1
第四章,Z变换
本章要点
Z变换的基本概念和基本性质
Z变换的 Z域分析
离散系统的系统函数
离散系统的频率响应
2
在 前面,已讨论过复指数信号是一切 L TI
系统的特征函数
nn
zzHnhz )()( ?? ?
?
??
?
?
n
n
ZnhzH )()(
当 ?jez ? 时，即成为离散时间付氏变换
?
?
???
?
?
n
j w nj
enheH )()(
?
本章讨论更一般的情况 ?jrez ?,则成为双
边 z 变换。它与连续时间下的拉氏变换对
应。
3
二,z 变换与离散时间傅立叶变换的关系。
])([)()()(
nnj
n
nj
rnxFernxreXzX
??
?
???
?
??? ?
??
z 变换是离散时间傅立叶变换的推广，他的适用范围
更广，收敛性更强。
当 r = 1 时
?j
eZ ?
,z 变换即成为离散时间付氏变换，
故 D T F T 是 z 变换的特例，（
的圆平面上半径为 rZZr,,,,?
），
D T F T 是在单位圆上的所作的 z 变换。
4,1 双边 z 变换,
一,定义,
n
n
znxzX
?
?
???
?? )()( 是一个复数?jreZ ?
?
?
???
??
n
njj enxeX ?? )()(
4
三,z 变换与拉氏变换的关系,
设 x （ n ）是对连续时间信号 )( tx a 理
想抽样后而得到的序列。
)()()( nTtnTxtx
n
ap
?? ?
?
???
?
)()( nTxnx
a
?
?
?
???
??
n
nTttp )()( ?
5
对
)( tx
p 作拉氏变换有,
s n T
n
ap
enTxsX
?
?
???
?? )()(
对 x （ n ）作 z 变换有,
n
n
a
znTxzX
?
?
???
?? )()(
)()( sXzX
p
eZ
ST
??
?
这表明：抽样信号的拉氏变换与抽样所得序列的 z 变换
之间，本质上是一种映射关系。即通过
sT
ez ?
将 s 平面的
)( sX
p
映射成 z 平面上的 x （ z ）。
?
?
j
TjTsT
rez
eeez
?
?? ?
负实轴
正实轴实轴
单位圆外右半面
单位圆内左半面
单位圆轴
???????
?????
????
????
?????
.,,,,,,
...00
.....10
.....10
.,,,,,10
??
?
?
?
?
?
T
S
r
r
jr
6
四。 z 变换与 D F T 的关系,
如果
)( nx
是有限长序列，长度为 N,则其 Z 变换为,
?
?
?
?
?
1
0
)()(
N
n
n
znxzX
??
?
?
?
?
?
?
??
?
1
0
2
1
0
)()()(
N
n
kn
N
j
N
n
kn
N
Wz
enxWnxzX
k
N
?
对
)( nx
作 N 点 D F T 有
?
?
?
?
1
0
)()(
N
n
kn
N
WnxkX
k
N
j
k
N
eWz
zXkX
?2
)()(
??
?
??
这表明有限长序列的 D F T 就是该序列的 z 变换在单位圆
上以
N
?2
等间隔抽样所得的 样本。这是必然的。因为在单位圆
上的 z 变换就是 D T F T 也即是 x （ n ）的频谱。对 z 变换在单
位圆上均匀抽样，就是对 D T F T 即信号频谱抽样，这本自就
是 D F T 与频域抽样的关系。
7
4.2 Z变换的收敛域
?????????????? ?
?
???
?
2
2 )2()1()0()1()2()()(
z
x
z
xxzxzxznxzX
n
n
由于 z变换是一个无穷级数, 必然存在收敛问题 。 即：
并不是任何信号的 z变换都存在, 也不是任何复数 z都
能使一个信号的 z变换存在 。
收敛域：能够使一个信号的 z变换存在的那些复数 z的
集合，称为该 z变换的 ROC,
8
由于
])([)]([
n
rnxFnxZ
?
?
因此当,
?
?
???
?
??
n
n
rnx ])([
时
)( nx
的 z 变换存在。 可见 z 变换的 R O C 与
)( nx
及
rz ?
有关。
先看几个例子,
9
例 1,
)(
2
1)()1( nunx n
?
?
??
?
??
右边序列
2
1
2
1
1
1
2
1
)(
10
1
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
z
z
z
zzX
n
n
2
1
1
?xR
2
1?? z
2
1
1
?xR
21
]Im[zj
]Re[z
2
1?z
10
例 2,
)1(
2
1)()2( ??
?
?
??
?
??? nunx
n左边序列
1
2
11
0
1
1
1
1
1
1
2
121
1
1)2(1
2
1
2
1
)(
??
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
??
z
z
z
z
z
zzzX
m
m
m
m
n
mn
n
001
2
1
2
2
????
??
Zn
Rz
x
包括
0
收敛半径
圆内为收敛域,
若
则不包括 z=0点
02 ?n
2xR
21
]Im[zj
]Re[z
2
1?Z
11
例 3,
n
nx ?
?
??
?
??
3
1)()4(
双边序列
)1)(31(
1
3
8
))(3(
3
13
3
1
3
1
)(
1
3
11
3
1
3
8
1
0
1
??
