离散时间信号与系统的频域分析 第 6章
本章将采用与讨论连续时间 …,完全相同
的思想方法，来研究离散时间周期信号
与非周期信号的频域分解问题。
DFS与 CFS之间既有许多类似之处，也有
一些重大差别：主要是 DFS是一个有限项
级数,具有周期性。
?在采用相同方法研究如何从 DFS引出离
散时间非周期信号频域描述时，相应的
DTFT与 CTFT既有许多相类似的地方，
也同时存在一些重要区别。
?抓住它们之间的相似之处与掌握其差别，
将对掌握和加深对频域分析方法的理解
具有重要意义。
6.1 离散时间 LTI系统的
特征函数
LTI
)(nh
)(nynz
时域,
)(*)()( nhnxny ?
)(* nhz n?
???
???
??
k
knzkh )(
???
???
??
k
kn zkhz )(
)(zHzn?
nz 系统的特征函数
)(zH 系统的特征值
?)(zH ???
???
?
k
kzkh )(
6.1 离散时间 LTI系统的
特征函数
?
??
???
?
k
n
kk zanx )( ?
??
???
?
k
n
kkk zzHany )()(
z为一个复数,
?? jj ezrrez ???,1,
nje? 也为离散时间 LTI系统的特征函数，称为信号
频域的基本信号单元。
将信号展开为 的线性组合即为信号的频域分解。
nje ?
6, 2 周期信号与离散时间傅立叶级数
?
?
?
?
?
?
?
e
n
N
jk
R
n
?
?
2
)( 成谐波关系的复指数信号集
N 为基波周期
)( n
R
?
中只有 N 个是独立的
将此有独立的复指数信号线性组合起来,表
示周期信号时,只需要 N 项,
??
???
?
?
?
?
??
Nk
njk
k
N
k
njk
k
NN
eAeAnx
?? 22
1
0
)(
它们是以 N 为周期。表明可以用 N 个谐波分
量来表示周期序列，这就是 DF S
)()( nn
rNRR
??
?
?
二, DFS
若 )( nx 以 N 为周期
eA
n
N
jk
Nk
k
nx
?2
)(
?
???
? ? 称为 x (n ) 的离散傅氏级数
一,只有 N 个独立的成谐波关系的复指数分量
二,k 只需取相继的 N 个整数 如 k, 0 ~N - 1 等等
如 x (n ) 为实序列，可推得,AA kk
??
?
?
*
实部 ------------ 偶 模 ------------- 偶
虚部 ------------ 奇 相角 ---------- 奇
A k
?
也称为 D FS 的系数或频谱系数
? ?D F S 的系数
eAe
nrk
N
j
Nk
k
rn
N
j
nx
)(
22
)(
?
???
?
?
?
??
?
对 n 求和
?????
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Nn
n
N
rkj
Nk
k
Nk
n
N
rkj
NnNn
rn
N
j
eAeAe
k
nx
??? 2
)(
2
)(
2
)( ??
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???
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rk
rkN
Nn
n
N
rkj
e
,0
,
2
)(
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Nn
rn
N
j
r
eA
nx
N
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)(
1
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?
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Nn
kn
N
j
Nk
n
N
jk
eA
eA
nx
N
k
k
nx
?
?
2
2
)(
1
)(
?
?
k 也在 N 个值范围内取
很容易得出,AA
rNkk
??
?
?
表明离散时间周期序列的频谱是以 N 为周期的
通常
A k
? 是复数，绘制频谱时要分别以 ||
A k
?
和相角表
示，即幅度频谱和相位频谱
?
???
?
Nk
njk
k NeAnx
?2)(
比较 CFS与 DFS
例,
j
j
njnj
j
N
N
AA
A
eenx
Nnx
nxm
nnx
NN
2
1
11
2
1
1
2
1
2
0
2
0
0
)()(
)(:
)(,
s i n)(
22
???
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?
?
?
?
