1
第五章 连续时间信号与系统的频域分析
本章提要
?傅里叶级数和傅里叶级数的性质
?傅里叶变换和傅里叶变换的性质
?周期信号和非周期信号的频谱分析
?连续时间 LTI系统的频域分析
?抽样和抽样定理
2
傅里叶生平
? 1768年生于法国
? 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函
数级数表示”
? 1829年狄里赫利第一
个给出收敛条件
? 拉格朗日反对发表
? 1822年首次发表在
“热的分析理论”
一书中
3
傅立叶的两个最主要的贡献 ——
?,周期信号都可表示为谐波关系的正
弦信号的加权和” —— 傅里叶的第
一个主要论点
?,非周期信号都可用正弦信号的加
权积分表示”
—— 傅里叶的第二个主要论点
4
§ 4.0 引言
? 在第三章我们讨论了时域分析方法的基础,
? ●信号在时域的分解
? ●利用 LTI系统的线性、时不变性
? 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须,
? ●本身简单。
? ●具有普遍性，能够用以构成相当广泛。
? ●系统对基本单元信号的响应易于求得。 的信
频域分析的思路是一样的,任意信号分解成复指
数信号的线性组合 (est),通过研究系统对 est的响
应,利用线性和时不变性取得系统的响应,其响应就是
系统对复指数单元信号响应的线性组合,
)(t? )(n? )();( nhth?
)();( nyty?
5
§ 4.1 连续时间 LTI系统的特征函数
由时域分析有,
这表明,LTI系统对复指数信号的响应,仍然是同样的复指数信号,只
是幅度有一个 H(S)的加权,这表明
? LTI系统对复指数输入信号的作用仅仅改变了它的幅度
(可以是复数 ),
H(S)由 h(t)决定的,是 S的函数,称 H(S)为 LTI系统的系统函数,由于 H(S)
与 h(t)之间具有一一对应的关系,它们是一对拉斯变换关系,可以断言
? H(S)一定可以刻画一个 LTI系统。
ste )(ty
)(th ? ????? ?
??
?? dehthety tsst )()()()(
? ???? ??? ?? dehe sst )(stesH ?? )(
? ??? ?? dtethsH st)()(
6
§ 4.1 连续时间 LTI系统的特征函数
特征函数, 如系统对某个信号所产生的响应,仅仅是给输
入信号乘上一个 (复 )常数,则该信号称为此系统的 特征
函数,其加权的复常数称为系统的与特征函数对应的 特
征值,
是一切 LTI系统的特征函数,而且是唯一能成为一
切 LTI系统特征函数的信号,
应该强调指出,不同的 LTI系统可能有不同的特征
函数,但是,复指数信号是唯一能够成为一切 LTI系统特
征函数的信号,H(S)是与之对应的特征值,
ste
7
例,对单位冲激响应 的 LTI系统，其特征函数,
相应的特征值是什么?
)()( tth ??
例,如果一个 LTI系统的单位冲激响应为,
找出一个信号，该信号不具有 的形式，但却是该系统的
特征函数，且特征值为 1。
。
解,
( ) ( )h t t?? 的 L T I 系统是恒等系统，所以任何函数都是它的
特征函数，其特征值为 1 。
( ) ( )h t t T???
ste
解,
( ) ( )h t t T???
，?
( ) ( )x t x t T??
。
如果 ()xt 是系统的特征函数，且特征值为 1,则应有,
满足这一要求的冲激序列为
( ) ( )
k
x t t k T?
?
? ? ?
???
。 1)()()(*)()( ????? txTtxthtxty
8
§ 4.1 连续时间 LTI系统的特征函数
若,
则,
可见,只要能实现将信号分解成为 的线性
组合,则系统对 x(t)的响应就迎刃而解了,
??
??
i
ts
ii
i
ts
i
i
i
esHaty
eatx
)()(
)(
tsie
9
本章先讨论 s= j ? 情况,
? 频域分析：－－－傅里叶变换，自变量
为 j ?
第六章讨论更一般的情况,S = ? +j ?
? 复频域分析：－－－拉氏变换,自变量为
S = ? +j ?
?
10
§ 4.2 周期信号与连续时间付里叶级数
是周期信号,基波频率,基波周期
第二章介绍过成谐波关系的复指数信号集,
每个信号的频率都是基波频率的整数倍
若, 则 x(t)必定是以
为周期的,该级数就是付里叶级数,这表明 成谐波关系的
复指数信号的线性组合可以表示周期信号,即,连续时间
周期信号可以分解成成谐波关系的复指数户的线性组
合,
tje 0? 0?
00
2 ???T
}{ 0 tjkk e ???
?? ?
???
?
k
tjk
k eAtx 0)( 00 2 ???T
11
若 x(t)是实信号,
所以, 或
改写,可得到 付里叶级数的其他形式,
互为共轭
?? ?
???
??
?
?
???
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k
tjk
k
k
tjk
k eAeA 00
§ 4.2,1 连续时间付里叶级数
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?
?
连续时间周期信号的付里叶级数 ?
三角形式
12
令 得到另一种三角形式,
由, 从 推得,
表明 的模是偶函数,的相角是奇函数
由
表明, 的实部是偶函数,的虚部是奇函数
kkk jbaA ??
?
? ?????
?
