
?
偶函数 x (s )
)()()( tuetuetx
atat
???
?
奇信号（ a > 0 ）
22
211
)(
as
s
asas
sX
?
?
?
?
?
?
aa ??? ?
奇信号
?
奇函数 x (s )
41
例,单边正弦、余弦信号的拉氏变换
)(
2
)( tueetx
tjtj ?? ??
?
22
2
1
)
11
()(
?
??
?
?
?
?
?
?
S
S
jSjS
SX
)(
2
)( tu
j
eetx tjtj ?? ???
22
2
1
)
11
()(
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
S
jjSjS
SX
)(c o s tut ??
)(s i n tut ??
0?? 0??
42
?
?
?
?
??
??
?
?
t
c
tt
k
k
d
Ttue
kTta
tttx
0
0
'
)s i n (.4
)(.3
)(.2
)()(.1
:
0
???
?
?
其它例
x(t)
a
1
)1( ?? tae
T
2T
1
0
5,6,
43
0 T 2T
T
x(t)
t
……
0 T t
T
x0(t)
0 T t
1
x’0(t)
)()(
0
0
nTtxtx
n
?? ?
?
?
)]()([)(
0
Ttututtx ???
)()()()(
0
TtTTtututx ?????
?
?
?
sTsT
Tee
s
sXS
??
???? )1(
1
)(
0
sTsT
e
s
T
e
s
sX
??
??? )1(
1
)(
20
)
1
(
1
sT
sT
Te
s
e
s
?
?
?
?
?
R O C 为整个 S 面
sT
n s T
n
e
sX
esXsX
?
?
?
?
?
?? ?
1
)(
)()(
0
0
0
0??
44
周期信号的拉氏变换
)()( 00 sXtx
LT
?
)()( 00 sXenTtx s n T
LT
???
ST
n
S n T
LT
n
e
sX
esXnTtx
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
1
)(
)()(
0
0
0
0
0
第一周期的拉氏变换
利用时移特性
利用无穷级数求和
0,??R O C
45
例 1:矩形周期信号拉氏变换
) 2 ( ) ( ) ( 0 ? t u t u t f ? ? ?
) 1 (
1
1
) ( ) (
2
0
ST
S?
ST
e S
e
e
s F s F
?
?
?
?
? ?
? ?
) 1 ( 1 ) ( 2 0 S? e S s F ? ? ?
第一周期的信号
第一周期的拉氏变换
利用时移特性
利用无穷技术求和
0,??R O C
46
例 2
)(tf
单对称方波
周期对称方波
乘衰减指数
22 )1(1)21(1 sss e
s
ee
s
??? ????
）
（
s
s
s
s
es
e
e
e
s ?
?
?
??
??
?
?
1(
)1
1
1)1(1
2
2
包络函数
te?
1 2
)2()1(2)( ???? tututu
)1(
)1(
)1(
1
)1(
)1(
??
??
?
?
? S
S
e
e
s
0,??R O C
STe
sX
??1
)(0
47
??
?
??
0
)()(
n
T nTtt ??
ST
n
SnT
T ees ?
?
?
?
??? ? 1
1)(
0
?
)()()( ttxtx Tp ??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
.
0
)(
)()()(
n
s n T
n
St
p
enTx
dtenTtnTxsX ?
抽样函数
抽样序列的拉氏变换
时域抽样信号
抽样信号的拉氏变换
抽样信号的拉氏变换
48
49
50
1???
11A 12A
?
?
?
?
51
例：
15239
168
)(
23
???
?
?
sss
s
sX
1???
531)5)(3)(1(
168
)(
?
?
?
?
?
?
???
?
?
s
C
s
B
s
A
sss
s
sX
3
)5)(3(
168
)1)((
1
1
??
??
?
???
??
??
s
s
ss
s
ssXA
10
)5)(1(
168
)3)((
3
3
?
??
?
???
??
??
s
s
ss
s
ssXB
7
)3)(1(
168
)5)((
5
5
??
??
?
???
??
??
s
s
ss
s
ssXC
5
7
3
10
1
3
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
sss
sX
)()7103()(
53
tueeetx
ttt ???
?????
1???
3???
5???
当 x （ s ）有复数极点，重阶极点时部分分式得展开见
附录。
52
常用信号的拉氏变换
)(tu
S
1
tetu ??)( as ?
1
nt
1
!
?ns
n
)(t? 1
)( 0tt ?? 0ste?
53
拉氏变换的基本性质 （ 1）
线性
)(
1
txk i
n
i
i?
?
)(.
1
sXk i
n
i
i?
?
dt
tdx )(微分 )(sSX
积分
? ??t dx ?? )( ssX )(
时移 )( 0ttx ? )(0 sXe st?
频移
atetx ?)(
)( asX ?
54
拉氏变换的基本性质 （ 2）
尺度变换
)(atx ?????? asXa1
)(l im)0()(l im
0
sSXxtx
st ??
?
?
??
?
终值
定理 )(lim)()(lim 0 sSXxtx st ??? ???
卷积
定理
)(*)( 21 txtx )().( 21 sXsX
初值定理
)().( 21 txtx )(*)(2 1 21 sXsXj?
注意收敛域的变化
55
6 6,6 连续时间 L I T 系统的复频域分析
一．复频域分析法,
)()()( thtxty ??
)()()( sHsXsY ?
?
21,RRRO C 包括
R O C, R 1 R 2
若系统稳定,H （ s ）的 R O C 包括
?j
轴，当 s ＝ ?j 时，
即有
)()()( ???? HXY
就是频域分析法。 )( ?H 是系统的
频率响应。
)( sH
称为系统函数
)(
)(
)();()(
sX
sY
sHthsH ??
56
二,系统函数的计算,
1, 由 L C CDE 描述的系统
k
kM
k
kk
kN
k
k
dt
txd
b
dt
tyd
a
)()(
00
??
??
?
)()(
00
sXsbsYsa
k
M
k
k
k
N
k
k ??
??
?
k
N
k
k
k
M
k
k
sa
sb
sH
?
?
?
?
?
0
0
)(
是一个关于 S 的有理函数
由方程得到的 H （ S ）,并未规定 ROC,需要借助于
系统的因果性或稳定性来确定 ROC 。
57
如果系统稳定，则 )( ?H 存在,H （ s ）得 R O C 必包含 ?j 轴。
如果系统是因果的，则 h ( t ) 是右边信号,R OC 必为 H （ S ）最
右边极点的右边。
如果系统函数为有理函数的因果稳定系统，其 H （ s ）得全部
极点必须在 S 得左半平面。
若系统函数是非有理函数，此结论的逆命题不一定成立。
如, 1
)(
?
?
S
e
sH
s
1???
)1()(
)1(
??
??
tueth
t
是非因果的。
58
2,系统由零极点图描述
可由零极点图得出 H （ S ），最多差一个常数因子，可以从已知的
H （ 0 ）等求得该常数,R O C 可由系统的因果稳定性确定。
例：某连续时间 L T I 因果系统的零极点图如下,
?
?j
)(sH
)1)(2(
)()( 23
??
??
ss
sksH
k k
k?例 2,
59
3,系统由方框图描述
可由方框图写出 H (s ),从系统的因果，稳定性确定 R O C 。
例：（因果系统）
)(tx )(ty
? ?)(12 SYS )(1 SSY
1
2
3?
5?
6?
)()(2)(3)(
1
2
11
sYsssYsYsY ????
（ 1 ）
)(6)(5)()(
111
2
sYssYsXsYs ???
（ 2 ）
)()(5)(6)(
2
111
sSYsSYsYsX ???
65
32
)(
)(
)(
2
2
??
??
???
ss
ss
sX
sY
sH
2???
)(1SY
60
6.7,单边拉氏变换,
定义：
dtetxs
st
?
?
?
?
?
0
)()(?
dses
j
tutx
st
j
j
?
??
??
?
?
?
?
?
)(
2
1
)()(
与双边拉氏变换的区别仅在于积分下限。
通常下限取 0,
?
0
、
?
0
。习惯上取
?
0
可以包括 x （ t ）在 t
＝ 0 有奇异函数的情况。
与双边拉氏变换得关系,
1 ）、单边拉氏变换是双边拉氏变换得特例，即：因果信号
的双边变换。
2 ）、两个信号若 t> 0 时相同,t< 0 时不同，有相同得单边拉
氏变换和不同的双边拉氏变换。
ROC,由于它就是因果信号得双边拉氏变换，所以 ROC 一
定是最右边极点得右边，不必特殊强调。
61
性质：除时域微分、积分、时延性质略有不同外，其余性质均与双边
变换相同。
1, 时域微分,
)()( stx ??
)0()()(
?
??? xsstx ?
dtetxsetxdtetx
dt
d
s
ststst
??
?
?
?
?
?
?
???
???
000
)()()()(??
)0()(
?
?? xss ?
)0()0()0()()(
)0()0()()(
'''23'''
'2
???
??
????
?????
xsxxssstx
xsxsstx
?
?
62
p233
2,时域积分,
????? dx
s
s
s
dx
t
??
?
????
??
0
)(
1
)(
1
)(
3 。时延,
)()( stx ??
)()()(
0
00
settuttx
st
?
?
???
形式上与双边一样
注意
)(
0
ttu ?
的作用。
63
6, 8 利用单边变换分析增量线性系统,
一,L CCD E 描述的系统,
对方程两边作单边变换，引入初始条件
例,
)()(2)(3)( txtytyty ??????
0)0( ?
?
y 1)0( ??
?
y )()( tutx ?
)()(2)0(3)(3)0()0()(
2
sXsYyssYysysYs ???????
???
代入初始条件
23
)(
23
)0(3)0()0(
)(
22
??
?
??
???
?
???
ss
sX
ss
yysy
sY
)
2
2
1
1
2
1
()
2
1
1
1
(
)23(
1
23
1
22
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
ssssssssss
)()2
2
1
()()()(
22
tueetueety
tttt ????
?????
零输入响应,零状态响应
零输入响应 零状态响应
64
第三章 拉普拉斯变换
本章要点
拉氏变换的定义 —— 从傅立叶变换到拉
氏变换
拉氏变换与傅氏变换的关系
拉氏变换的性质，收敛域
卷积定理 (S域 )
系统函数和单位冲激响应
65
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号
st
e 是 L T I 系统的特征函数 ??? js ?,并对
?? js 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ ??? js ? ）
进行讨论。
6.1 双边拉氏变换。
如果系统冲激响应为 )( t?,则对
st
e 产生的响应为
st
esHty )()( ?
)()()( tdtetsH
st
?? ??
?
?
??
? 的双边拉氏变换。
ste
)(th
y(t)
?
?
?
??
?
?
??
?
?
???
??
??
?
?
dehe
dehthety
sst
tsst
)(
)()()( )(
66
一般地，对于信号 )( tx 有
dtetxsX
st?
?
??
?
? )()(
dteetx
tjt ???
?
??
?
?
?
)(
])([
t
etxF
??
?
表明 )( sx 就是对
t
etx
??
)( 能作地傅立叶变换。 由于
t
e
??
的引入，就
可以通过适当选择
?
,使 原来傅立叶变换不收敛 的 信号, 其拉氏变换
存在。 因此拉氏变换比傅立叶变换收敛性强，应用范围更少，它是傅
立叶变换地推广。
dtetxX tj? ??? ?? ?? )()(
所做的
广
)(sX
67
如果 )( sx 在 ?? js 收敛，则 即 s 可以取 ?j
dtetXjX
tj ??