?
???
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ? ?
zzzz
z
z
z
z
z
zzzX
n n
n
n
n
]Im[zj
3
3
1 ?? z
]Re[z
o
12
例四,
)1()
2
1
()()
3
1
()( ???? nununx
nn
??
?
???
?
?
?
??
1
0
)
2
1
()
3
1
()(
n
nn
n
nn
zzZX
11
2
1
1
1
3
1
1
1
??
?
?
?
?
zz
2
1
3
1
?? z
)1()
3
1
()()
2
1
()( ???? nununx
nn
11
2
1
1
1
3
1
1
1
)(
??
?
?
?
?
zz
zX
（
3
1
?z
,
2
1
?z
）
由于两个的 R O C 无公共域，表明该信号的 z 变换不存在。
以上实例说明, 不同的信号 可能 具有相同或不同的 z 变
换式，只是 R O C 不同，因此 R O C 是至关重要的。 只有 z 变
换式连同相应的 R O C,才能与信号建立一一对应的关系。
13
例五,
)()( nunx ?
1
0
1
1
)(
?
?
?
?
?
??
?
z
zzX
n
n
1?z
表明 z 变换比
D T F T 的适用范围广。
?
?
???
??
?
?
k
j
j
k
e
eX )2(
1
1
)( ????
?
?
例六、
)()( nnx ??
1)( ?zX
R O C 为整个 z 平面。
? ?当 x （ z ）的收敛域 R O C 包括单位圆时
?
?
j
ez
j
zXeX
?
? )()(
14
二 。 z 变换的几何表示，零极点图
如果 X （ Z ） 是 有理 数,
)
(
)(
p
i
ZZ
ZZ
ZX
??
?
?
（
）?
在 z 平面上标 出 x （ z ）的全部零极点，就 构成了零极点图。
它与实际的 z 变换式最多 只 相差一个常数因子。
如果在零极点图上标出 R O C,这 就是 x （ z ）的几何表示，
除了相差一个常数因子外，它与有 理 z 变换是 等价的。
15
例,
)]8()([
3
1)()3( ??
?
?
??
?
?? nununx
n 有限长序列
)(
)(
1
1)(
3
1)(
3
17
8
3
18
1
3
1
81
3
18
0
1
?
??
?
????
?
?
??
?
??
?
?
?
??
zz
z
z
zzzX
n
n
收敛域为除了 0
的整个 平面 z
]Re[z
]Im[zj
3
1
3
1
28
3
18
0
)(
8
2
?
?
?
?
z
z
ez
ez
K
j
kj
?
?
8个零点
7阶极点
一阶极点
16
三。 ROC 的特征
由例子可以看出,ROC 是由 x （ z ）的极点位置决
定的,ROC 有如下几点特征。
1, ROC 是 z 平面上的以原点为中心的环形区域。
由于
])([)]([
n
rnxFnxZ
?
?
，对给定的 x （ n ）,z 变换
收敛与否取决于 r,而与
?
无关系，
rz ?
是 z 平
面上的以原点为中心,r 为半径的圆，所以 ROC
是同心圆环域。
2 。 ROC 内无极点。
17
几类序列的收敛域
3.有限长序列,
21
2
1
)()( NnNznxzX
N
Nn
n ??? ?
?
?
X（ Z）的收敛域为整个 平面（可能不
包含 Z=0和 Z= ）
?
z
]Re[z
]Im[zj
?????????????? ?
?
???
?
2
2 )2()1()0()1()2()()(
z
x
z
xxzxzxznxzX
n
n
18
?
?
?
?
2
1
)()(
N
Nn
n
znxzx
21
NN ?
a,当
0
1
?N
，
0
2
?N
时和式中既有 z 的正幂
项，又有 z 的负幂项。 ROC 不包括 z = 0
和
??z
。
b,当
0
1
?N
时，和式中只有 z 的负幂项，
ROC 不包括 z ＝ 0,包括
??z
。
c,当
0
2
?N
时，和式中只有 z 的正幂项，
ROC 不包括
??z
，包括 z ＝ 0 。
?????????????? ?
?
???
?
2
2 )2()1()0()1()2()()(
z
x
z
xxzxzxznxzX
n
n
19
4。右边序列,ROC是最外部极点的外部,但可能不包括 Z=
???? ?
?
?
? nnznxzX
nn
n
1
1
)()( 圆外为
收敛域
1xR
]Re[z
]Im[zj
?
如果 n1>0,则 x（ z） 的
和式中只有 z的负幂项,
故 ROC包括 ??Z
如果 n1<0,则 x（ z） 的
和式中有限个 z的正次幂
,和无数个 z的负幂项故
ROC不包括 ??Z
20
5。左边序列,ROC是最内部极点的内部，但可能不包括 z＝ 0。
2
2
)()( nnznxzX
n
n
n ????? ?
???
? 圆内为收敛域,
若
则不包括 z=0点
02 ?n
2xR
]Im[zj
]Re[z
如果 n2<=0,则 x（ z） 的
和式中只有 z的正幂项,
故 ROC包括 Z=0
如果 n2>0,则 x（ z） 的
和式中有限个 z的负次幂
,和无数个 z的正幂项故
ROC不包括 Z=0
21
6。双边序列,z变换如果存在, ROC一定是一个
环形收敛域。
?????? ?