? 1
000 )s inc o s(2)(
k
kk tkbtkaAtx
kk AA ?? ?? k
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13
其中,
显然,y(t)也是一个付里叶级数,其系数是
h(t)
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LTI系统对 的输出响应, )(tx )(ty
14
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如果周期信号 可以表示为付里叶级数,
§ 4.2,2 付里叶级数的系数
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15
付里叶级数与系数的一对关系 (CTFS)
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k
tjk
k etx 0A)(
一个周期信号 x(t)可以表示为无穷多个成谐波关系
的复指数信号的线性组合,
?
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1
0
T
tjk
k dtetxTA
?
??
0
)(1
0
0 T dttxTA 即是信号在一个周期内的平均值
?
16
§ 4.2,3频谱的概念
? 付里叶级数揭示了周期信号是由各次谐波分量迭加而成的,而 每个谐波分量为 各个分量仅仅是幅度与频率不同,只要
知道了 则相应的谐波分量就确定了,我们可以用幅度
和频率来完全代表各个分量,用线段的长度表示幅度,用其位置
表示频率,
? 周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看
出：各分量的大小，各分量的频移,
,0,?kA
tjkkeA 0?
0? 0?
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幅度频谱 相位频谱
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周期复指数信号的频谱图
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第五章 连续时间信号与系统的频域分析
本章提要
?傅里叶级数和傅里叶级数的性质
?傅里叶变换和傅里叶变换的性质
?周期信号和非周期信号的频谱分析
?连续时间 LTI系统的频域分析
?抽样和抽样定理
2
傅里叶生平
? 1768年生于法国
? 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函
数级数表示”
? 1829年狄里赫利第一
个给出收敛条件
? 拉格朗日反对发表
? 1822年首次发表在
“热的分析理论”
一书中
3
傅立叶的两个最主要的贡献 ——
?,周期信号都可表示为谐波关系的正
弦信号的加权和” —— 傅里叶的第
一个主要论点
?,非周期信号都可用正弦信号的加
权积分表示”
—— 傅里叶的第二个主要论点
4
§ 4.0 引言
? 在第三章我们讨论了时域分析方法的基础,
? ●信号在时域的分解
? ●利用 LTI系统的线性、时不变性
? 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须,
? ●本身简单。
? ●具有普遍性，能够用以构成相当广泛。
? ●系统对基本单元信号的响应易于求得。 的信
频域分析的思路是一样的,任意信号分解成复指
数信号的线性组合 (est),通过研究系统对 est的响
应,利用线性和时不变性取得系统的响应,其响应就是
系统对复指数单元信号响应的线性组合,
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5
§ 4.1 连续时间 LTI系统的特征函数
由时域分析有,
这表明,LTI系统对复指数信号的响应,仍然是同样的复指数信号,只
是幅度有一个 H(S)的加权,这表明
? LTI系统对复指数输入信号的作用仅仅改变了它的幅度
(可以是复数 ),
H(S)由 h(t)决定的,是 S的函数,称 H(S)为 LTI系统的系统函数,由于 H(S)
与 h(t)之间具有一一对应的关系,它们是一对拉斯变换关系,可以断言
? H(S)一定可以刻画一个 LTI系统。
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6
§ 4.1 连续时间 LTI系统的特征函数
特征函数, 如系统对某个信号所产生的响应,仅仅是给输
入信号乘上一个 (复 )常数,则该信号称为此系统的 特征
函数,其加权的复常数称为系统的与特征函数对应的 特
征值,
是一切 LTI系统的特征函数,而且是唯一能成为一
切 LTI系统特征函数的信号,
应该强调指出,不同的 LTI系统可能有不同的特征
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例,对单位冲激响应 的 LTI系统，其特征函数,
相应的特征值是什么?
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例,如果一个 LTI系统的单位冲激响应为,
找出一个信号，该信号不具有 的形式，但却是该系统的
特征函数，且特征值为 1。
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解,
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§ 4.1 连续时间 LTI系统的特征函数
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? 频域分析：－－－傅里叶变换，自变量
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第六章讨论更一般的情况,S = ? +j ?
? 复频域分析：－－－拉氏变换,自变量为
S = ? +j ?
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§ 4.2 周期信号与连续时间付里叶级数
是周期信号,基波频率,基波周期
第二章介绍过成谐波关系的复指数信号集,
每个信号的频率都是基波频率的整数倍
若, 则 x(t)必定是以
为周期的,该级数就是付里叶级数,这表明 成谐波关系的
复指数信号的线性组合可以表示周期信号,即,连续时间
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所以, 或
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12
令 得到另一种三角形式,
由, 从 推得,
表明 的模是偶函数,的相角是奇函数
由
表明, 的实部是偶函数,的虚部是奇函数
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其中,
显然,y(t)也是一个付里叶级数,其系数是
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§ 4.2,2 付里叶级数的系数
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付里叶级数与系数的一对关系 (CTFS)
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一个周期信号 x(t)可以表示为无穷多个成谐波关系
的复指数信号的线性组合,
?
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0
0)(
1
0
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tjk
k dtetxTA
?
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0
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0 T dttxTA 即是信号在一个周期内的平均值
?
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§ 4.2,3频谱的概念
? 付里叶级数揭示了周期信号是由各次谐波分量迭加而成的,而 每个谐波分量为 各个分量仅仅是幅度与频率不同,只要
知道了 则相应的谐波分量就确定了,我们可以用幅度
和频率来完全代表各个分量,用线段的长度表示幅度,用其位置
表示频率,
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