?
??
?
?? )()( 是 )( tx 的拉氏变换
??
???
js
sXjX )()( 表明傅立叶变 换氏拉氏变换在 ?j 轴上的特例
由傅立叶 反 变换 得到 拉 斯 反 变换
])([)(
t
etxFSX
??
? )()( SXetx
t
的反变换即为
??
????
?
?
??
?
?
dejXetx
tjt
)(
2
1
)( ?
?
?
?
?
??
?
????? deejXtx
tjt?
?
?
)(
2
1
)(
??? js ?
ds
j
d
1
??
dsesX
j
st
j
j
?
??
??
?
?
?
?
)(
2
1
付里叶变换
的付里叶反变换即为 )()( sXetx t??
)(sX
dtetx tj??)(
是
68
?
?
??
?? dtetxsX st)()(
dsesX
j
tx
j
j
st? ??
??
?
?
??
)(
2
1
)(
69
6, 2 拉氏变换的收敛域
一．收敛域,使
)( sX
存在的 s 取值范围称为
)( sX
的
R O C 。
由于
])([)(
t
etxFsX
??
?
，
?
R O C 与
?
有关。能
够使
t
etx
??
)(
绝对可积的那些
?
的取值范围,
表明 R O C 由
]R e [ s
决定。
例一,
)()( tuetx
t?
?
1
1
)(
0
)1(
0
?
???
??
?
??
?
??
s
dtedteesX
tsstt
)1( ???
-1
?j
?
70
例二,
)()( tuetx
t
???
?
dtesX
ts
?
??
??
??
0
)1(
)(
1
1
?
?
s
)1( ???
两个不同的信号具有相同的拉氏变换式，仅是 R OC 不
同表明拉氏变换式 连同 ROC 才能与信号一一对应。
?
?j
1?
71
例三,
)()()( tuetueetx
atat
ta
?
?
????
asas
dteedteesX
statstat
?
?
?
??
??
??
?
???
??
11
)(
0
0
),( aa ??? ??
当 a >0 时，这两部分地收敛域有共同部分
aa ??? ?
此时
?)( sX
22
211
as
a
asas ?
?
?
?
?
?
存在
当 a <0 时这两个 R O C 无公共区域 x ( s ) 不存在。
表明拉氏变换虽然是付氏变换地推广,
但并非任何信号地拉氏变换都存在。
同时可以看到 R O C 通常氏一个 平行于
?j
轴的带形域。
a -a
?
?j
72
例四,
)()( tutx ?
s
dteSX
st
1
)(
0
??
?
?
?
0??
例五,
)()( ttx ??
1)()( ??
?
?
??
?
dtetsX
st
?
ROC 为整个 S 平面
? 当 x （ s ）的 ROC 包含
?j
轴时，
且存在,)( ?X
?
?
js
sXX
?
? )()(
如：
)()( tuetx
t?
?
?
?
?
js
sj
X
?
?
?
?
?
1
1
1
1
)(
? 当 x(s) 的 ROC 不包含
?j
轴时,)( ?X 可能不存
在，也可能存在，一般地说，如果不包含
?j
轴，
?j
也不是 R OC 的边界时，
)( ?X
不存在，例,
1...)(
)()(
1
1
???
???
?
?
?
s
t
sX
tuetx
ROC图
1???
)s g n ()( 2121 ttu ??
?j
?
73
如果,X （ S ）不包含
?j
轴，
?j
轴是 ROC 的边界
时，
)( ?X
可以利用冲激函数表示为,
)()()(
1
k
N
k
k
js
asXjX ?????
?
???
?
?
?
假定
)( sX
有 N 个极点。 k
a
是
)( sX
在极点处的留数，
k
?
为
)( sX
的极点，即
)( sX
分母的根。
例：
)()( tutx ?
s
sX
1
)( ?
0??
0??
是 ROC 的
边界。
s
sX
1
)( ?
极点为 0,极点的留数为 1 。
所以,
)(
1
)( ???
?
? ??
j
X
。
74
二, 零极点图,
从例子中看到一般情况下 x （ s ）可以表示为两个多项式
之比
)(
)(
)(
sD
sN
sX ?
零点,N （ s ）的根
极点,D （ s ）的根
如果我们把 X （ S ）的全部零点和极点都表示在 S 平面
上，就构成了它的零极点图，，根据零极点图及其收敛域，就可
以表示出 X （ S ）（最多相差一个因子），这就是拉氏变换的零极
点图示法。
75
76
77
)1)(2(
)(2 23
??
?
ss
s
23? ?
?j
78
域的零极点图表示求信号 S
)2(
79
三,ROC 的特征,
从例子可以看出 ROC 边界位置是由 x （ s ）的极点决定的，
ROC 有一些普通的特征,归纳如下,
1, x( S ) 的 RO C 由平行于
?j
的带状区域构成 。收敛域是使
t
etx
??
)(
绝对可积的那些 s 构成的，只与 ? 有关，故 R OC 的边
界总是平行于
?j
的直线。
2, 拉氏变换的 ROC 无极点。
3, 时限信号的 ROC 是整个 s 平面。
4, 右边信号的 ROC 是最右边极点的 右边,
设
?? js ??
00
在 ROC 内，则
??
?
?
?
dtetx
t
t
0
0
)(
?
0
?? ?
????
?
?
?????
??
?
???
dtetxedteetxdtetx
t
t
ttt
tt
t
0
0
000
0
)()()(
)()(
0
???????
即
??
?
?
?
dtetx
t
t
?
0
)(
??
在 R OC 内。
又 ROC 内无极点,? ROC 必在最右边极点的右边。
5, 左边信号的 ROC 是最左边极点的左边。
6, 双边信号的拉氏变换如果存在，则它的 ROC 是一个 带形区
域。
80
81
82 )()( 2 tuee tt ?? ? )()( 2 tuee tt ??? ?? )()( 2 tuetue tt ?? ???
2
1
1
1
???? ss
83
6,3 拉氏变换的性质,
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 R O C
1, 线性。
)()()()( 2121 sbXsaXtbxtax ??? R O C, 包括 ? 21 RR
若 1
R
与 2
R
无公共部分，则表明
)()(
21
tbxtax ?
的拉氏变换不存在。
当
)()(
21
sbXsaX ?
中有零极点抵消时,R O C 可能会扩大。
例 1,
bsbs
sXtuetuetx btbt
?
?
?
????? ?
11
)()()()(
)()(2
)()()(1
:2
tuetx
tuettx
t
t
?
?
??
?? ?
例
bb ??? ??,,,,,,,,,
不存在为空交与时
存在有公共和时当
)(,21,0
:,)(,21,0
SXRRb
bbR OCSXR OCRRb
?
???? ?
1
1)(
?
??
s
ssX
)()()( 21 txtxtx ??
121 )( ??? SssX
112 )( ??? ssX
1??
1??
84
2,时域平移,
0
)()(
0
st
esXttx
?
??
R O C, R
时域平移时
)( sX
乘以因子
0
st
e
?
，该因子的引入
不会改变
)( sX
的极点。所以 R O C 不变。
例,
)1()()( ??? tututx
,
)1(
1
)(
s
e
s
sX
?
??
)( sX
的 R O C,整个 s 平面
有限长信号
0??
se
sssX
??? 11)( 零极点抵消由于线性性质,
85
例 1,? ?
( ),tx t e u t?? 1( ),
1Xs s? ?
1? ??
? ?23 1( ) ( 2 ) 3ttx t e e u t X s s??? ? ? ? ? ?
显然 RO C, 3? ??
0ReR O C ],[Rs?
表明 的 ROC是将 的 ROC
平移了一个 。
0()X s s? ()Xs
0R e[ ]s
3,S域平移
( ) ( ),x t X s? R OC, R
若 则
?j
?j
)()( 00 ssXetx ts ??
86
c o s)(.,,,,,,
)()(:2
??
?
ttx
SXtx
c?
例
))((c o s)( 21 tjtjc cc eetxttx ??? ???
)]()([21 cc jsXjsX ?? ????
RR O C,
RR O C,
87
4,尺度变换,
)()( SXtx ?
R O C, R
)(
1
)(
a
s
X
a
atx ?
R O C, aR
当 RS ? 则 x ( s ) 收敛。
R
a
s
?
时
)(
a
s
X
收敛，即 aRS ? 表明 R O C
的边界作相应的尺度变换。
例,)( sX 的 R O C, 12 ??? ? 则,
)
2
(
s
X
的 R O C 24 ??? ?
时域压缩，则 x （ s ）及 R O C 展宽。
时域扩展，则 x （ s ）及 R O C 压缩。时域与 S 域存在相反
关系。
88
例,
? ? 1( ) ( ),1tx t e u t X s s?? ? ? ?1? ??
1R OC,
2? ??
? ?2()
2
12
( ),
1 21
2
tt
x e u t
Xs
ss
?
?
??
??
)(1)(
a
sX
a
atx ?
2
1
12
2)2(2)
2
( ??
?
?? ?
s
sXtx)
2
1( ?a
89
:1时??a )()( SXtx ??? ROC,是 X（ S） ROC的反转
)23(:
)()(:
??
?
tx
SXtx
求
例
ROC,R
sss eXeSXSX
txtxtx
3
2
)()()(
)23()2()(
33
12 ?? ??
???? ROC,3R
sss eXXSX
txtxtx
3
2
)()()(
))(3()3()(
33
1
33
1
3
2
???
???
ROC,3R
90
5,卷积特性,
)()(
)()(
22
11
sXtx
sXtx
?
?
2
1
:
:
RR O C
RR O C
)()()()(
2121
sXsXtxtx ??
RO C,包括 ? 21
RR
当
)()(
21
sXsX
有零极点抵消时,RO C 可能
会扩大。
卷积特性是 L T I 系统复频域分析的理性基
础。
91
例,
1
1( ),
1Xs s? ?
1,? ??
? ? ? ?2
1( ),
23
sXs
ss
??
??
2,? ??
12 1RR ?? ? ?
? ? ? ?12
1( ) ( ),
23
X s X s
ss
?
??
2,? ?? ROC扩大
92
6,时域微分,
)()( sXtx ?
)()( ssXtx ??
R O C,包括 R 。
当 x ( s ) 在 s ＝ 0 有一阶极点，且该极点位于 R O C
边界时,由于 S 的引入将消去该极点，从而使 R O C
扩大。
例,
1
1
)()()(
?
???
?
s
SXtuetx
t
1???
1
)(
'
?
?
s
s
tx
1???
例,
s
SXtutx
1
)()()( ???
0??
1)(
'
?tx
R O C, 整个 S 平面
ROC,
R
93
7,时域积分,
)()( sXtx ?
)(
1
)( sX
s
dx
t
?
?
??
??
R O C,包括
)0?? ?R
∵
)()()( tutxdx
t
??
?
??
??
)()( sXtx ?
R O C, R
s
tu
1
)( ?
R O C,
0??
?
)(
1
)( sX
s
dx
t
?
?
??
??
,R O C 包括
)0( ?? ?R
如果 x ( s ) 在 s = 0 有零点，则由于零极点相抵消，
R O C 可能会扩大,
RR O C,
94
0 -1 1 2
1
t
例,
0
-1 -1 1 2
1
)]2()1([)]()1([)( ???????? tututututx
)(
1
)1(
1
)(
2 sss
ee
s
e
s
sXs
??
?????
?
)1(
1
)(
2
2
sss
eee
s
sX
??