为周期以则若
是周期的时当
:,5 频谱图时当 ?N
1
4
6
-1
-4
-6
性分别画模特性和相位特
kA
?
三, 周期性矩形脉冲序列的频谱
..,…
11
2 1 2 1
( ) ( )
22
1
j k j k N j k N
N N N
j k j k j k
N N N
e e e
N
e e e
? ? ?
? ? ?
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??
???
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???
??
2
1 1
1
1
2
( 1 )2
2
11
1
j k N
N j N kN N
j k n
N
k
jknN
N
ee
ae
NN
e
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???
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n
1N1N? NN?
1
1Nnm ??令
A
121
k
Na
N
??
k rN?
显然 的包络具有 的形状 ka sin
sin
x
x
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时
0,,2,k N N? ? ? ???
| 21
2
s in
]2)12s in [ (1
k
N
k
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A
A
1
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1
,
s in
k
kN
Na
N
k
N
?
?
?
?
具有
x
x
si n
si n ?
形状,将 0~ ?2 按 12
1
?
N
等份作出包络，再取 N
?2
等间隔样本。
当 N 1 不变时,?N
① 频谱包络的形状不变,
② 幅度随 ?N 而减小,
③ 谱线密度随 ?N 而增加。
若 N 不变, N 1 改变
① 包络改变,
② 随
?
N 1,主 瓣 变 宽 。
情况与连续时间矩形脉冲相似。但是它具有
周期性则与连续时间情况不同。
如下图所示,
k
k
k
1 2
20
N
N
?
?
1 1
10
N
N
?
?
1 2
10
N
N
?
?
四,DFS 的收敛
DF S 表明周期序列可以而且只能分解为 N 个独立的
复指数谐波分量。
以 N 为周期的序列，在时域只有 N 个独立值。
DFS 的 A k
?
也是以 N 为周期的，也只有 N 个独立值，
因此本质上讲 DF S 就是将序列在时域的 N 个独立值变换
为频域的 N 个独立值, 只要在频域取够 N 个分量,就一定
能恢复成原来信号，因而不存在收敛问题,DFS 将完全
收敛于 x(n ) 。只要取足 N 个分量，就不会出现 Gibbs 现
象。
连续时间周期信号有无穷个独立值。
A k
?
也有无 穷多个独立值。
取部分和是不可能与原信号相同的，随着提取的次数的增大
近似程度越来越好，当考虑极限时，收敛问题就产生了。
6, 3 非周期信号与离散时间傅立叶变换
一．从傅氏级数到傅氏变换
当周期 ?N 时，谱线间隔变小谱线变密，在时 域
??N 周期信号变为非周期信号，离散谱变为连 续
谱。
)( nx
为有限长序列，可看成周期序列
)(
~
nx
的一个
周期
?
?
???
??
k
kNnxnx )()(
~
?
?
?
?
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N
N
n
nnx
nx
1
1
||,0
||),(
~
)(
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kn
N
j
Nk
k
nx
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)(
~
?
????
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eA
kn
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k
nx
N
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n
kn
N
j
n
kn
N
j
k
eeA
nx
N
N
nxN
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)()(
~
1
1
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时,
)(
eA
j
k
XN
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,
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2
,
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N
2
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?
?
n
njj
ee
nxX
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)()(
)(
e
j
X
?
也称为
)( nx
的频谱,
显然
)(
e
j
X
?
对
?
而言是以
?2
为周期的
| 2)(
1
N
jk
k
eA
X
N
?
?
?
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??
?
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?
0
)(
2
1
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1
)(
~ 00
???
??
??????
eeee
njk
Nk
jknjk
Nk
jk
XX
N
nx
N
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2
0
?
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时，
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0
,
?
?
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k 0
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?
?,
)()(
~
nxnx ?
?
?
?
?
?
dXnx
ee
njj
?
?
2
)(
2
1
)(
表明离散时间非周期信号可以分解成无 数多个频率从
?2~0
连续分布的复指数序列的线性组合，每个复指数分量的幅度为
?
?