?
???
? nznxzX
n
n)()(
?? ?
?
?
?
???
? ??
0
1
)()()(
n
n
n
n znxznxzX
圆内收敛
圆 外 收敛
有环状收敛域
12 xx RR ?
]Im[zj
]Re[z
2xR
1xR
2xR
1xR
22
4, 3 z 变换的性质
z 变换的许多性质与拉氏变换的相应性质很类似。（ D T FT 的性
质很相似）。证明方法也雷同。只关注 RO C 的变化，通过 z 变换性质
的讨论，旨在提示信号在时域与在 z 域之间的关系。
1, 线性,
)()(
11
zXnx ?
1R
)()(
22
zXnx ?
2R
)()()()( 2121 zbXnaXnbxnax ???
ROC 包括
21
RR ?
当
)(1 nx
与
)(2 nx
在线性组合过程中出现零极点抵消时,RO C 有可
能扩大。
23
2 。时移,
)()( zXnx ?
R
0
)()(
0
n
zzXnnx
?
???
RO C,R
但在 z ＝ 0 和
??z
有可能有增有删。之所以 R O C 在 z ＝ 0 和
??z
可能有增删是因为序列 x （ n ）因果性有可能发生改变。
因果序列的 RO C 必包括
??z
,反因果序列得 RO C 必包括 z ＝ 0 。
非因果序列的 ROC必不包括 z＝ 0和
??Z
(1).x(n)原来是非因果的右边序列 …………
(2) x(n)原来不是反因果的左边序列 …………
(3) x(n)原来是非因果的有限长序列
记住原则,……….,
24
3,频移,
)()( zXnx ?
R
)()(
00 ?? jnj ezXenx ???
RR O C,
零极点位置将旋转一个角度 0
?
，当
?? ??
0 时，有
)()1)(( zXnx
n
??? 零极点旋转
0
180
?0X
a
有极点aZaZZX ??? ?,,,,,,1 1)( 1 有极点0
0,...1
1)(
1
?
?
j
j aeZZaeZX ??? ?
)()( nua n
)()( 0 nuae nj?
X
25
4.z 域尺度变换,
)()( zXnx ?
R
)()(
0
0
z
zn
Xnxz ?
ROC, Rz 0
若
0
00
?j
erz ?
则 x （ z ）的零极点，除了旋转一个角度 0
?
以
外，在径向有 0
r
的变化，于是 ROC 有一个 0
z
的尺度变化。
例,
0
00
?j
erz ?
，
2
0
?r
21
21?
?0
)()( ZXnx ? )/()(
00 ZZXnxZ n ?
00
00
......
:
?jeZ
rZ
?
?如果问
1 ?
?
26
5,时域反转,
)()( zXnx ?
R
)()(
1?
?? zXnx
R O C,
R
1
若 x （ z ）的 ROC,
bza ??
,
则
)(
1?
zX
的 R O C,
a
z
b
11
??
例,
1.....
1
1
)(
1
?
?
?
?
Z
Z
nu
1,
11
1
)(
1
1
?
?
??
?
??
?
?
z
z
z
z
nu
零极点对 X（ Z）与 X（ 1/Z）来讲是倒置对称的,
27
6,卷积特性,
)()()()(
2121
zXzXnxnx ??
R O C 包括
21
RR ?
当
)()(
21
zXzX
有零极点相消时,R O C 可能扩大 。
7.z 域微分,
)()( zXnx ?
R
dz
zdX
znnx
)(
)( ??
RO C, R
1
21
1
1
1
)(
)(.,,,,.,,,,
)1(
)(:
?
?
?
?
?
??
?
?
az
nua
nxaz
az
az
zX
n
?
求例
)()1()1 1( 21
1
1 nunaaz
az
azdz
dz n?
???? ?
?
?
)()( nunanx n??
28
n
nua
n
nuaa
nx
nuaa
az
az
zXznnx
nxazzX
Z
Z
nn
n
)1()()1()(
)(
)1()(
1
)()(
)()1l n ()(
1
1
1
1
1
??
?
??
??
???
?
????
??
?
?
?
?
?
?
的反变换求例
反变换的
非有理函数域的微分性质可求某些利用
29
8,时域求和,
)()( zXnx ?
R
)(
1
1
)(
1
zX
z
kx
n
k
?
???
?
??
RO C,包括
)1( ?? zR
用卷积特性证明
)(
1
1
)()(
1
zX
Z
nxnu ?
?
??
?
RZ,,,,,,,,,1?
30
9,初值定理,
若 x （ n ）是因果序列
)()( zXnx ?
，且
)(lim zX
z ??
存在，则
)(l i m)0( zXx
z ??
?
p r o o f,
??
?
?
?
?
?
?
???
10
)()0()()(
n
n
n
n
znxxznxzX
???? ??????
??? n
znxzxzxx )()2()1()0(
21
当
??z
时,z 的负幂次项均趋于零，故初值定理得证。
初值定理表明,
? ?如果因果序列初值有限,则
)(lim zX
z ??