????
)1)(1(
1
2
2
ss
ee
s
?
???
在 s =0 有二阶极点与二个零点相消 R O C 为整个 S 平面。
)(tx )(tx?
95
8,复频域微分,
)()( SXtx ?
R O C, R
ds
sdX
ttx
)(
)( ??
R O C, R
ds
sdX )(
只会造成阶数的提高,不会改变极点得位置,
所以 ROC 不变。
例,
atue
as
at
???
?
?
?.,,,)(
1
atute
as
as
at
?????
?
?
?
?.......][)(
2
)(
1
'
)(
1
ROC, a? ??例, 求 ()xt
2
11 ()
()
d
s a d s s a???? ( ) ( )atx t te u t???
2
1()
()Xs sa? ?
96
.复频域积分,
RR O CSXtx,),,,,,,,,,()( ?
11
)()(
1
dssXtx
t
s
?
?
?
RO C, R
证,
dtetxsX
st?
?
??
?
? )()(
111
1
)()( d t d setxdssX
ts
ss
?
? ?
??
?
? ??
?
dtdsetx
s
ts
1
1
)(
??
?
?
?
??
?
dtetx
t
st?
?
??
?
? )(
1
?? )(
1
tx
t
11
)( dssX
s
?
?
9,
97
10,初值定理,
若因果信号
)()( sXtx ?
且
)(l i m ssX
s ??
存在。
则
)(l i m)0( ssXx
s ??
?
?
)(])0(
2
1
)0()0([)(
2
tuxtxtxtx ?????????
???
?
?????????
???
)0(
1
)0(
1
)0(
1
)(
32
x
s
x
s
x
s
sX
?????????
???
)0(
1
)0(
1
)0()(
2
x
s
x
s
xssX
)0()(lim
?
??
? xssX
s
条件
)(l i m ssX
s ?? 存在，意味 着 x(t) 在 t=0 不包含冲
激及其导数，在 t=0 确有初值存在,可通过 S 域的
)(l i m ssX
s ??
求得,而不需要求 X (S) 的反变换,
98
1 1,终值定理,
因果信号 )()( sxtx ?,且 X (S ) 除在 s ＝ 0 可以有一阶极点外，
其余极点均在 S 平面的左半面。
则 )(l i m)(l i m
0
sSXtx
st ???
? x (t ) 的终值可以通过 )(lim
0
sSX
s ?
求得,条件是 x (s ) 的极点除在 s ＝ 0 可以有一阶极点外，其余极点在 S
的左半平面，该条件保证了 x (t ) 的终值存在。
极点位置与信号特征的关系。
)()( sXtx ?
99
)(tueat
t
)(tx
a
a??
?
?j
)(tx
t
)(tue at?
a?
a???
?j
?
左半面其它几种情况见下页
右半面其它几种情况见下页
100
极点在 S平面的分布与终值的关系
?j
101
3-1,3-2,3-5,3-6
(不限用定义做 )
102
6.4 常用信号的拉氏变换
由 u （ t ）或
)( t?
的拉氏变换出发，则用拉氏变换的性质，
可以求的许多常用的拉氏变换。
1,
)()( tutx ???
s
tu
1
)( ?
（
0??
）
s
tu
1
)( ??? ???
尺度
（
0??
）
s
tu
1
)( ????
（
0??
）
2,
)()( tuetx
at?
?
a > 0
s
tu
1
)( ?
（
0??
） 由 S 域平移有
as
tue
at
?
?
?
1
)(
（
a???
）
103
ta
etx
?
?)(, a > 0
)()()( tuetuetx
atat
???
?
as
tue
at
?
?
?
1
)(
as
tue
at
?
???
1
)(
as
sX
?
?
1
)( －
as ?
1
＝
22
2
as
a
?
?
aa ??? ?
a???
a??
偶信号
?
偶函数 x (s )
)()()( tuetuetx
atat
???
?
奇信号（ a > 0 ）
22
211
)(
as
s
asas
sX
?
?
?
?
?
?
aa ??? ?
奇信号
?
奇函数 x (s )
104
例,单边正弦、余弦信号的拉氏变换
)(
2
)( tueetx
tjtj ?? ??
?
22
2
1
)
11
()(
?
??
?
?
?
?
?
?
S
S
jSjS
SX
)(
2
)( tu
j
eetx tjtj ?? ???
22
2
1
)
11
()(
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
S
jjSjS
SX
)(c o s tut ??
)(s i n tut ??
0?? 0??
105
?
?
?
?
??
??
?
?
t
c
tt
k
k
d
Ttue
kTta
tttx
0
0
'
)s i n (.4
)(.3
)(.2
)()(.1
:
0
???
?
?
其它例
x(t)
a
1
)1( ?? tae
T
2T
1
0
5,6,
106
0 T 2T
T
x(t)
t
……
0 T t
T
x0(t)
0 T t
1
x’0(t)
)()(
0
0
nTtxtx
n
?? ?
?
?
)]()([)(
0
Ttututtx ???
)()()()(
0
TtTTtututx ?????
?
?
?
sTsT
Tee
s
sXS
??
???? )1(
1
)(
0
sTsT
e
s
T
e
s
sX
??
??? )1(
1
)(
20
)
1
(
1
sT
sT
Te
s
e
s
?
?
?
?
?
R O C 为整个 S 面
sT
n s T
n
e
sX
esXsX
?
?
?
?
?
?? ?
1
)(
)()(
0
0
0
0??
107
周期信号的拉氏变换
)()( 00 sXtx
LT
?
)()( 00 sXenTtx s n T
LT
???
ST
n
S n T
LT
n
e
sX
esXnTtx
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
1
)(
)()(
0
0
0
0
0
第一周期的拉氏变换
利用时移特性
利用无穷级数求和
0,??R O C
108
例 1:矩形周期信号拉氏变换
) 2 ( ) ( ) ( 0 ? t u t u t f ? ? ?
) 1 (
1
1
) ( ) (
2
0
ST
S?
ST
e S
e
e
s F s F
?
?
?
?
? ?
? ?
) 1 ( 1 ) ( 2 0 S? e S s F ? ? ?
第一周期的信号
第一周期的拉氏变换
利用时移特性
利用无穷技术求和
0,??R O C
109
例 2
)(tf
单对称方波
周期对称方波
乘衰减指数
22 )1(1)21(1 sss e
s
ee
s
??? ????
）
（
s
s
s
s
es
e
e
e
s ?
?
?
??
??
?
?
1(
)1
1
1)1(1
2
2
包络函数
te?
1 2
)2()1(2)( ???? tututu
)1(
)1(
)1(
1
)1(
)1(
??
??
?
?
? S
S
e
e
s
0,??R O C
STe
sX
??1
)(0
110
??
?
??
0
)()(
n
T nTtt ??
ST
n
SnT
T ees ?
?
?
?
??? ? 1
1)(
0
?
)()()( ttxtx Tp ??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
.
0
)(
)()()(
n
s n T
n
St
p
enTx
dtenTtnTxsX ?
抽样函数
抽样序列的拉氏变换
时域抽样信号
抽样信号的拉氏变换
抽样信号的拉氏变换
111
112
113
1???
11A 12A
?
?
?
?
114
例：
15239
168
)(
23
???
?
?
sss
s
sX
1???
531)5)(3)(1(
168
)(
?
?
?
?
?
?
???
?
?
s
C
s
B
s
A
sss
s
sX
3
)5)(3(
168
)1)((
1
1
??
??
?
???
??
??
s
s
ss
s
ssXA
10
)5)(1(
168
)3)((
3
3
?
??
?
???
??
??
s
s
ss
s
ssXB
7
)3)(1(
168
)5)((
5
5
??
??
?
???
??
??
s
s
ss
s
ssXC
5
7
3
10
1
3
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
sss
sX
)()7103()(
53
tueeetx
ttt ???
?????
1???
3???
5???
当 x （ s ）有复数极点，重阶极点时部分分式得展开见
附录。
115
常用信号的拉氏变换
)(tu
S
1
tetu ??)( as ?
1
nt
1
!
?ns
n
)(t? 1
)( 0tt ?? 0ste?
116
拉氏变换的基本性质 （ 1）
线性
)(
1
txk i
n
i
i?
?
)(.
1
sXk i
n
i
i?
?
dt
tdx )(微分 )(sSX
积分
? ??t dx ?? )( ssX )(
时移 )( 0ttx ? )(0 sXe st?
频移
atetx ?)(
)( asX ?
117
拉氏变换的基本性质 （ 2）
尺度变换
)(atx ?????? asXa1
)(l im)0()(l im
0
sSXxtx
st ??
?
?
??
?
终值
定理 )(lim)()(lim 0 sSXxtx st ??? ???
卷积
定理
)(*)( 21 txtx )().( 21 sXsX
初值定理
)().( 21 txtx )(*)(2 1 21 sXsXj?
注意收敛域的变化
118
6 6,6 连续时间 L I T 系统的复频域分析
一．复频域分析法,
)()()( thtxty ??
)()()( sHsXsY ?
?
21,RRRO C 包括
R O C, R 1 R 2
若系统稳定,H （ s ）的 R O C 包括
?j
轴，当 s ＝ ?j 时，
即有
)()()( ???? HXY
就是频域分析法。 )( ?H 是系统的
频率响应。
)( sH
称为系统函数
)(
)(
)();()(
sX
sY
sHthsH ??
119
二,系统函数的计算,
1, 由 L C CDE 描述的系统
k
kM
k
kk
kN
k
k
dt
txd
b
dt
tyd
a
)()(
00
??
??
?
)()(
00
sXsbsYsa
k
M
k
k
k
N
k
k ??
??
?
k
N
k
k
k
M
k
k
sa
sb
sH
?
?
?
?
?
0
0
)(
是一个关于 S 的有理函数
由方程得到的 H （ S ）,并未规定 ROC,需要借助于
系统的因果性或稳定性来确定 ROC 。
120
如果系统稳定，则 )( ?H 存在,H （ s ）得 R O C 必包含 ?j 轴。
如果系统是因果的，则 h ( t ) 是右边信号,R OC 必为 H （ S ）最
右边极点的右边。
如果系统函数为有理函数的因果稳定系统，其 H （ s ）得全部
极点必须在 S 得左半平面。
若系统函数是非有理函数，此结论的逆命题不一定成立。
如, 1
)(
?
?
S
e
sH
s
1???
)1()(
)1(
??
??
tueth
t
是非因果的。
121
2,系统由零极点图描述
可由零极点图得出 H （ S ），最多差一个常数因子，可以从已知的
H （ 0 ）等求得该常数,R O C 可由系统的因果稳定性确定。
例：某连续时间 L T I 因果系统的零极点图如下,
?
?j
)(sH
)1)(2(
)()( 23
??
??
ss
sksH
k k
k?例 2,
122
3,系统由方框图描述
可由方框图写出 H (s ),从系统的因果，稳定性确定 R O C 。
例：（因果系统）
)(tx )(ty
? ?)(12 SYS )(1 SSY
1
2
3?
5?
6?
)()(2)(3)(
1
2
11
sYsssYsYsY ????
（ 1 ）
)(6)(5)()(
111
2
sYssYsXsYs ???
（ 2 ）
)()(5)(6)(
2
111
sSYsSYsYsX ???
65
32
)(
)(
)(
2
2
??
??
???
ss
ss
sX
sY
sH
2???
)(1SY
123
6.7,单边拉氏变换,
定义：
dtetxs
st
?