?
dX
e
j
)(
2
1
?
?
???
??
n
njj enxeX ?? )()(
离散非周期序列的傅立叶变换
?? ? ?? ?? 2 )(2
1
)( deeXnx njj
傅立叶
变换
傅立叶
逆变换
是在。。。。
收敛条件有两组,
1,则 存在，且级数一致
收敛于 。
2,则级数以均方误差最小准则
收敛于 。
( ),
n
xn
?
? ??
??? )jXe ?（
2
( ),
n
xn
?
? ? ?
???
二, DTFT的收敛性
当序列是无限长序列时,由于 表达式是无
穷项级数,当然会存在收敛问题,
)jXe ?（
)jXe ?（
)jXe ?（
绝对可和与平方可和并不等价
例
n
n
?
? 0s i n
平方可和，但不绝对可和
当 平方可和但不绝对可和时，级数
以均方误差最小的准则收敛于
)(
?j
eX
，
在间隔点处会产生 G i bbs 现象。
)(nx
如果,
当以部分复指数分量之和近似信号时,也会
出现起伏和振荡 ;如图,
但随着
,( )W x n? 的振荡频率变高,起伏幅度
当 W ?? 时,振荡与起伏将完全消失,不会
出现吉伯斯 (Gibbs)现象,也不存在收敛问
题,
趋小 ;
?? ? ?? ?? 2 )(2 1)( deeXnx njj
只要取够
不存在收敛问题,
?2
)(,nx?
?? ?
时的情况为 )()( nnx ??
4??W 83??W
2??W
43??W
87??W
??W
)(nx )(nx
)(nx
)(nx
)(nx )(nx
连续时间付里叶变换与离散时间付里叶变换的对比,
相同之处,
? 均为连续谱
? 谱的形状与 的包络相同
不同之处,
?
?
作业, 5.1 a,c,e 5.4
?
kA
)(
)(
2
1
21
N
jk
Nk
TTk
eXA
XA
?
?
?
?
?
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一般没有周期性为周期以 )(,2)( ?XeX j ??
?
?
?
??
? ???
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deXtx
deeXnx
tj
njj
)()(
)()(
2
1
22
1
?
?
??
? ?
思考,产生这些区别的原因?
二、常用信号的离散时间傅立叶变换
1||),()( ?? anuanx n1,
??
??
?
?
??
???
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0
)()(
n
njn
n
njj eaenxeX ???
?
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0
)(
n
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?
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a
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1
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|)(| ?jeX
a>0
|)(| ?jeX
?? ?
呈低通特性
单调减 呈高通特性
摆动减
信号的频谱集中在 的偶数倍 ? 信号的频谱集中在 的奇数倍
?
a?11
?2
a?11
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?
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2
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j
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)(nx
)(nx
1||,)( || ?? aanx n
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n
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n
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ae
ae
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j
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?
2,
实偶序列 实偶函数
)()1()( nuanuanx nn ???? ?
a
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1
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|)(| ?jeX |)(| ?jeX
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0<a<1 -1<a<0
a
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njj
1,
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0,
xn
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? 1
1
Nn
Nn
?
?
可以得出结论,实偶序列 实偶函数
3 矩形脉冲,
当
1 2N ?
时,
有同样的结论,实偶信号 实偶函数
如图,
12 1?N
1221?N?
1
s in ( 2 1 )
1
,
s in
k
kN
Na
N
k
N
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2
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() jk
k
N
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?
两点比较,
1,与对应的周期信号比较
显然有
关系成立
2
s in
2
)12s in (
)(
11
1
?
?
??
?
?? ?
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N
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N
Nn
njj
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,0
,1
)(tx
1
1
Tt
Tt
?
?
1
11 s in2)(
T
TTX
?
???
2 与对应的连续时间信号比较
如图所示,
12 1?N
1221?N?
)()(.4 nnx ??
1)()( ?? ?
?
???
? nj
n
j enxeX ??
)( ?jeX
1
?? ?0 ?