也为有限值,
? ?x （ z ）为有理数时，其分 子多项式的阶数低于分母多项式
的阶数是
)(lim zX
z ?? 存在的条件。如果分子多项式的阶数高于
分母多项式的阶数,则
)(lim zX
z ??
不存在,或者说
)( nx
不存在初
值。
31
10,终值定理,
若 x （ n ）是因果序列,x （ z ）的极点除了在 z=1
允 许 有 一 阶 极 点 外, 其 余 极 点 均 在 单 位 园 内 。
)()1(lim)(lim
1
zxznx
zn
??
???
讨论, 极点的位置与信号特性的关系。
在 z=1 处的极点,
1:.,,,,,,,
1
1
)(
1
?
?
?
?
ZR O C
Z
nu
有终值极点在单位圆内
终值不存在极点在单位圆外
有终值处极点在单位圆
,.,,,1.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
,.,,1.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
,1.,,1.,,,,,,,
)(1
1
)(
0
0
0
1
0
0
?
?
??
?
?
?
Z
Z
Z
Z
Z
nuZ
n
32
极点分布对 x(n)的影响
]Im [zj
p258
33
作业,7.1 a,c,e,g
7.2
34
4,4 常用信号的 z 变换
目的在于利用 z 变换的性质从简单信号的 z 变换导出常用信号的
z 变换对。
1.
)()( mnnx ?? ?
1)( ?n??
RO C,整个 z 平面
m
zmn ??? )(?
RO C,整个 z 平面,
当 m >0 时包括
??z
不含 Z =0
当 m <0 包括 z=0,不含
??z
35
2,
)1()( ???? nunx
1
1
1
)(
?
?
?
z
nu
1?z
1
1
1
)1(
?
?
?
??
z
z
nu
1?z
z
z
nu
?
???
1
)1(
1
1
1
?
?
??
z
,1?z
1
1
1
)1()(
?
?
??????
z
nunx
,1?z
36
3,)()( nuanx
n
? )()(
a
zXnxa n ?
1
1
1
)(
?
?
?
z
nu 1?z
11
1
)(
?
?
?
az
nxa
n
az ?
)()1()(.4 nunnx n ????
)1()1()(.5 2 ??? nunnx
37
4, 5z 反变换
一,z 反变换,
x （ n ）的 z 变换就是对
nrnx ?)(
作 D T FF,由 D T FF 的反变换有,
?
?
?
?
?
dereXrnx
njjn
?
?
?
2
)(
2
1
)(
?
?
?
?
?
drereXnx
njj
)()(
2
1
)(
2
?
?
?j
reZ ?
dzz
j
d
1
1
?
??
dzzzX
j
nx
n
c
1
)(
2
1
)(
?
?
?
?
( 当
?
从 0 － 2
?
变化时,z 沿半径为 r 的圆一周 )
z 反变换表明，信号可以在 z 域分解为复指数信号的线性组合，这些
复指数分量分布在一个圆圈上。
38
二, 反变换的求法,
1,幂级数展开法（长除法）
?
?
???
?
?
n
n
znxzx )()(
??? ?????????
??? n
znxzxzxxzx )()2()1()0()1(
21
可见要将 x （ z ）展开成 z 的幂级数（罗朗级数）其通项的系数即为
x （ n ），每一项的系数都对应 x （ n ）的一个点。
对有理函数的 x （ z ）在展开成幂函数时可通过长除实现。
? ? 当 x （ n ）是因果序列时，展开式中包含无数多 z 的负幂项,∴应
按降幂长除。
? ? 反因果序列时，展开式中包含无数多 z 的正幂项,∴按升幂长除
? ? 当 x （ n ）是双边序列时，将其按 R O C 分为两部分，分别按降幂
和升幂长除。
)(zX
39
例 1,
1
1
2
1
1
2
1
1
)(
?
?
?
?
?
z
z
zx,
2
1
?z 按降幂长除
321
3
32
2
21
1
1
11
4
1
2
1
1
4
1
.,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
4
1
2
1
...,,,,,,,,,
2
1
...,,,,,,,,,
2
1
.,,,
.,,,,
2
1
1
2
1
1
2
1
1
???
?
??
?
??
?
?
??
???
?
?
?
??
zzz
z
zz
z
zz
z
z
zz
)()1()
2
1
()(
1
nnunx
n
?????
?
)(zX
40
? ? 例 2,
1
1
3
1
1
)(
?
?
?
?
z
z
zx
3
1
?z 按升幂长除
?
?
????
?
?
?
??
?
??
2
2
1
11
2793
279.,,,.,,,,,,,,,
9.,,,.,,,,,,,,,
93.,,,,,,,,
3.,,,,,,,,
3
1
3
1
zz
zz
z
z
z
zz ????
? nn
znu )()
3
1
(3
)()
3
1
()()
3
1
(3)(
1
nununx
nn
??????
?
按升幂重新排列
)(zX
41
例 3,
21
1
6
1
6
5
1
2
1
1
)(
??
?
??
?
?
zz
z
zx,
2
1
3
1
?? z
11
3
1
1
5
2
1
1
6
??
?
?
?
?
zz
对前一次按升幂长除，后一项按降
幂长除。
2
1
?z,
3
1
?z
?????