?
?
?
?
0
)()(?
dses
j
tutx
st
j
j
?
??
??
?
?
?
?
?
)(
2
1
)()(
与双边拉氏变换的区别仅在于积分下限。
通常下限取 0,
?
0
、
?
0
。习惯上取
?
0
可以包括 x （ t ）在 t
＝ 0 有奇异函数的情况。
与双边拉氏变换得关系,
1 ）、单边拉氏变换是双边拉氏变换得特例，即：因果信号
的双边变换。
2 ）、两个信号若 t> 0 时相同,t< 0 时不同，有相同得单边拉
氏变换和不同的双边拉氏变换。
ROC,由于它就是因果信号得双边拉氏变换，所以 ROC 一
定是最右边极点得右边，不必特殊强调。
124
性质：除时域微分、积分、时延性质略有不同外，其余性质均与双边
变换相同。
1, 时域微分,
)()( stx ??
)0()()(
?
??? xsstx ?
dtetxsetxdtetx
dt
d
s
ststst
??
?
?
?
?
?
?
???
???
000
)()()()(??
)0()(
?
?? xss ?
)0()0()0()()(
)0()0()()(
'''23'''
'2
???
??
????
?????
xsxxssstx
xsxsstx
?
?
125
p233
2,时域积分,
????? dx
s
s
s
dx
t
??
?
????
??
0
)(
1
)(
1
)(
3 。时延,
)()( stx ??
)()()(
0
00
settuttx
st
?
?
???
形式上与双边一样
注意
)(
0
ttu ?
的作用。
126
6, 8 利用单边变换分析增量线性系统,
一,L CCD E 描述的系统,
对方程两边作单边变换，引入初始条件
例,
)()(2)(3)( txtytyty ??????
0)0( ?
?
y 1)0( ??
?
y )()( tutx ?
)()(2)0(3)(3)0()0()(
2
sXsYyssYysysYs ???????
???
代入初始条件
23
)(
23
)0(3)0()0(
)(
22
??
?
??
???
?
???
ss
sX
ss
yysy
sY
)
2
2
1
1
2
1
()
2
1
1
1
(
)23(
1
23
1
22
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
ssssssssss
)()2
2
1
()()()(
22
tueetueety
tttt ????
?????
零输入响应,零状态响应
零输入响应 零状态响应
127
二．由电路描述的系统,
1 ）、由电路列出微分方程。
2 ）、对方程进行单边拉氏变换，带入初始条件求解。
三．由系统框图描述的系统,
由系统框图求出系统函数 H ( s ),再列出微分方程进行求解。
四,由 h （ t ）描述的系统,
由
LCCDEsHth ?? )()(
求解。
作业,6, 1 0 a 6, 1 2 6, 1 7
128
二．由电路描述的系统,
1 ）、由电路列出微分方程。
2 ）、对方程进行单边拉氏变换，带入初始条件求解。
三．由系统框图描述的系统,
由系统框图求出系统函数 H ( s ),再列出微分方程进行求解。
四,由 h （ t ）描述的系统,
由
LCCDEsHth ?? )()(
求解。
作业,6, 1 0 a 6, 1 2 6, 1 7
第三章 拉普拉斯变换
本章要点
拉氏变换的定义 —— 从傅立叶变换到拉
氏变换
拉氏变换与傅氏变换的关系
拉氏变换的性质，收敛域
卷积定理 (S域 )
系统函数和单位冲激响应
2
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号
st
e 是 L T I 系统的特征函数 ??? js ?,并对
?? js 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ ??? js ? ）
进行讨论。
6.1 双边拉氏变换。
如果系统冲激响应为 )( t?,则对
st
e 产生的响应为
st
esHty )()( ?
)()()( tdtetsH
st
?? ??
?
?
??
? 的双边拉氏变换。
ste
)(th
y(t)
?
?
?
??
?
?
??
?
?
???
??
??
?
?
dehe
dehthety
sst
tsst
)(
)()()( )(
3
一般地，对于信号 )( tx 有
dtetxsX
st?
?
??
?
? )()(
dteetx
tjt ???
?
??
?
?
?
)(
])([
t
etxF
??
?
表明 )( sx 就是对
t
etx
??
)( 能作地傅立叶变换。 由于
t
e
??
的引入，就
可以通过适当选择
?
,使 原来傅立叶变换不收敛 的 信号, 其拉氏变换
存在。 因此拉氏变换比傅立叶变换收敛性强，应用范围更少，它是傅
立叶变换地推广。
dtetxX tj? ??? ?? ?? )()(
所做的
广
)(sX
4
如果 )( sx 在 ?? js 收敛，则 即 s 可以取 ?j
dtetXjX
tj ??
?
??
?
?? )()( 是 )( tx 的拉氏变换
??
???
js
sXjX )()( 表明傅立叶变 换氏拉氏变换在 ?j 轴上的特例
由傅立叶 反 变换 得到 拉 斯 反 变换
])([)(
t
etxFSX
??
? )()( SXetx
t
的反变换即为
??
????
?
?
??
?
?
dejXetx
tjt
)(
2
1
)( ?
?
?
?
?
??
?
????? deejXtx
tjt?
?
?
)(
2
1
)(
??? js ?
ds
j
d
1
??
dsesX
j
st
j
j
?
??
??
?
?
?
?
)(
2
1
付里叶变换
的付里叶反变换即为 )()( sXetx t??
)(sX
dtetx tj??)(
是
5
?
?
??
?? dtetxsX st)()(
dsesX
j
tx
j
j
st? ??
??
?
?
??
)(
2
1
)(
6
6, 2 拉氏变换的收敛域
一．收敛域,使
)( sX
存在的 s 取值范围称为
)( sX
的
R O C 。
由于
])([)(
t
etxFsX
??
?
，
?
R O C 与
?
有关。能
够使
t
etx
??
)(
绝对可积的那些
?
的取值范围,
表明 R O C 由
]R e [ s
决定。
例一,
)()( tuetx
t?
?
1
1
)(
0
)1(
0
?
???
??
?
??
?
??
s
dtedteesX
tsstt
)1( ???
-1
?j
?
7
例二,
)()( tuetx
t
???
?
dtesX
ts
?
??
??
??
0
)1(
)(
1
1
?
?
s
)1( ???
两个不同的信号具有相同的拉氏变换式，仅是 R OC 不
同表明拉氏变换式 连同 ROC 才能与信号一一对应。
?
?j
1?
8
例三,
)()()( tuetueetx
atat
ta
?
?
????
asas
dteedteesX
statstat
?
?
?
??
??
??
?
???
??
11
)(
0
0
),( aa ??? ??
当 a >0 时，这两部分地收敛域有共同部分
aa ??? ?
此时
?)( sX
22
211
as
a
asas ?
?
?
?
?
?
存在
当 a <0 时这两个 R O C 无公共区域 x ( s ) 不存在。
表明拉氏变换虽然是付氏变换地推广,
但并非任何信号地拉氏变换都存在。
同时可以看到 R O C 通常氏一个 平行于
?j
轴的带形域。
a -a
?
?j
9
例四,
)()( tutx ?
s
dteSX
st
1
)(
0
??
?
?
?
0??
例五,
)()( ttx ??
1)()( ??
?
?
??
?
dtetsX
st
?
ROC 为整个 S 平面
? 当 x （ s ）的 ROC 包含
?j
轴时，
且存在,)( ?X
?
?
js
sXX
?
? )()(
如：
)()( tuetx
t?
?
?
?
?
js
sj
X
?
?
?
?
?
1
1
1
1
)(
? 当 x(s) 的 ROC 不包含
?j
轴时,)( ?X 可能不存
在，也可能存在，一般地说，如果不包含
?j
轴，
?j
也不是 R OC 的边界时，
)( ?X
不存在，例,
1...)(
)()(
1
1
???
???
?
?
?
s
t
sX
tuetx
ROC图
1???
)s g n ()( 2121 ttu ??
?j
?
10
如果,X （ S ）不包含
?j
轴，
?j
轴是 ROC 的边界
时，
)( ?X
可以利用冲激函数表示为,
)()()(
1
k
N
k
k
js
asXjX ?????
?
???
?
?
?
假定
)( sX
有 N 个极点。 k
a
是
)( sX
在极点处的留数，
k
?
为
)( sX
的极点，即
)( sX
分母的根。
例：
)()( tutx ?
s
sX
1
)( ?
0??
0??
是 ROC 的
边界。
s
sX
1
)( ?
极点为 0,极点的留数为 1 。
所以,
)(
1
)( ???
?
? ??
j
X
。
11
二, 零极点图,
从例子中看到一般情况下 x （ s ）可以表示为两个多项式
之比
)(
)(
)(
sD
sN
sX ?
零点,N （ s ）的根
极点,D （ s ）的根
如果我们把 X （ S ）的全部零点和极点都表示在 S 平面
上，就构成了它的零极点图，，根据零极点图及其收敛域，就可
以表示出 X （ S ）（最多相差一个因子），这就是拉氏变换的零极
点图示法。
12
13
14
)1)(2(
)(2 23
??
?
ss
s
23? ?
?j
15
域的零极点图表示求信号 S
)2(
16
三,ROC 的特征,
从例子可以看出 ROC 边界位置是由 x （ s ）的极点决定的，
ROC 有一些普通的特征,归纳如下,
1, x( S ) 的 RO C 由平行于
?j
的带状区域构成 。收敛域是使
t
etx
??
)(
绝对可积的那些 s 构成的，只与 ? 有关，故 R OC 的边
界总是平行于
?j
的直线。
2, 拉氏变换的 ROC 无极点。
3, 时限信号的 ROC 是整个 s 平面。
4, 右边信号的 ROC 是最右边极点的 右边,
设
?? js ??
00
在 ROC 内，则
??
?
?
?
dtetx
t
t
0
0
)(
?
0
?? ?
????
?
?
?????
??
?
???
dtetxedteetxdtetx
t
t
ttt
tt
t
0
0
000
0
)()()(
)()(
0
???????
即
??
?
?
?
dtetx
t
t
?
0
)(
??
在 R OC 内。
又 ROC 内无极点,? ROC 必在最右边极点的右边。
5, 左边信号的 ROC 是最左边极点的左边。
6, 双边信号的拉氏变换如果存在，则它的 ROC 是一个 带形区
域。
17
18
19 )()( 2 tuee tt ?? ? )()( 2 tuee tt ??? ?? )()( 2 tuetue tt ?? ???
2
1
1
1
???? ss
20
6,3 拉氏变换的性质,
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 R O C
1, 线性。
)()()()( 2121 sbXsaXtbxtax ??? R O C, 包括 ? 21 RR
若 1
R
与 2
R
无公共部分，则表明
)()(
21
tbxtax ?
的拉氏变换不存在。
当
)()(
21
sbXsaX ?
中有零极点抵消时,R O C 可能会扩大。
例 1,
bsbs
sXtuetuetx btbt
?
?
?
????? ?
11
)()()()(
)()(2
)()()(1
:2
tuetx
tuettx
t
t
?
?
??
?? ?
例
bb ??? ??,,,,,,,,,
不存在为空交与时
存在有公共和时当
)(,21,0
:,)(,21,0
SXRRb
bbR OCSXR OCRRb
?
???? ?
1
1)(
?
??
s
ssX
)()()( 21 txtxtx ??
121 )( ??? SssX
112 )( ??? ssX
1??
1??
21
2,时域平移,
0
)()(
0
st
esXttx
?