)(n?
0 n
1
如图所示,
5,
1)( ?nx ???
???
??
k
j keX )2(2)( ?????
频域均匀冲激串
?
?
???
??
k
j
kX e )2()( ???
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???
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0
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||
||
W
W
纯虚、奇
6,
7,
1
w -w ? ?2
（版书画图）
)()( nunu aa nn ?? ?, 1?a
??? ?? ?? ?denh nj2 1)(
8,单位阶跃信号的频谱
)]()s g n (1[21)( nnnu ????
]1c o s1 s in)2(2[21)( ?????? ?
??
??? ?
?????? jkeU
k
j
???
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kj )2()c o s1 s in1(21 ??????
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k
j
ke )2()c o s1 1(21 ?????
?
???
???
? ????
k
j ke )2(1
1 ????
?
6.4 周期信号的离散时间傅立叶变换
当把非周期信号看成某个周期信号的一个周期,Ak
与 有如下关系,)( ?jeX
.,.........
,)(,)(
,,)(~
)(
2
1
却只有一个但对应的
也就不同也各不相同于是得到的
可以有各种截取法截取一个周期时但从
k
j
kj
Nk
A
eXnx
nx
eXA N
?
?
?
里叶变换是由连续时间周期信号的付
得出tje 0)(2 0 ???????
:,2
)(,)(2 00
因而为周期的是以
但由于也许对应离散时间
?
???? ?? jnj eXe?
nj
k
ek 0)2(2 0 ?????? ?????
???
6.4 周期信号的离散时间傅立叶变换
???
???
???
l
j leX )2(2)(
0 ?????
?
njnj edenx 02
0 0
)()( ?? ? ???? ??? ?
对周期信号,
?
???
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Nk
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k eAnx 0)(
? N/2,0 ?? ?
? ?
???
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Nk l
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j lkAeX )2(2)(
0 ?????
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如果,
其反变换为,
nj
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ek 0)2(2 0 ?????? ???? ?
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2
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2
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N
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k
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N
A
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???
?
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???
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k
k kNA )
2(2 ????
比较,可以看出与连续时间傅立叶变换中的
形式是完全一致的,
00
0
1( ) c os ( ),
2
j n j nx n n e e??? ?? ? ?
?
?
???
??
?
??
? ??????
k
j k
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k
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)( ?jeX
02 ???? ?2? 02 ???? 0?? 0 0? 02 ??? ?2 02 ???
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?
? ?
例 1 不一定
是周期的,当
0
2 k
N
?? ? 时是周期的,如果ｍ＝１；
如图所示,
?
?
???
??
k
k kNA )
2(2,????或
m
( ) ( )
k
x n n k N?
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k
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A x n e n e
N N N
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j k
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eX )2(2)( ?????
N
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N
?2
)( ?jeX
N
?2
0
N
?4?
N
?4 ?
? ?
例 2,均匀单位脉冲串
比较,与连续时间均匀冲激串的情况一致,
)(nx
1
N? 0 NN2? N2 n
? ?
?
本章将采用与讨论连续时间 …,完全相同
的思想方法，来研究离散时间周期信号
与非周期信号的频域分解问题。
DFS与 CFS之间既有许多类似之处，也有
一些重大差别：主要是 DFS是一个有限项
级数,具有周期性。
?在采用相同方法研究如何从 DFS引出离
散时间非周期信号频域描述时，相应的
DTFT与 CTFT既有许多相类似的地方，
也同时存在一些重要区别。
?抓住它们之间的相似之处与掌握其差别，
将对掌握和加深对频域分析方法的理解
具有重要意义。
6.1 离散时间 LTI系统的
特征函数
LTI
)(nh
)(nynz
时域,
)(*)()( nhnxny ?
)(* nhz n?
???
???
??
k
knzkh )(
???
???
??
k
kn zkhz )(
)(zHzn?
nz 系统的特征函数
)(zH 系统的特征值
?)(zH ???
???