?
?
?
??
?
32
3
32
2
2
1
482412
48.,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
4824.,,.,,,,,,,,,
24.,,,.,,,,,,,,,
2412.,,,,
12.,,,,
126
61
2
1
zzz
z
zz
z
zz
z
z
z ?????
? nn
znu )1()
2
1
(6
)(zX
42
21
2
21
1
1
1
9
5
3
5
5
9
5
.,,,,,.,,,,,,,,,
9
5
3
5
.,,,,
3
5
.,,,,
3
5
5
5
3
1
1
??
?
??
?
?
?
??
?
?
?
zz
z
zz
z
z
z
)()
3
1
(5 nu
n
)()
3
1
(5)1()
2
1
(6)( nununx
nn
?????
长除法的优点是简单，缺点是通项不易求得，尤其是
)( zX
较
复杂时。
第四章,Z变换
本章要点
Z变换的基本概念和基本性质
Z变换的 Z域分析
离散系统的系统函数
离散系统的频率响应
2
在 前面,已讨论过复指数信号是一切 L TI
系统的特征函数
nn
zzHnhz )()( ?? ?
?
??
?
?
n
n
ZnhzH )()(
当 ?jez ? 时，即成为离散时间付氏变换
?
?
???
?
?
n
j w nj
enheH )()(
?
本章讨论更一般的情况 ?jrez ?,则成为双
边 z 变换。它与连续时间下的拉氏变换对
应。
3
二,z 变换与离散时间傅立叶变换的关系。
])([)()()(
nnj
n
nj
rnxFernxreXzX
??
?
???
?
??? ?
??
z 变换是离散时间傅立叶变换的推广，他的适用范围
更广，收敛性更强。
当 r = 1 时
?j
eZ ?
,z 变换即成为离散时间付氏变换，
故 D T F T 是 z 变换的特例，（
的圆平面上半径为 rZZr,,,,?
），
D T F T 是在单位圆上的所作的 z 变换。
4,1 双边 z 变换,
一,定义,
n
n
znxzX
?
?
???
?? )()( 是一个复数?jreZ ?
?
?
???
??
n
njj enxeX ?? )()(
4
三,z 变换与拉氏变换的关系,
设 x （ n ）是对连续时间信号 )( tx a 理
想抽样后而得到的序列。
)()()( nTtnTxtx
n
ap
?? ?
?
???
?
)()( nTxnx
a
?
?
?
???
??
n
nTttp )()( ?
5
对
)( tx
p 作拉氏变换有,
s n T
n
ap
enTxsX
?
?
???
?? )()(
对 x （ n ）作 z 变换有,
n
n
a
znTxzX
?
?
???
?? )()(
)()( sXzX
p
eZ
ST
??
?
这表明：抽样信号的拉氏变换与抽样所得序列的 z 变换
之间，本质上是一种映射关系。即通过
sT
ez ?
将 s 平面的
)( sX
p
映射成 z 平面上的 x （ z ）。
?
?
j
TjTsT
rez
eeez
?
?? ?
负实轴
正实轴实轴
单位圆外右半面
单位圆内左半面
单位圆轴
???????
?????
????
????
?????
.,,,,,,
...00
.....10
.....10
.,,,,,10
??
?
?
?
?
?
T
S
r
r
jr
6
四。 z 变换与 D F T 的关系,
如果
)( nx
是有限长序列，长度为 N,则其 Z 变换为,
?
?
?
?
?
1
0
)()(
N
n
n
znxzX
??
?
?
?
?
?
?
??
?
1
0
2
1
0
)()()(
N
n
kn
N
j
N
n
kn
N
Wz
enxWnxzX
k
N
?
对
)( nx
作 N 点 D F T 有
?
?
?
?
1
0
)()(
N
n
kn
N
WnxkX
k
N
j
k
N
eWz
zXkX
?2
)()(
??
?
??
这表明有限长序列的 D F T 就是该序列的 z 变换在单位圆
上以
N
?2
等间隔抽样所得的 样本。这是必然的。因为在单位圆
上的 z 变换就是 D T F T 也即是 x （ n ）的频谱。对 z 变换在单
位圆上均匀抽样，就是对 D T F T 即信号频谱抽样，这本自就
是 D F T 与频域抽样的关系。
7
4.2 Z变换的收敛域
?????????????? ?
?
???
?
2
2 )2()1()0()1()2()()(
z
x
z
xxzxzxznxzX
n
n
由于 z变换是一个无穷级数, 必然存在收敛问题 。 即：
并不是任何信号的 z变换都存在, 也不是任何复数 z都
能使一个信号的 z变换存在 。
收敛域：能够使一个信号的 z变换存在的那些复数 z的
集合，称为该 z变换的 ROC,
8
由于
])([)]([
n
rnxFnxZ
?
?
因此当,
?
?
???
?
??
n
n
rnx ])([
时
)( nx
的 z 变换存在。 可见 z 变换的 R O C 与
)( nx
及
rz ?
有关。
先看几个例子,
9
例 1,
)(
2
1)()1( nunx n
?
?
??
?
??