??
R O C, R
时域平移时
)( sX
乘以因子
0
st
e
?
，该因子的引入
不会改变
)( sX
的极点。所以 R O C 不变。
例,
)1()()( ??? tututx
,
)1(
1
)(
s
e
s
sX
?
??
)( sX
的 R O C,整个 s 平面
有限长信号
0??
se
sssX
??? 11)( 零极点抵消由于线性性质,
22
例 1,? ?
( ),tx t e u t?? 1( ),
1Xs s? ?
1? ??
? ?23 1( ) ( 2 ) 3ttx t e e u t X s s??? ? ? ? ? ?
显然 RO C, 3? ??
0ReR O C ],[Rs?
表明 的 ROC是将 的 ROC
平移了一个 。
0()X s s? ()Xs
0R e[ ]s
3,S域平移
( ) ( ),x t X s? R OC, R
若 则
?j
?j
)()( 00 ssXetx ts ??
23
c o s)(.,,,,,,
)()(:2
??
?
ttx
SXtx
c?
例
))((c o s)( 21 tjtjc cc eetxttx ??? ???
)]()([21 cc jsXjsX ?? ????
RR O C,
RR O C,
24
4,尺度变换,
)()( SXtx ?
R O C, R
)(
1
)(
a
s
X
a
atx ?
R O C, aR
当 RS ? 则 x ( s ) 收敛。
R
a
s
?
时
)(
a
s
X
收敛，即 aRS ? 表明 R O C
的边界作相应的尺度变换。
例,)( sX 的 R O C, 12 ??? ? 则,
)
2
(
s
X
的 R O C 24 ??? ?
时域压缩，则 x （ s ）及 R O C 展宽。
时域扩展，则 x （ s ）及 R O C 压缩。时域与 S 域存在相反
关系。
25
例,
? ? 1( ) ( ),1tx t e u t X s s?? ? ? ?1? ??
1R OC,
2? ??
? ?2()
2
12
( ),
1 21
2
tt
x e u t
Xs
ss
?
?
??
??
)(1)(
a
sX
a
atx ?
2
1
12
2)2(2)
2
( ??
?
?? ?
s
sXtx)
2
1( ?a
26
:1时??a )()( SXtx ??? ROC,是 X（ S） ROC的反转
)23(:
)()(:
??
?
tx
SXtx
求
例
ROC,R
sss eXeSXSX
txtxtx
3
2
)()()(
)23()2()(
33
12 ?? ??
???? ROC,3R
sss eXXSX
txtxtx
3
2
)()()(
))(3()3()(
33
1
33
1
3
2
???
???
ROC,3R
27
5,卷积特性,
)()(
)()(
22
11
sXtx
sXtx
?
?
2
1
:
:
RR O C
RR O C
)()()()(
2121
sXsXtxtx ??
RO C,包括 ? 21
RR
当
)()(
21
sXsX
有零极点抵消时,RO C 可能
会扩大。
卷积特性是 L T I 系统复频域分析的理性基
础。
28
例,
1
1( ),
1Xs s? ?
1,? ??
? ? ? ?2
1( ),
23
sXs
ss
??
??
2,? ??
12 1RR ?? ? ?
? ? ? ?12
1( ) ( ),
23
X s X s
ss
?
??
2,? ?? ROC扩大
29
6,时域微分,
)()( sXtx ?
)()( ssXtx ??
R O C,包括 R 。
当 x ( s ) 在 s ＝ 0 有一阶极点，且该极点位于 R O C
边界时,由于 S 的引入将消去该极点，从而使 R O C
扩大。
例,
1
1
)()()(
?
???
?
s
SXtuetx
t
1???
1
)(
'
?
?
s
s
tx
1???
例,
s
SXtutx
1
)()()( ???
0??
1)(
'
?tx
R O C, 整个 S 平面
ROC,
R
30
7,时域积分,
)()( sXtx ?
)(
1
)( sX
s
dx
t
?
?
??
??
R O C,包括
)0?? ?R
∵
)()()( tutxdx
t
??
?
??
??
)()( sXtx ?
R O C, R
s
tu
1
)( ?
R O C,
0??
?
)(
1
)( sX
s
dx
t
?
?
??
??
,R O C 包括
)0( ?? ?R
如果 x ( s ) 在 s = 0 有零点，则由于零极点相抵消，
R O C 可能会扩大,
RR O C,
31
0 -1 1 2
1
t
例,
0
-1 -1 1 2
1
)]2()1([)]()1([)( ???????? tututututx
)(
1
)1(
1
)(
2 sss
ee
s
e
s
sXs
??
?????
?
)1(
1
)(
2
2
sss
eee
s
sX
??
????
)1)(1(
1
2
2
ss
ee
s
?
???
在 s =0 有二阶极点与二个零点相消 R O C 为整个 S 平面。
)(tx )(tx?
32
8,复频域微分,
)()( SXtx ?
R O C, R
ds
sdX
ttx
)(
)( ??
R O C, R
ds
sdX )(
只会造成阶数的提高,不会改变极点得位置,
所以 ROC 不变。
例,
atue
as
at
???
?
?
?.,,,)(
1
atute
as
as
at
?????
?
?
?
?.......][)(
2
)(
1
'
)(
1
ROC, a? ??例, 求 ()xt
2
11 ()
()
d
s a d s s a???? ( ) ( )atx t te u t???
2
1()
()Xs sa? ?
33
.复频域积分,
RR O CSXtx,),,,,,,,,,()( ?
11
)()(
1
dssXtx
t
s
?
?
?
RO C, R
证,
dtetxsX
st?
?
??
?
? )()(
111
1
)()( d t d setxdssX
ts
ss
?
? ?
??
?
? ??
?
dtdsetx
s
ts
1
1
)(
??
?
?
?
??
?
dtetx
t
st?
?
??
?
? )(
1
?? )(
1
tx
t
11
)( dssX
s
?
?
9,
34
10,初值定理,
若因果信号
)()( sXtx ?
且
)(l i m ssX
s ??
存在。
则
)(l i m)0( ssXx
s ??
?
?
)(])0(
2
1
)0()0([)(
2
tuxtxtxtx ?????????
???
?
?????????
???
)0(
1
)0(
1
)0(
1
)(
32
x
s
x
s
x
s
sX
?????????
???
)0(
1
)0(
1
)0()(
2
x
s
x
s
xssX
)0()(lim
?
??
? xssX
s
条件
)(l i m ssX
s ?? 存在，意味 着 x(t) 在 t=0 不包含冲
激及其导数，在 t=0 确有初值存在,可通过 S 域的
)(l i m ssX
s ??
求得,而不需要求 X (S) 的反变换,
35
1 1,终值定理,
因果信号 )()( sxtx ?,且 X (S ) 除在 s ＝ 0 可以有一阶极点外，
其余极点均在 S 平面的左半面。
则 )(l i m)(l i m
0
sSXtx
st ???
? x (t ) 的终值可以通过 )(lim
0
sSX
s ?
求得,条件是 x (s ) 的极点除在 s ＝ 0 可以有一阶极点外，其余极点在 S
的左半平面，该条件保证了 x (t ) 的终值存在。
极点位置与信号特征的关系。
)()( sXtx ?
36
)(tueat
t
)(tx
a
a??
?
?j
)(tx
t
)(tue at?
a?
a???
?j
?
左半面其它几种情况见下页
右半面其它几种情况见下页
37
极点在 S平面的分布与终值的关系
?j
38
3-1,3-2,3-5,3-6
(不限用定义做 )
39
6.4 常用信号的拉氏变换
由 u （ t ）或
)( t?
的拉氏变换出发，则用拉氏变换的性质，
可以求的许多常用的拉氏变换。
1,
)()( tutx ???
s
tu
1
)( ?
（
0??
）
s
tu
1
)( ??? ???
尺度
（
0??
）
s
tu
1
)( ????
（
0??
）
2,
)()( tuetx
at?
?
a > 0
s
tu
1
)( ?
（
0??
） 由 S 域平移有
as
tue
at
?
?
?
1
)(
（
a???
）
40
ta
etx
?
?)(, a > 0
)()()( tuetuetx
atat
???
?
as
tue
at
?
?
?
1
)(
as
tue
at
?
???
1
)(
as
sX
?
?
1
)( －
as ?
1
＝
22
2
as
a
?
?
aa ??? ?
a???
a??
偶信号
?
偶函数 x (s )
)()()( tuetuetx
atat
???
?
奇信号（ a > 0 ）
22
211
)(
as
s
asas
sX
?
?
?
?
?
?
aa ??? ?
奇信号
?
奇函数 x (s )
41
例,单边正弦、余弦信号的拉氏变换
)(
2
)( tueetx
tjtj ?? ??
?
22
2
1
)
11
()(
?
??
?
?
?
?
?
?
S
S
jSjS
SX
)(
2
)( tu
j
eetx tjtj ?? ???
22
2
1
)
11
()(
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
S
jjSjS
SX
)(c o s tut ??
)(s i n tut ??
0?? 0??
42
?
?
?
?
??
??
?
?
t
c
tt
k
k
d
Ttue
kTta
tttx
0
0
'
)s i n (.4
)(.3
)(.2
)()(.1
:
0
???
?
?
其它例
x(t)
a
1
)1( ?? tae
T
2T
1
0
5,6,
43
0 T 2T
T
x(t)
t
……
0 T t
T
x0(t)
0 T t
1
x’0(t)
)()(
0
0
nTtxtx
n
?? ?
?
?
)]()([)(
0
Ttututtx ???
)()()()(
0
TtTTtututx ?????
?
?
?
sTsT
Tee
s
sXS
??
???? )1(
1
)(
0
sTsT
e
s
T
e
s
sX
??
??? )1(
1
)(
20
)
1
(
1
sT
sT
Te
s
e
s
?
?
?
?
?
R O C 为整个 S 面
sT
n s T
n
e
sX
esXsX
?
?
?
?
?
?? ?
1
)(
)()(
0
0
0
0??
44
周期信号的拉氏变换
)()( 00 sXtx
LT
?
)()( 00 sXenTtx s n T
LT
???
ST
n
S n T
LT
n
e
sX
esXnTtx
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
1
)(
)()(
0
0
0
0
0
第一周期的拉氏变换
利用时移特性
利用无穷级数求和
0,??R O C
45
例 1:矩形周期信号拉氏变换
) 2 ( ) ( ) ( 0 ? t u t u t f ? ? ?
) 1 (
1
1
) ( ) (
2
0
ST
S?
ST
e S
e
e
s F s F
?
?
?
?
? ?
? ?
) 1 ( 1 ) ( 2 0 S? e S s F ? ? ?
第一周期的信号
第一周期的拉氏变换
利用时移特性
利用无穷技术求和
0,??R O C
46
例 2
)(tf
单对称方波
周期对称方波
乘衰减指数
22 )1(1)21(1 sss e
s
ee
s
??? ????
）
（
s
s
s
s
es
e
e
e
s ?
?
?
??
??
?
?
1(
)1
1
1)1(1
2
2
包络函数
te?
1 2
)2()1(2)( ???? tututu
)1(
)1(
)1(
1
)1(
)1(
??
??
?
?
? S
S
e
e
s
0,??R O C
STe
sX
??1
)(0
47
??
?
??
0
)()(
n
T nTtt ??
ST
n
SnT
T ees ?
?
?
?
??? ? 1
1)(
0
?
)()()( ttxtx Tp ??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
.