?
k
kzkh )(
6.1 离散时间 LTI系统的
特征函数
?
??
???
?
k
n
kk zanx )( ?
??
???
?
k
n
kkk zzHany )()(
z为一个复数,
?? jj ezrrez ???,1,
nje? 也为离散时间 LTI系统的特征函数，称为信号
频域的基本信号单元。
将信号展开为 的线性组合即为信号的频域分解。
nje ?
6, 2 周期信号与离散时间傅立叶级数
?
?
?
?
?
?
?
e
n
N
jk
R
n
?
?
2
)( 成谐波关系的复指数信号集
N 为基波周期
)( n
R
?
中只有 N 个是独立的
将此有独立的复指数信号线性组合起来,表
示周期信号时,只需要 N 项,
??
???
?
?
?
?
??
Nk
njk
k
N
k
njk
k
NN
eAeAnx
?? 22
1
0
)(
它们是以 N 为周期。表明可以用 N 个谐波分
量来表示周期序列，这就是 DF S
)()( nn
rNRR
??
?
?
二, DFS
若 )( nx 以 N 为周期
eA
n
N
jk
Nk
k
nx
?2
)(
?
???
? ? 称为 x (n ) 的离散傅氏级数
一,只有 N 个独立的成谐波关系的复指数分量
二,k 只需取相继的 N 个整数 如 k, 0 ~N - 1 等等
如 x (n ) 为实序列，可推得,AA kk
??
?
?
*
实部 ------------ 偶 模 ------------- 偶
虚部 ------------ 奇 相角 ---------- 奇
A k
?
也称为 D FS 的系数或频谱系数
? ?D F S 的系数
eAe
nrk
N
j
Nk
k
rn
N
j
nx
)(
22
)(
?
???
?
?
?
??
?
对 n 求和
?????
???
?
??????
?
??????
?
??
Nn
n
N
rkj
Nk
k
Nk
n
N
rkj
NnNn
rn
N
j
eAeAe
k
nx
??? 2
)(
2
)(
2
)( ??
?
?
?
?
?
?
?
???
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rk
rkN
Nn
n
N
rkj
e
,0
,
2
)(
?
?
?
???
?
??
Nn
rn
N
j
r
eA
nx
N
?2
)(
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
Nn
kn
N
j
Nk
n
N
jk
eA
eA
nx
N
k
k
nx
?
?
2
2
)(
1
)(
?
?
k 也在 N 个值范围内取
很容易得出,AA
rNkk
??
?
?
表明离散时间周期序列的频谱是以 N 为周期的
通常
A k
? 是复数，绘制频谱时要分别以 ||
A k
?
和相角表
示，即幅度频谱和相位频谱
?
???
?
Nk
njk
k NeAnx
?2)(
比较 CFS与 DFS
例,
j
j
njnj
j
N
N
AA
A
eenx
Nnx
nxm
nnx
NN
2
1
11
2
1
1
2
1
2
0
2
0
0
)()(
)(:
)(,
s i n)(
22
???
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
为周期以则若
是周期的时当
:,5 频谱图时当 ?N
1
4
6
-1
-4
-6
性分别画模特性和相位特
kA
?
三, 周期性矩形脉冲序列的频谱
..,…
11
2 1 2 1
( ) ( )
22
1
j k j k N j k N
N N N
j k j k j k
N N N
e e e
N
e e e
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
??
??
???
??
?
??
???
??
2
1 1
1
1
2
( 1 )2
2
11
1
j k N
N j N kN N
j k n
N
k
jknN
N
ee
ae
NN
e
? ?
?
?
??
?
???
?
??
?
?
n
1N1N? NN?
1
1Nnm ??令
A
121
k
Na
N
??
k rN?
显然 的包络具有 的形状 ka sin
sin
x
x
?
时
0,,2,k N N? ? ? ???
| 21
2
s in
]2)12s in [ (1
k
N
k
N
A N ???
?
?
??
??
A
A
1
s in ( 2 1 )
1
,
s in
k
kN
Na
N
k
N
?