右边序列
2
1
2
1
1
1
2
1
)(
10
1
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
z
z
z
zzX
n
n
2
1
1
?xR
2
1?? z
2
1
1
?xR
21
]Im[zj
]Re[z
2
1?z
10
例 2,
)1(
2
1)()2( ??
?
?
??
?
??? nunx
n左边序列
1
2
11
0
1
1
1
1
1
1
2
121
1
1)2(1
2
1
2
1
)(
??
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
??
z
z
z
z
z
zzzX
m
m
m
m
n
mn
n
001
2
1
2
2
????
??
Zn
Rz
x
包括
0
收敛半径
圆内为收敛域,
若
则不包括 z=0点
02 ?n
2xR
21
]Im[zj
]Re[z
2
1?Z
11
例 3,
n
nx ?
?
??
?
??
3
1)()4(
双边序列
)1)(31(
1
3
8
))(3(
3
13
3
1
3
1
)(
1
3
11
3
1
3
8
1
0
1
??
?
???
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ? ?
zzzz
z
z
z
z
z
zzzX
n n
n
n
n
]Im[zj
3
3
1 ?? z
]Re[z
o
12
例四,
)1()
2
1
()()
3
1
()( ???? nununx
nn
??
?
???
?
?
?
??
1
0
)
2
1
()
3
1
()(
n
nn
n
nn
zzZX
11
2
1
1
1
3
1
1
1
??
?
?
?
?
zz
2
1
3
1
?? z
)1()
3
1
()()
2
1
()( ???? nununx
nn
11
2
1
1
1
3
1
1
1
)(
??
?
?
?
?
zz
zX
（
3
1
?z
,
2
1
?z
）
由于两个的 R O C 无公共域，表明该信号的 z 变换不存在。
以上实例说明, 不同的信号 可能 具有相同或不同的 z 变
换式，只是 R O C 不同，因此 R O C 是至关重要的。 只有 z 变
换式连同相应的 R O C,才能与信号建立一一对应的关系。
13
例五,
)()( nunx ?
1
0
1
1
)(
?
?
?
?
?
??
?
z
zzX
n
n
1?z
表明 z 变换比
D T F T 的适用范围广。
?
?
???
??
?
?
k
j
j
k
e
eX )2(
1
1
)( ????
?
?
例六、
)()( nnx ??
1)( ?zX
R O C 为整个 z 平面。
? ?当 x （ z ）的收敛域 R O C 包括单位圆时
?
?
j
ez
j
zXeX
?
? )()(
14
二 。 z 变换的几何表示，零极点图
如果 X （ Z ） 是 有理 数,
)
(
)(
p
i
ZZ
ZZ
ZX
??
?
?
（
）?
在 z 平面上标 出 x （ z ）的全部零极点，就 构成了零极点图。
它与实际的 z 变换式最多 只 相差一个常数因子。
如果在零极点图上标出 R O C,这 就是 x （ z ）的几何表示，
除了相差一个常数因子外，它与有 理 z 变换是 等价的。
15
例,
)]8()([
3
1)()3( ??
?
?
??
?
?? nununx
n 有限长序列
)(
)(
1
1)(
3
1)(
3
17
8
3
18
1
3
1
81
3
18
0
1
?
??
?
????
?
?
??
?
??
?
?
?
??
zz
z
z
zzzX
n
n
收敛域为除了 0
的整个 平面 z
]Re[z
]Im[zj
3
1
3
1
28
3
18
0
)(
8
2
?
?
?
?
z
z
ez
ez
K
j
kj
?
?
8个零点
7阶极点
一阶极点
16
三。 ROC 的特征
由例子可以看出,ROC 是由 x （ z ）的极点位置决
定的,ROC 有如下几点特征。
1, ROC 是 z 平面上的以原点为中心的环形区域。
由于
])([)]([
n
rnxFnxZ
?
?
，对给定的 x （ n ）,z 变换
收敛与否取决于 r,而与
?
无关系，
rz ?
是 z 平
面上的以原点为中心,r 为半径的圆，所以 ROC
是同心圆环域。
2 。 ROC 内无极点。
17
几类序列的收敛域
3.有限长序列,
21
2
1
)()( NnNznxzX
N
Nn
n ??? ?
?
?
X（ Z）的收敛域为整个 平面（可能不
包含 Z=0和 Z= ）
?
z
]Re[z
]Im[zj
?????????????? ?
?
???
?
2
2 )2()1()0()1()2()()(
z
x
z
xxzxzxznxzX
n
n
18
?
?
?
?
2
1
)()(
N
Nn
n
znxzx
21
NN ?
a,当
0
1
?N
，
0
2
?N
时和式中既有 z 的正幂
项，又有 z 的负幂项。 ROC 不包括 z = 0
和
??z
。
b,当
0
1
?N
时，和式中只有 z 的负幂项，
ROC 不包括 z ＝ 0,包括
??z
。
c,当
0
2
?N
时，和式中只有 z 的正幂项，
ROC 不包括
??z
，包括 z ＝ 0 。
?????????????? ?
?
???
?
2
2 )2()1()0()1()2()()(
z
x
z
xxzxzxznxzX
n
n
19
4。右边序列,ROC是最外部极点的外部,但可能不包括 Z=
???? ?
?
?