0
)(
)()()(
n
s n T
n
St
p
enTx
dtenTtnTxsX ?
抽样函数
抽样序列的拉氏变换
时域抽样信号
抽样信号的拉氏变换
抽样信号的拉氏变换
48
49
50
1???
11A 12A
?
?
?
?
51
例：
15239
168
)(
23
???
?
?
sss
s
sX
1???
531)5)(3)(1(
168
)(
?
?
?
?
?
?
???
?
?
s
C
s
B
s
A
sss
s
sX
3
)5)(3(
168
)1)((
1
1
??
??
?
???
??
??
s
s
ss
s
ssXA
10
)5)(1(
168
)3)((
3
3
?
??
?
???
??
??
s
s
ss
s
ssXB
7
)3)(1(
168
)5)((
5
5
??
??
?
???
??
??
s
s
ss
s
ssXC
5
7
3
10
1
3
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
sss
sX
)()7103()(
53
tueeetx
ttt ???
?????
1???
3???
5???
当 x （ s ）有复数极点，重阶极点时部分分式得展开见
附录。
52
常用信号的拉氏变换
)(tu
S
1
tetu ??)( as ?
1
nt
1
!
?ns
n
)(t? 1
)( 0tt ?? 0ste?
53
拉氏变换的基本性质 （ 1）
线性
)(
1
txk i
n
i
i?
?
)(.
1
sXk i
n
i
i?
?
dt
tdx )(微分 )(sSX
积分
? ??t dx ?? )( ssX )(
时移 )( 0ttx ? )(0 sXe st?
频移
atetx ?)(
)( asX ?
54
拉氏变换的基本性质 （ 2）
尺度变换
)(atx ?????? asXa1
)(l im)0()(l im
0
sSXxtx
st ??
?
?
??
?
终值
定理 )(lim)()(lim 0 sSXxtx st ??? ???
卷积
定理
)(*)( 21 txtx )().( 21 sXsX
初值定理
)().( 21 txtx )(*)(2 1 21 sXsXj?
注意收敛域的变化
55
6 6,6 连续时间 L I T 系统的复频域分析
一．复频域分析法,
)()()( thtxty ??
)()()( sHsXsY ?
?
21,RRRO C 包括
R O C, R 1 R 2
若系统稳定,H （ s ）的 R O C 包括
?j
轴，当 s ＝ ?j 时，
即有
)()()( ???? HXY
就是频域分析法。 )( ?H 是系统的
频率响应。
)( sH
称为系统函数
)(
)(
)();()(
sX
sY
sHthsH ??
56
二,系统函数的计算,
1, 由 L C CDE 描述的系统
k
kM
k
kk
kN
k
k
dt
txd
b
dt
tyd
a
)()(
00
??
??
?
)()(
00
sXsbsYsa
k
M
k
k
k
N
k
k ??
??
?
k
N
k
k
k
M
k
k
sa
sb
sH
?
?
?
?
?
0
0
)(
是一个关于 S 的有理函数
由方程得到的 H （ S ）,并未规定 ROC,需要借助于
系统的因果性或稳定性来确定 ROC 。
57
如果系统稳定，则 )( ?H 存在,H （ s ）得 R O C 必包含 ?j 轴。
如果系统是因果的，则 h ( t ) 是右边信号,R OC 必为 H （ S ）最
右边极点的右边。
如果系统函数为有理函数的因果稳定系统，其 H （ s ）得全部
极点必须在 S 得左半平面。
若系统函数是非有理函数，此结论的逆命题不一定成立。
如, 1
)(
?
?
S
e
sH
s
1???
)1()(
)1(
??
??
tueth
t
是非因果的。
58
2,系统由零极点图描述
可由零极点图得出 H （ S ），最多差一个常数因子，可以从已知的
H （ 0 ）等求得该常数,R O C 可由系统的因果稳定性确定。
例：某连续时间 L T I 因果系统的零极点图如下,
?
?j
)(sH
)1)(2(
)()( 23
??
??
ss
sksH
k k
k?例 2,
59
3,系统由方框图描述
可由方框图写出 H (s ),从系统的因果，稳定性确定 R O C 。
例：（因果系统）
)(tx )(ty
? ?)(12 SYS )(1 SSY
1
2
3?
5?
6?
)()(2)(3)(
1
2
11
sYsssYsYsY ????
（ 1 ）
)(6)(5)()(
111
2
sYssYsXsYs ???
（ 2 ）
)()(5)(6)(
2
111
sSYsSYsYsX ???
65
32
)(
)(
)(
2
2
??
??
???
ss
ss
sX
sY
sH
2???
)(1SY
60
6.7,单边拉氏变换,
定义：
dtetxs
st
?
?
?
?
?
0
)()(?
dses
j
tutx
st
j
j
?
??
??
?
?
?
?
?
)(
2
1
)()(
与双边拉氏变换的区别仅在于积分下限。
通常下限取 0,
?
0
、
?
0
。习惯上取
?
0
可以包括 x （ t ）在 t
＝ 0 有奇异函数的情况。
与双边拉氏变换得关系,
1 ）、单边拉氏变换是双边拉氏变换得特例，即：因果信号
的双边变换。
2 ）、两个信号若 t> 0 时相同,t< 0 时不同，有相同得单边拉
氏变换和不同的双边拉氏变换。
ROC,由于它就是因果信号得双边拉氏变换，所以 ROC 一
定是最右边极点得右边，不必特殊强调。
61
性质：除时域微分、积分、时延性质略有不同外，其余性质均与双边
变换相同。
1, 时域微分,
)()( stx ??
)0()()(
?
??? xsstx ?
dtetxsetxdtetx
dt
d
s
ststst
??
?
?
?
?
?
?
???
???
000
)()()()(??
)0()(
?
?? xss ?
)0()0()0()()(
)0()0()()(
'''23'''
'2
???
??
????
?????
xsxxssstx
xsxsstx
?
?
62
p233
2,时域积分,
????? dx
s
s
s
dx
t
??
?
????
??
0
)(
1
)(
1
)(
3 。时延,
)()( stx ??
)()()(
0
00
settuttx
st
?
?
???
形式上与双边一样
注意
)(
0
ttu ?
的作用。
63
6, 8 利用单边变换分析增量线性系统,
一,L CCD E 描述的系统,
对方程两边作单边变换，引入初始条件
例,
)()(2)(3)( txtytyty ??????
0)0( ?
?
y 1)0( ??
?
y )()( tutx ?
)()(2)0(3)(3)0()0()(
2
sXsYyssYysysYs ???????
???
代入初始条件
23
)(
23
)0(3)0()0(
)(
22
??
?
??
???
?
???
ss
sX
ss
yysy
sY
)
2
2
1
1
2
1
()
2
1
1
1
(
)23(
1
23
1
22
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
ssssssssss
)()2
2
1
()()()(
22
tueetueety
tttt ????
?????
零输入响应,零状态响应
零输入响应 零状态响应
64
第三章 拉普拉斯变换
本章要点
拉氏变换的定义 —— 从傅立叶变换到拉
氏变换
拉氏变换与傅氏变换的关系
拉氏变换的性质，收敛域
卷积定理 (S域 )
系统函数和单位冲激响应
65
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号
st
e 是 L T I 系统的特征函数 ??? js ?,并对
?? js 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ ??? js ? ）
进行讨论。
6.1 双边拉氏变换。
如果系统冲激响应为 )( t?,则对
st
e 产生的响应为
st
esHty )()( ?
)()()( tdtetsH
st
?? ??
?
?
??
? 的双边拉氏变换。
ste
)(th
y(t)
?
?
?
??
?
?
??
?
?
???
??
??
?
?
dehe
dehthety
sst
tsst
)(
)()()( )(
66
一般地，对于信号 )( tx 有
dtetxsX
st?
?
??
?
? )()(
dteetx
tjt ???
?
??
?
?
?
)(
])([
t
etxF
??
?
表明 )( sx 就是对
t
etx
??
)( 能作地傅立叶变换。 由于
t
e
??
的引入，就
可以通过适当选择
?
,使 原来傅立叶变换不收敛 的 信号, 其拉氏变换
存在。 因此拉氏变换比傅立叶变换收敛性强，应用范围更少，它是傅
立叶变换地推广。
dtetxX tj? ??? ?? ?? )()(
所做的
广
)(sX
67
如果 )( sx 在 ?? js 收敛，则 即 s 可以取 ?j
dtetXjX
tj ??
?
??
?
?? )()( 是 )( tx 的拉氏变换
??
???
js
sXjX )()( 表明傅立叶变 换氏拉氏变换在 ?j 轴上的特例
由傅立叶 反 变换 得到 拉 斯 反 变换
])([)(
t
etxFSX
??
? )()( SXetx
t
的反变换即为
??
????
?
?
??
?
?
dejXetx
tjt
)(
2
1
)( ?
?
?
?
?
??
?
????? deejXtx
tjt?
?
?
)(
2
1
)(
??? js ?
ds
j
d
1
??
dsesX
j
st
j
j
?
??
??
?
?
?
?
)(
2
1
付里叶变换
的付里叶反变换即为 )()( sXetx t??
)(sX
dtetx tj??)(
是
68
?
?
??
?? dtetxsX st)()(
dsesX
j
tx
j
j
st? ??
??
?
?
??
)(
2
1
)(
69
6, 2 拉氏变换的收敛域
一．收敛域,使
)( sX
存在的 s 取值范围称为
)( sX
的
R O C 。
由于
])([)(
t
etxFsX
??
?
，
?
R O C 与
?
有关。能
够使
t
etx
??
)(
绝对可积的那些
?
的取值范围,
表明 R O C 由
]R e [ s
决定。
例一,
)()( tuetx
t?
?
1
1
)(
0
)1(
0
?
???
??
?
??
?
??
s
dtedteesX
tsstt
)1( ???
-1
?j
?
70
例二,
)()( tuetx
t
???
?
dtesX
ts
?
??
??
??
0
)1(
)(
1
1
?
?
s
)1( ???
两个不同的信号具有相同的拉氏变换式，仅是 R OC 不
同表明拉氏变换式 连同 ROC 才能与信号一一对应。
?
?j
1?
71
例三,
)()()( tuetueetx
atat
ta
?
?
????
asas
dteedteesX
statstat
?
?
?
??
??
??
?
???
??
11
)(
0
0
),( aa ??? ??
当 a >0 时，这两部分地收敛域有共同部分
aa ??? ?
此时
?)( sX
22
211
as
a
asas ?
?
?
?
?
?
存在
当 a <0 时这两个 R O C 无公共区域 x ( s ) 不存在。
表明拉氏变换虽然是付氏变换地推广,
但并非任何信号地拉氏变换都存在。
同时可以看到 R O C 通常氏一个 平行于
?j
轴的带形域。
a -a
?
?j
72
例四,
)()( tutx ?
s
dteSX
st
1
)(
0
??
?
?
?
0??
例五,
)()( ttx ??
1)()( ??
?
?
??
?
dtetsX
st
?
ROC 为整个 S 平面
? 当 x （ s ）的 ROC 包含
?j
轴时，
且存在,)( ?X
?
?
js
sXX
?
? )()(
如：
)()( tuetx
t?
?
?
?
?
js
sj
X
?
?
?
?
?
1
1
1
1
)(
? 当 x(s) 的 ROC 不包含
?j
轴时,)( ?X 可能不存
在，也可能存在，一般地说，如果不包含
?j
轴，
?j
也不是 R OC 的边界时，
)( ?X
不存在，例,
1...)(
)()(
1
1
???