?
?
?
具有
x
x
si n
si n ?
形状,将 0~ ?2 按 12
1
?
N
等份作出包络，再取 N
?2
等间隔样本。
当 N 1 不变时,?N
① 频谱包络的形状不变,
② 幅度随 ?N 而减小,
③ 谱线密度随 ?N 而增加。
若 N 不变, N 1 改变
① 包络改变,
② 随
?
N 1,主 瓣 变 宽 。
情况与连续时间矩形脉冲相似。但是它具有
周期性则与连续时间情况不同。
如下图所示,
k
k
k
1 2
20
N
N
?
?
1 1
10
N
N
?
?
1 2
10
N
N
?
?
四,DFS 的收敛
DF S 表明周期序列可以而且只能分解为 N 个独立的
复指数谐波分量。
以 N 为周期的序列，在时域只有 N 个独立值。
DFS 的 A k
?
也是以 N 为周期的，也只有 N 个独立值，
因此本质上讲 DF S 就是将序列在时域的 N 个独立值变换
为频域的 N 个独立值, 只要在频域取够 N 个分量,就一定
能恢复成原来信号，因而不存在收敛问题,DFS 将完全
收敛于 x(n ) 。只要取足 N 个分量，就不会出现 Gibbs 现
象。
连续时间周期信号有无穷个独立值。
A k
?
也有无 穷多个独立值。
取部分和是不可能与原信号相同的，随着提取的次数的增大
近似程度越来越好，当考虑极限时，收敛问题就产生了。
6, 3 非周期信号与离散时间傅立叶变换
一．从傅氏级数到傅氏变换
当周期 ?N 时，谱线间隔变小谱线变密，在时 域
??N 周期信号变为非周期信号，离散谱变为连 续
谱。
)( nx
为有限长序列，可看成周期序列
)(
~
nx
的一个
周期
?
?
???
??
k
kNnxnx )()(
~
?
?
?
?
?
?
?
?
N
N
n
nnx
nx
1
1
||,0
||),(
~
)(
eA
kn
N
j
Nk
k
nx
?2
)(
~
?
????
? ?
eA
kn
N
j
Nn
k
nx
N
?2
)(
~
1 ?
???
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??
??
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???
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??
?
??
n
kn
N
j
n
kn
N
j
k
eeA
nx
N
N
nxN
?? 22
)()(
~
1
1
?
??N
时,
)(
eA
j
k
XN
?
?
??
,
?
?
d
N
?
2
,
?
?
?k
N
2
?
?
???
?
?
n
njj
ee
nxX
??
)()(
)(
e
j
X
?
也称为
)( nx
的频谱,
显然
)(
e
j
X
?
对
?
而言是以
?2
为周期的
| 2)(
1
N
jk
k
eA
X
N
?
?
?
?
??
?
????
?
0
)(
2
1
)(
1
)(
~ 00
???
??
??????
eeee
njk
Nk
jknjk
Nk
jk
XX
N
nx
N
?
?
2
0
?
??N
时，
?
?
d?
0
,
?
?
?
k 0
,?
?
?,
)()(
~
nxnx ?
?
?
?
?
?
dXnx
ee
njj
?
?
2
)(
2
1
)(
表明离散时间非周期信号可以分解成无 数多个频率从
?2~0
连续分布的复指数序列的线性组合，每个复指数分量的幅度为
?
?
?
dX
e
j
)(
2
1
?
?
???
??
n
njj enxeX ?? )()(
离散非周期序列的傅立叶变换
?? ? ?? ?? 2 )(2
1
)( deeXnx njj
傅立叶
变换
傅立叶
逆变换
是在。。。。
收敛条件有两组,
1,则 存在，且级数一致
收敛于 。
2,则级数以均方误差最小准则
收敛于 。
( ),
n
xn
?
? ??
??? )jXe ?（
2
( ),
n
xn
?
? ? ?
???