? nnznxzX
nn
n
1
1
)()( 圆外为
收敛域
1xR
]Re[z
]Im[zj
?
如果 n1>0,则 x（ z） 的
和式中只有 z的负幂项,
故 ROC包括 ??Z
如果 n1<0,则 x（ z） 的
和式中有限个 z的正次幂
,和无数个 z的负幂项故
ROC不包括 ??Z
20
5。左边序列,ROC是最内部极点的内部，但可能不包括 z＝ 0。
2
2
)()( nnznxzX
n
n
n ????? ?
???
? 圆内为收敛域,
若
则不包括 z=0点
02 ?n
2xR
]Im[zj
]Re[z
如果 n2<=0,则 x（ z） 的
和式中只有 z的正幂项,
故 ROC包括 Z=0
如果 n2>0,则 x（ z） 的
和式中有限个 z的负次幂
,和无数个 z的正幂项故
ROC不包括 Z=0
21
6。双边序列,z变换如果存在, ROC一定是一个
环形收敛域。
?????? ?
?
???
? nznxzX
n
n)()(
?? ?
?
?
?
???
? ??
0
1
)()()(
n
n
n
n znxznxzX
圆内收敛
圆 外 收敛
有环状收敛域
12 xx RR ?
]Im[zj
]Re[z
2xR
1xR
2xR
1xR
22
4, 3 z 变换的性质
z 变换的许多性质与拉氏变换的相应性质很类似。（ D T FT 的性
质很相似）。证明方法也雷同。只关注 RO C 的变化，通过 z 变换性质
的讨论，旨在提示信号在时域与在 z 域之间的关系。
1, 线性,
)()(
11
zXnx ?
1R
)()(
22
zXnx ?
2R
)()()()( 2121 zbXnaXnbxnax ???
ROC 包括
21
RR ?
当
)(1 nx
与
)(2 nx
在线性组合过程中出现零极点抵消时,RO C 有可
能扩大。
23
2 。时移,
)()( zXnx ?
R
0
)()(
0
n
zzXnnx
?
???
RO C,R
但在 z ＝ 0 和
??z
有可能有增有删。之所以 R O C 在 z ＝ 0 和
??z
可能有增删是因为序列 x （ n ）因果性有可能发生改变。
因果序列的 RO C 必包括
??z
,反因果序列得 RO C 必包括 z ＝ 0 。
非因果序列的 ROC必不包括 z＝ 0和
??Z
(1).x(n)原来是非因果的右边序列 …………
(2) x(n)原来不是反因果的左边序列 …………
(3) x(n)原来是非因果的有限长序列
记住原则,……….,
24
3,频移,
)()( zXnx ?
R
)()(
00 ?? jnj ezXenx ???
RR O C,
零极点位置将旋转一个角度 0
?
，当
?? ??
0 时，有
)()1)(( zXnx
n
??? 零极点旋转
0
180
?0X
a
有极点aZaZZX ??? ?,,,,,,1 1)( 1 有极点0
0,...1
1)(
1
?
?
j
j aeZZaeZX ??? ?
)()( nua n
)()( 0 nuae nj?
X
25
4.z 域尺度变换,
)()( zXnx ?
R
)()(
0
0
z
zn
Xnxz ?
ROC, Rz 0
若
0
00
?j
erz ?
则 x （ z ）的零极点，除了旋转一个角度 0
?
以
外，在径向有 0
r
的变化，于是 ROC 有一个 0
z
的尺度变化。
例,
0
00
?j
erz ?
，
2
0
?r
21
21?
?0
)()( ZXnx ? )/()(
00 ZZXnxZ n ?
00
00
......
:
?jeZ
rZ
?
?如果问
1 ?
?
26
5,时域反转,
)()( zXnx ?
R
)()(
1?
?? zXnx
R O C,
R
1
若 x （ z ）的 ROC,
bza ??
,
则
)(
1?
zX
的 R O C,
a
z
b
11
??
例,
1.....
1
1
)(
1
?
?
?
?
Z
Z
nu
1,
11
1
)(
1
1
?
?
??
?
??
?
?
z
z
z
z
nu
零极点对 X（ Z）与 X（ 1/Z）来讲是倒置对称的,
27
6,卷积特性,
)()()()(
2121
zXzXnxnx ??
R O C 包括
21
RR ?
当
)()(
21
zXzX
有零极点相消时,R O C 可能扩大 。
7.z 域微分,
)()( zXnx ?
R
dz
zdX
znnx
)(
)( ??
RO C, R
1
21
1
1
1
)(
)(.,,,,.,,,,
)1(
)(:
?
?
?
?
?
??
?
?
az
nua
nxaz
az
az
zX
n
?
求例
)()1()1 1( 21
1
1 nunaaz
az
azdz
dz n?
???? ?
?
?
)()( nunanx n??
28
n
nua
n
nuaa
nx
nuaa
az
az
zXznnx
nxazzX
Z
Z
nn
n
)1()()1()(
)(
)1()(
1
)()(
)()1l n ()(
1
1
1
1
1
??
?
??
??
???
?
????
??
?
?
?
?
?
?
的反变换求例
反变换的
非有理函数域的微分性质可求某些利用
29
8,时域求和,
)()( zXnx ?