???
?
?
?
s
t
sX
tuetx
ROC图
1???
)s g n ()( 2121 ttu ??
?j
?
73
如果,X （ S ）不包含
?j
轴，
?j
轴是 ROC 的边界
时，
)( ?X
可以利用冲激函数表示为,
)()()(
1
k
N
k
k
js
asXjX ?????
?
???
?
?
?
假定
)( sX
有 N 个极点。 k
a
是
)( sX
在极点处的留数，
k
?
为
)( sX
的极点，即
)( sX
分母的根。
例：
)()( tutx ?
s
sX
1
)( ?
0??
0??
是 ROC 的
边界。
s
sX
1
)( ?
极点为 0,极点的留数为 1 。
所以,
)(
1
)( ???
?
? ??
j
X
。
74
二, 零极点图,
从例子中看到一般情况下 x （ s ）可以表示为两个多项式
之比
)(
)(
)(
sD
sN
sX ?
零点,N （ s ）的根
极点,D （ s ）的根
如果我们把 X （ S ）的全部零点和极点都表示在 S 平面
上，就构成了它的零极点图，，根据零极点图及其收敛域，就可
以表示出 X （ S ）（最多相差一个因子），这就是拉氏变换的零极
点图示法。
75
76
77
)1)(2(
)(2 23
??
?
ss
s
23? ?
?j
78
域的零极点图表示求信号 S
)2(
79
三,ROC 的特征,
从例子可以看出 ROC 边界位置是由 x （ s ）的极点决定的，
ROC 有一些普通的特征,归纳如下,
1, x( S ) 的 RO C 由平行于
?j
的带状区域构成 。收敛域是使
t
etx
??
)(
绝对可积的那些 s 构成的，只与 ? 有关，故 R OC 的边
界总是平行于
?j
的直线。
2, 拉氏变换的 ROC 无极点。
3, 时限信号的 ROC 是整个 s 平面。
4, 右边信号的 ROC 是最右边极点的 右边,
设
?? js ??
00
在 ROC 内，则
??
?
?
?
dtetx
t
t
0
0
)(
?
0
?? ?
????
?
?
?????
??
?
???
dtetxedteetxdtetx
t
t
ttt
tt
t
0
0
000
0
)()()(
)()(
0
???????
即
??
?
?
?
dtetx
t
t
?
0
)(
??
在 R OC 内。
又 ROC 内无极点,? ROC 必在最右边极点的右边。
5, 左边信号的 ROC 是最左边极点的左边。
6, 双边信号的拉氏变换如果存在，则它的 ROC 是一个 带形区
域。
80
81
82 )()( 2 tuee tt ?? ? )()( 2 tuee tt ??? ?? )()( 2 tuetue tt ?? ???
2
1
1
1
???? ss
83
6,3 拉氏变换的性质,
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 R O C
1, 线性。
)()()()( 2121 sbXsaXtbxtax ??? R O C, 包括 ? 21 RR
若 1
R
与 2
R
无公共部分，则表明
)()(
21
tbxtax ?
的拉氏变换不存在。
当
)()(
21
sbXsaX ?
中有零极点抵消时,R O C 可能会扩大。
例 1,
bsbs
sXtuetuetx btbt
?
?
?
????? ?
11
)()()()(
)()(2
)()()(1
:2
tuetx
tuettx
t
t
?
?
??
?? ?
例
bb ??? ??,,,,,,,,,
不存在为空交与时
存在有公共和时当
)(,21,0
:,)(,21,0
SXRRb
bbR OCSXR OCRRb
?
???? ?
1
1)(
?
??
s
ssX
)()()( 21 txtxtx ??
121 )( ??? SssX
112 )( ??? ssX
1??
1??
84
2,时域平移,
0
)()(
0
st
esXttx
?
??
R O C, R
时域平移时
)( sX
乘以因子
0
st
e
?
，该因子的引入
不会改变
)( sX
的极点。所以 R O C 不变。
例,
)1()()( ??? tututx
,
)1(
1
)(
s
e
s
sX
?
??
)( sX
的 R O C,整个 s 平面
有限长信号
0??
se
sssX
??? 11)( 零极点抵消由于线性性质,
85
例 1,? ?
( ),tx t e u t?? 1( ),
1Xs s? ?
1? ??
? ?23 1( ) ( 2 ) 3ttx t e e u t X s s??? ? ? ? ? ?
显然 RO C, 3? ??
0ReR O C ],[Rs?
表明 的 ROC是将 的 ROC
平移了一个 。
0()X s s? ()Xs
0R e[ ]s
3,S域平移
( ) ( ),x t X s? R OC, R
若 则
?j
?j
)()( 00 ssXetx ts ??
86
c o s)(.,,,,,,
)()(:2
??
?
ttx
SXtx
c?
例
))((c o s)( 21 tjtjc cc eetxttx ??? ???
)]()([21 cc jsXjsX ?? ????
RR O C,
RR O C,
87
4,尺度变换,
)()( SXtx ?
R O C, R
)(
1
)(
a
s
X
a
atx ?
R O C, aR
当 RS ? 则 x ( s ) 收敛。
R
a
s
?
时
)(
a
s
X
收敛，即 aRS ? 表明 R O C
的边界作相应的尺度变换。
例,)( sX 的 R O C, 12 ??? ? 则,
)
2
(
s
X
的 R O C 24 ??? ?
时域压缩，则 x （ s ）及 R O C 展宽。
时域扩展，则 x （ s ）及 R O C 压缩。时域与 S 域存在相反
关系。
88
例,
? ? 1( ) ( ),1tx t e u t X s s?? ? ? ?1? ??
1R OC,
2? ??
? ?2()
2
12
( ),
1 21
2
tt
x e u t
Xs
ss
?
?
??
??
)(1)(
a
sX
a
atx ?
2
1
12
2)2(2)
2
( ??
?
?? ?
s
sXtx)
2
1( ?a
89
:1时??a )()( SXtx ??? ROC,是 X（ S） ROC的反转
)23(:
)()(:
??
?
tx
SXtx
求
例
ROC,R
sss eXeSXSX
txtxtx
3
2
)()()(
)23()2()(
33
12 ?? ??
???? ROC,3R
sss eXXSX
txtxtx
3
2
)()()(
))(3()3()(
33
1
33
1
3
2
???
???
ROC,3R
90
5,卷积特性,
)()(
)()(
22
11
sXtx
sXtx
?
?
2
1
:
:
RR O C
RR O C
)()()()(
2121
sXsXtxtx ??
RO C,包括 ? 21
RR
当
)()(
21
sXsX
有零极点抵消时,RO C 可能
会扩大。
卷积特性是 L T I 系统复频域分析的理性基
础。
91
例,
1
1( ),
1Xs s? ?
1,? ??
? ? ? ?2
1( ),
23
sXs
ss
??
??
2,? ??
12 1RR ?? ? ?
? ? ? ?12
1( ) ( ),
23
X s X s
ss
?
??
2,? ?? ROC扩大
92
6,时域微分,
)()( sXtx ?
)()( ssXtx ??
R O C,包括 R 。
当 x ( s ) 在 s ＝ 0 有一阶极点，且该极点位于 R O C
边界时,由于 S 的引入将消去该极点，从而使 R O C
扩大。
例,
1
1
)()()(
?
???
?
s
SXtuetx
t
1???
1
)(
'
?
?
s
s
tx
1???
例,
s
SXtutx
1
)()()( ???
0??
1)(
'
?tx
R O C, 整个 S 平面
ROC,
R
93
7,时域积分,
)()( sXtx ?
)(
1
)( sX
s
dx
t
?
?
??
??
R O C,包括
)0?? ?R
∵
)()()( tutxdx
t
??
?
??
??
)()( sXtx ?
R O C, R
s
tu
1
)( ?
R O C,
0??
?
)(
1
)( sX
s
dx
t
?
?
??
??
,R O C 包括
)0( ?? ?R
如果 x ( s ) 在 s = 0 有零点，则由于零极点相抵消，
R O C 可能会扩大,
RR O C,
94
0 -1 1 2
1
t
例,
0
-1 -1 1 2
1
)]2()1([)]()1([)( ???????? tututututx
)(
1
)1(
1
)(
2 sss
ee
s
e
s
sXs
??
?????
?
)1(
1
)(
2
2
sss
eee
s
sX
??
????
)1)(1(
1
2
2
ss
ee
s
?
???
在 s =0 有二阶极点与二个零点相消 R O C 为整个 S 平面。
)(tx )(tx?
95
8,复频域微分,
)()( SXtx ?
R O C, R
ds
sdX
ttx
)(
)( ??
R O C, R
ds
sdX )(
只会造成阶数的提高,不会改变极点得位置,
所以 ROC 不变。
例,
atue
as
at
???
?
?
?.,,,)(
1
atute
as
as
at
?????
?
?
?
?.......][)(
2
)(
1
'
)(
1
ROC, a? ??例, 求 ()xt
2
11 ()
()
d
s a d s s a???? ( ) ( )atx t te u t???
2
1()
()Xs sa? ?
96
.复频域积分,
RR O CSXtx,),,,,,,,,,()( ?
11
)()(
1
dssXtx
t
s
?
?
?
RO C, R
证,
dtetxsX
st?
?
??
?
? )()(
111
1
)()( d t d setxdssX
ts
ss
?
? ?
??
?
? ??
?
dtdsetx
s
ts
1
1
)(
??
?
?
?
??
?
dtetx
t
st?
?
??
?
? )(
1
?? )(
1
tx
t
11
)( dssX
s
?
?
9,
97
10,初值定理,
若因果信号
)()( sXtx ?
且
)(l i m ssX
s ??
存在。
则
)(l i m)0( ssXx
s ??
?
?
)(])0(
2
1
)0()0([)(
2
tuxtxtxtx ?????????
???
?
?????????
???
)0(
1
)0(
1
)0(
1
)(
32
x
s
x
s
x
s
sX
?????????
???
)0(
1
)0(
1
)0()(
2
x
s
x
s
xssX
)0()(lim
?
??
? xssX
s
条件
)(l i m ssX
s ?? 存在，意味 着 x(t) 在 t=0 不包含冲
激及其导数，在 t=0 确有初值存在,可通过 S 域的
)(l i m ssX
s ??
求得,而不需要求 X (S) 的反变换,
98
1 1,终值定理,
因果信号 )()( sxtx ?,且 X (S ) 除在 s ＝ 0 可以有一阶极点外，
其余极点均在 S 平面的左半面。
则 )(l i m)(l i m
0
sSXtx
st ???
? x (t ) 的终值可以通过 )(lim
0
sSX
s ?
求得,条件是 x (s ) 的极点除在 s ＝ 0 可以有一阶极点外，其余极点在 S
的左半平面，该条件保证了 x (t ) 的终值存在。
极点位置与信号特征的关系。
)()( sXtx ?
99
)(tueat
t
)(tx
a
a??
?
?j
)(tx
t
)(tue at?
a?
a???
?j
?
左半面其它几种情况见下页
右半面其它几种情况见下页
100
极点在 S平面的分布与终值的关系
?j
101
3-1,3-2,3-5,3-6
(不限用定义做 )
102
6.4 常用信号的拉氏变换
由 u （ t ）或
)( t?
的拉氏变换出发，则用拉氏变换的性质，
可以求的许多常用的拉氏变换。
1,
)()( tutx ???
s
tu
1
)( ?