二, DTFT的收敛性
当序列是无限长序列时,由于 表达式是无
穷项级数,当然会存在收敛问题,
)jXe ?（
)jXe ?（
)jXe ?（
绝对可和与平方可和并不等价
例
n
n
?
? 0s i n
平方可和，但不绝对可和
当 平方可和但不绝对可和时，级数
以均方误差最小的准则收敛于
)(
?j
eX
，
在间隔点处会产生 G i bbs 现象。
)(nx
如果,
当以部分复指数分量之和近似信号时,也会
出现起伏和振荡 ;如图,
但随着
,( )W x n? 的振荡频率变高,起伏幅度
当 W ?? 时,振荡与起伏将完全消失,不会
出现吉伯斯 (Gibbs)现象,也不存在收敛问
题,
趋小 ;
?? ? ?? ?? 2 )(2 1)( deeXnx njj
只要取够
不存在收敛问题,
?2
)(,nx?
?? ?
时的情况为 )()( nnx ??
4??W 83??W
2??W
43??W
87??W
??W
)(nx )(nx
)(nx
)(nx
)(nx )(nx
连续时间付里叶变换与离散时间付里叶变换的对比,
相同之处,
? 均为连续谱
? 谱的形状与 的包络相同
不同之处,
?
?
作业, 5.1 a,c,e 5.4
?
kA
)(
)(
2
1
21
N
jk
Nk
TTk
eXA
XA
?
?
?
?
?
?
一般没有周期性为周期以 )(,2)( ?XeX j ??
?
?
?
??
? ???
?
deXtx
deeXnx
tj
njj
)()(
)()(
2
1
22
1
?
?
??
? ?
思考,产生这些区别的原因?
二、常用信号的离散时间傅立叶变换
1||),()( ?? anuanx n1,
??
??
?
?
??
???
? ??
0
)()(
n
njn
n
njj eaenxeX ???
?
??
?
??
0
)(
n
njae ? )(|)(|
1
1 ???
?
jeXjj
j eeXae ??? ?
?
?
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1|(|
2
)
aa
eX j
??
?
?
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a
atgeX j
????
?
a<0
a?1
1
???
?? ?
|)(| ?jeX
a>0
|)(| ?jeX
?? ?
呈低通特性
单调减 呈高通特性
摆动减
信号的频谱集中在 的偶数倍 ? 信号的频谱集中在 的奇数倍
?
a?11
?2
a?11
?
?
c o s21
1|(|
2
)
aaeX
j
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?? c o s1 s i n)( 1 aatgeX j ???? ?
)(nx
)(nx
1||,)( || ?? aanx n
???
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???
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1
0
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n
njn
n
njn
n
njnj eaeaeaeX ????
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1
0
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n
nj
n
nj aeae ??
2
2
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1
11
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aa
a
ae
ae
ae j
j
j ??
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?
?
? ??
??
?
?
2,
实偶序列 实偶函数
)()1()( nuanuanx nn ???? ?
a
a
?
?
1
1
???
|)(| ?jeX |)(| ?jeX
?? ?
0<a<1 -1<a<0
a
a
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1
1
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1
1 a
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1
1
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2
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2
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)
2
1
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111
1
?
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?
?
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??
?
NN
eeX
N
Nn
njj
1,
()
0,
xn
?
? ?
? 1
1
Nn
Nn
?
?
可以得出结论,实偶序列 实偶函数
3 矩形脉冲,
当
1 2N ?
时,
有同样的结论,实偶信号 实偶函数
如图,
12 1?N
1221?N?
1
s in ( 2 1 )
1
,
s in
k
kN
Na
N
k
N
?
?
?
?
2
1
() jk
k
N
a X e
N
?
?
? ?
?
两点比较,
1,与对应的周期信号比较
显然有
关系成立
2
s in
2
)12s in (
)(
11
1
?
?
??
?
?? ?
??
?
N
eeX
N
Nn
njj
?
?
??
,0
,1
)(tx
1
1
Tt
Tt
?