（
0??
）
s
tu
1
)( ??? ???
尺度
（
0??
）
s
tu
1
)( ????
（
0??
）
2,
)()( tuetx
at?
?
a > 0
s
tu
1
)( ?
（
0??
） 由 S 域平移有
as
tue
at
?
?
?
1
)(
（
a???
）
103
ta
etx
?
?)(, a > 0
)()()( tuetuetx
atat
???
?
as
tue
at
?
?
?
1
)(
as
tue
at
?
???
1
)(
as
sX
?
?
1
)( －
as ?
1
＝
22
2
as
a
?
?
aa ??? ?
a???
a??
偶信号
?
偶函数 x (s )
)()()( tuetuetx
atat
???
?
奇信号（ a > 0 ）
22
211
)(
as
s
asas
sX
?
?
?
?
?
?
aa ??? ?
奇信号
?
奇函数 x (s )
104
例,单边正弦、余弦信号的拉氏变换
)(
2
)( tueetx
tjtj ?? ??
?
22
2
1
)
11
()(
?
??
?
?
?
?
?
?
S
S
jSjS
SX
)(
2
)( tu
j
eetx tjtj ?? ???
22
2
1
)
11
()(
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
S
jjSjS
SX
)(c o s tut ??
)(s i n tut ??
0?? 0??
105
?
?
?
?
??
??
?
?
t
c
tt
k
k
d
Ttue
kTta
tttx
0
0
'
)s i n (.4
)(.3
)(.2
)()(.1
:
0
???
?
?
其它例
x(t)
a
1
)1( ?? tae
T
2T
1
0
5,6,
106
0 T 2T
T
x(t)
t
……
0 T t
T
x0(t)
0 T t
1
x’0(t)
)()(
0
0
nTtxtx
n
?? ?
?
?
)]()([)(
0
Ttututtx ???
)()()()(
0
TtTTtututx ?????
?
?
?
sTsT
Tee
s
sXS
??
???? )1(
1
)(
0
sTsT
e
s
T
e
s
sX
??
??? )1(
1
)(
20
)
1
(
1
sT
sT
Te
s
e
s
?
?
?
?
?
R O C 为整个 S 面
sT
n s T
n
e
sX
esXsX
?
?
?
?
?
?? ?
1
)(
)()(
0
0
0
0??
107
周期信号的拉氏变换
)()( 00 sXtx
LT
?
)()( 00 sXenTtx s n T
LT
???
ST
n
S n T
LT
n
e
sX
esXnTtx
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
1
)(
)()(
0
0
0
0
0
第一周期的拉氏变换
利用时移特性
利用无穷级数求和
0,??R O C
108
例 1:矩形周期信号拉氏变换
) 2 ( ) ( ) ( 0 ? t u t u t f ? ? ?
) 1 (
1
1
) ( ) (
2
0
ST
S?
ST
e S
e
e
s F s F
?
?
?
?
? ?
? ?
) 1 ( 1 ) ( 2 0 S? e S s F ? ? ?
第一周期的信号
第一周期的拉氏变换
利用时移特性
利用无穷技术求和
0,??R O C
109
例 2
)(tf
单对称方波
周期对称方波
乘衰减指数
22 )1(1)21(1 sss e
s
ee
s
??? ????
）
（
s
s
s
s
es
e
e
e
s ?
?
?
??
??
?
?
1(
)1
1
1)1(1
2
2
包络函数
te?
1 2
)2()1(2)( ???? tututu
)1(
)1(
)1(
1
)1(
)1(
??
??
?
?
? S
S
e
e
s
0,??R O C
STe
sX
??1
)(0
110
??
?
??
0
)()(
n
T nTtt ??
ST
n
SnT
T ees ?
?
?
?
??? ? 1
1)(
0
?
)()()( ttxtx Tp ??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
.
0
)(
)()()(
n
s n T
n
St
p
enTx
dtenTtnTxsX ?
抽样函数
抽样序列的拉氏变换
时域抽样信号
抽样信号的拉氏变换
抽样信号的拉氏变换
111
112
113
1???
11A 12A
?
?
?
?
114
例：
15239
168
)(
23
???
?
?
sss
s
sX
1???
531)5)(3)(1(
168
)(
?
?
?
?
?
?
???
?
?
s
C
s
B
s
A
sss
s
sX
3
)5)(3(
168
)1)((
1
1
??
??
?
???
??
??
s
s
ss
s
ssXA
10
)5)(1(
168
)3)((
3
3
?
??
?
???
??
??
s
s
ss
s
ssXB
7
)3)(1(
168
)5)((
5
5
??
??
?
???
??
??
s
s
ss
s
ssXC
5
7
3
10
1
3
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
sss
sX
)()7103()(
53
tueeetx
ttt ???
?????
1???
3???
5???
当 x （ s ）有复数极点，重阶极点时部分分式得展开见
附录。
115
常用信号的拉氏变换
)(tu
S
1
tetu ??)( as ?
1
nt
1
!
?ns
n
)(t? 1
)( 0tt ?? 0ste?
116
拉氏变换的基本性质 （ 1）
线性
)(
1
txk i
n
i
i?
?
)(.
1
sXk i
n
i
i?
?
dt
tdx )(微分 )(sSX
积分
? ??t dx ?? )( ssX )(
时移 )( 0ttx ? )(0 sXe st?
频移
atetx ?)(
)( asX ?
117
拉氏变换的基本性质 （ 2）
尺度变换
)(atx ?????? asXa1
)(l im)0()(l im
0
sSXxtx
st ??
?
?
??
?
终值
定理 )(lim)()(lim 0 sSXxtx st ??? ???
卷积
定理
)(*)( 21 txtx )().( 21 sXsX
初值定理
)().( 21 txtx )(*)(2 1 21 sXsXj?
注意收敛域的变化
118
6 6,6 连续时间 L I T 系统的复频域分析
一．复频域分析法,
)()()( thtxty ??
)()()( sHsXsY ?
?
21,RRRO C 包括
R O C, R 1 R 2
若系统稳定,H （ s ）的 R O C 包括
?j
轴，当 s ＝ ?j 时，
即有
)()()( ???? HXY
就是频域分析法。 )( ?H 是系统的
频率响应。
)( sH
称为系统函数
)(
)(
)();()(
sX
sY
sHthsH ??
119
二,系统函数的计算,
1, 由 L C CDE 描述的系统
k
kM
k
kk
kN
k
k
dt
txd
b
dt
tyd
a
)()(
00
??
??
?
)()(
00
sXsbsYsa
k
M
k
k
k
N
k
k ??
??
?
k
N
k
k
k
M
k
k
sa
sb
sH
?
?
?
?
?
0
0
)(
是一个关于 S 的有理函数
由方程得到的 H （ S ）,并未规定 ROC,需要借助于
系统的因果性或稳定性来确定 ROC 。
120
如果系统稳定，则 )( ?H 存在,H （ s ）得 R O C 必包含 ?j 轴。
如果系统是因果的，则 h ( t ) 是右边信号,R OC 必为 H （ S ）最
右边极点的右边。
如果系统函数为有理函数的因果稳定系统，其 H （ s ）得全部
极点必须在 S 得左半平面。
若系统函数是非有理函数，此结论的逆命题不一定成立。
如, 1
)(
?
?
S
e
sH
s
1???
)1()(
)1(
??
??
tueth
t
是非因果的。
121
2,系统由零极点图描述
可由零极点图得出 H （ S ），最多差一个常数因子，可以从已知的
H （ 0 ）等求得该常数,R O C 可由系统的因果稳定性确定。
例：某连续时间 L T I 因果系统的零极点图如下,
?
?j
)(sH
)1)(2(
)()( 23
??
??
ss
sksH
k k
k?例 2,
122
3,系统由方框图描述
可由方框图写出 H (s ),从系统的因果，稳定性确定 R O C 。
例：（因果系统）
)(tx )(ty
? ?)(12 SYS )(1 SSY
1
2
3?
5?
6?
)()(2)(3)(
1
2
11
sYsssYsYsY ????
（ 1 ）
)(6)(5)()(
111
2
sYssYsXsYs ???
（ 2 ）
)()(5)(6)(
2
111
sSYsSYsYsX ???
65
32
)(
)(
)(
2
2
??
??
???
ss
ss
sX
sY
sH
2???
)(1SY
123
6.7,单边拉氏变换,
定义：
dtetxs
st
?
?
?
?
?
0
)()(?
dses
j
tutx
st
j
j
?
??
??
?
?
?
?
?
)(
2
1
)()(
与双边拉氏变换的区别仅在于积分下限。
通常下限取 0,
?
0
、
?
0
。习惯上取
?
0
可以包括 x （ t ）在 t
＝ 0 有奇异函数的情况。
与双边拉氏变换得关系,
1 ）、单边拉氏变换是双边拉氏变换得特例，即：因果信号
的双边变换。
2 ）、两个信号若 t> 0 时相同,t< 0 时不同，有相同得单边拉
氏变换和不同的双边拉氏变换。
ROC,由于它就是因果信号得双边拉氏变换，所以 ROC 一
定是最右边极点得右边，不必特殊强调。
124
性质：除时域微分、积分、时延性质略有不同外，其余性质均与双边
变换相同。
1, 时域微分,
)()( stx ??
)0()()(
?
??? xsstx ?
dtetxsetxdtetx
dt
d
s
ststst
??
?
?
?
?
?
?
???
???
000
)()()()(??
)0()(
?
?? xss ?
)0()0()0()()(
)0()0()()(
'''23'''
'2
???
??
????
?????
xsxxssstx
xsxsstx
?
?
125
p233
2,时域积分,
????? dx
s
s
s
dx
t
??
?
????
??
0
)(
1
)(
1
)(
3 。时延,
)()( stx ??
)()()(
0
00
settuttx
st
?
?
???
形式上与双边一样
注意
)(
0
ttu ?
的作用。
126
6, 8 利用单边变换分析增量线性系统,
一,L CCD E 描述的系统,
对方程两边作单边变换，引入初始条件
例,
)()(2)(3)( txtytyty ??????
0)0( ?
?
y 1)0( ??
?
y )()( tutx ?
)()(2)0(3)(3)0()0()(
2
sXsYyssYysysYs ???????
???
代入初始条件
23
)(
23
)0(3)0()0(
)(
22
??
?
??
???
?
???
ss
sX
ss
yysy
sY
)
2
2
1
1
2
1
()
2
1
1
1
(
)23(
1
23
1
22
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
ssssssssss
)()2
2
1
()()()(
22
tueetueety
tttt ????
?????
零输入响应,零状态响应
零输入响应 零状态响应
127
二．由电路描述的系统,
1 ）、由电路列出微分方程。
2 ）、对方程进行单边拉氏变换，带入初始条件求解。
三．由系统框图描述的系统,
由系统框图求出系统函数 H ( s ),再列出微分方程进行求解。
四,由 h （ t ）描述的系统,
由
LCCDEsHth ?? )()(
求解。
作业,6, 1 0 a 6, 1 2 6, 1 7
128
二．由电路描述的系统,
1 ）、由电路列出微分方程。
2 ）、对方程进行单边拉氏变换，带入初始条件求解。
三．由系统框图描述的系统,
由系统框图求出系统函数 H ( s ),再列出微分方程进行求解。
四,由 h （ t ）描述的系统,
由
LCCDEsHth ?? )()(
求解。
作业,6, 1 0 a 6, 1 2 6, 1 7