?
1
11 s in2)(
T
TTX
?
???
2 与对应的连续时间信号比较
如图所示,
12 1?N
1221?N?
)()(.4 nnx ??
1)()( ?? ?
?
???
? nj
n
j enxeX ??
)( ?jeX
1
?? ?0 ?
)(n?
0 n
1
如图所示,
5,
1)( ?nx ???
???
??
k
j keX )2(2)( ?????
频域均匀冲激串
?
?
???
??
k
j
kX e )2()( ???
?
?
???
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??
? 2
1
)(
2
1
)( ?? ?
?
dnx e
nj
)(2)(1)( ????? ??Xtx
n
Wnnh
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s i n)( ?
?
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0
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n 实、奇
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c o s1
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?
?? jeX j
?
?
?
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0
1
)( ?jeH ??
?
??
?
||
||
W
W
纯虚、奇
6,
7,
1
w -w ? ?2
（版书画图）
)()( nunu aa nn ?? ?, 1?a
??? ?? ?? ?denh nj2 1)(
8,单位阶跃信号的频谱
)]()s g n (1[21)( nnnu ????
]1c o s1 s in)2(2[21)( ?????? ?
??
??? ?
?????? jkeU
k
j
???
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??????
k
kj )2()c o s1 s in1(21 ??????
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???
??? ??
k
j
ke )2()c o s1 1(21 ?????
?
???
???
? ????
k
j ke )2(1
1 ????
?
6.4 周期信号的离散时间傅立叶变换
当把非周期信号看成某个周期信号的一个周期,Ak
与 有如下关系,)( ?jeX
.,.........
,)(,)(
,,)(~
)(
2
1
却只有一个但对应的
也就不同也各不相同于是得到的
可以有各种截取法截取一个周期时但从
k
j
kj
Nk
A
eXnx
nx
eXA N
?
?
?
里叶变换是由连续时间周期信号的付
得出tje 0)(2 0 ???????
:,2
)(,)(2 00
因而为周期的是以
但由于也许对应离散时间
?
???? ?? jnj eXe?
nj
k
ek 0)2(2 0 ?????? ?????
???
6.4 周期信号的离散时间傅立叶变换
???
???
???
l
j leX )2(2)(
0 ?????
?
njnj edenx 02
0 0
)()( ?? ? ???? ??? ?
对周期信号,
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Nk
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k eAnx 0)(
? N/2,0 ?? ?
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???
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Nk l
k
j lkAeX )2(2)(
0 ?????
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如果,
其反变换为,
nj
k
ek 0)2(2 0 ?????? ???? ?
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k
j lk
NAeX )2
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13
2
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2
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2
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2
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k
N
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k
N
k
k
k
N
A
k
N
Ak
N
A
?
???
?
???
?
???
?
?
???
??
k
k kNA )
2(2 ????
比较,可以看出与连续时间傅立叶变换中的
形式是完全一致的,
00
0
1( ) c os ( ),
2
j n j nx n n e e??? ?? ? ?
?
?
???
??
?
??
? ??????
k
j k
N
k
N
eX )22()22()( ??????????
)( ?jeX
02 ???? ?2? 02 ???? 0?? 0 0? 02 ??? ?2 02 ???
?
?
? ?
例 1 不一定
是周期的,当
0
2 k
N
?? ? 时是周期的,如果ｍ＝１；
如图所示,
?
?
???
??
k
k kNA )
2(2,????或
m
( ) ( )
k
x n n k N?
?
? ? ?
???
00
1
0
1 1 1( ) ( )Nj k n j k n
k
n N n
A x n e n e
N N N
?? ?
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? ? ???
?
?
???
??
k
j k
NN
eX )2(2)( ?????
N
?2?
N
?2
)( ?jeX
N
?2
0
N
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N
?4 ?
? ?
例 2,均匀单位脉冲串
比较,与连续时间均匀冲激串的情况一致,
)(nx
1
N? 0 NN2? N2 n
? ?
?