R
)(
1
1
)(
1
zX
z
kx
n
k
?
???
?
??
RO C,包括
)1( ?? zR
用卷积特性证明
)(
1
1
)()(
1
zX
Z
nxnu ?
?
??
?
RZ,,,,,,,,,1?
30
9,初值定理,
若 x （ n ）是因果序列
)()( zXnx ?
，且
)(lim zX
z ??
存在，则
)(l i m)0( zXx
z ??
?
p r o o f,
??
?
?
?
?
?
?
???
10
)()0()()(
n
n
n
n
znxxznxzX
???? ??????
??? n
znxzxzxx )()2()1()0(
21
当
??z
时,z 的负幂次项均趋于零，故初值定理得证。
初值定理表明,
? ?如果因果序列初值有限,则
)(lim zX
z ??
也为有限值,
? ?x （ z ）为有理数时，其分 子多项式的阶数低于分母多项式
的阶数是
)(lim zX
z ?? 存在的条件。如果分子多项式的阶数高于
分母多项式的阶数,则
)(lim zX
z ??
不存在,或者说
)( nx
不存在初
值。
31
10,终值定理,
若 x （ n ）是因果序列,x （ z ）的极点除了在 z=1
允 许 有 一 阶 极 点 外, 其 余 极 点 均 在 单 位 园 内 。
)()1(lim)(lim
1
zxznx
zn
??
???
讨论, 极点的位置与信号特性的关系。
在 z=1 处的极点,
1:.,,,,,,,
1
1
)(
1
?
?
?
?
ZR O C
Z
nu
有终值极点在单位圆内
终值不存在极点在单位圆外
有终值处极点在单位圆
,.,,,1.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
,.,,1.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
,1.,,1.,,,,,,,
)(1
1
)(
0
0
0
1
0
0
?
?
??
?
?
?
Z
Z
Z
Z
Z
nuZ
n
32
极点分布对 x(n)的影响
]Im [zj
p258
33
作业,7.1 a,c,e,g
7.2
34
4,4 常用信号的 z 变换
目的在于利用 z 变换的性质从简单信号的 z 变换导出常用信号的
z 变换对。
1.
)()( mnnx ?? ?
1)( ?n??
RO C,整个 z 平面
m
zmn ??? )(?
RO C,整个 z 平面,
当 m >0 时包括
??z
不含 Z =0
当 m <0 包括 z=0,不含
??z
35
2,
)1()( ???? nunx
1
1
1
)(
?
?
?
z
nu
1?z
1
1
1
)1(
?
?
?
??
z
z
nu
1?z
z
z
nu
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???
1
)1(
1
1
1
?
?
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z
,1?z
1
1
1
)1()(
?
?
??????
z
nunx
,1?z
36
3,)()( nuanx
n
? )()(
a
zXnxa n ?
1
1
1
)(
?
?
?
z
nu 1?z
11
1
)(
?
?
?
az
nxa
n
az ?
)()1()(.4 nunnx n ????
)1()1()(.5 2 ??? nunnx
37
4, 5z 反变换
一,z 反变换,
x （ n ）的 z 变换就是对
nrnx ?)(
作 D T FF,由 D T FF 的反变换有,
?
?
?
?
?
dereXrnx
njjn
?
?
?
2
)(
2
1
)(
?
?
?
?
?
drereXnx
njj
)()(
2
1
)(
2
?
?
?j
reZ ?
dzz
j
d
1
1
?
??
dzzzX
j
nx
n
c
1
)(
2
1
)(
?
?
?
?
( 当
?
从 0 － 2
?
变化时,z 沿半径为 r 的圆一周 )
z 反变换表明，信号可以在 z 域分解为复指数信号的线性组合，这些
复指数分量分布在一个圆圈上。
38
二, 反变换的求法,
1,幂级数展开法（长除法）
?
?
???
?
?
n
n
znxzx )()(
??? ?????????
??? n
znxzxzxxzx )()2()1()0()1(
21
可见要将 x （ z ）展开成 z 的幂级数（罗朗级数）其通项的系数即为
x （ n ），每一项的系数都对应 x （ n ）的一个点。
对有理函数的 x （ z ）在展开成幂函数时可通过长除实现。
? ? 当 x （ n ）是因果序列时，展开式中包含无数多 z 的负幂项,∴应
按降幂长除。
? ? 反因果序列时，展开式中包含无数多 z 的正幂项,∴按升幂长除
? ? 当 x （ n ）是双边序列时，将其按 R O C 分为两部分，分别按降幂
和升幂长除。
)(zX
39
例 1,
1
1
2
1
1
2
1
1
)(
?
?
?
?
?
z
z
zx,
2
1
?z 按降幂长除
321
3
32
2
21
1
1
11
4
1
2
1
1
4
1
.,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
4
1
2
1
...,,,,,,,,,
2
1
...,,,,,,,,,
2
1
.,,,
.,,,,
2
1
1
2
1
1
2
1
1
???
?
??
?
??
?
?
??
???
?
?
?
??
zzz
z
zz
z
zz
z
z
zz
)()1()
2
1
()(
1
nnunx
n
?????
?
)(zX
40
? ? 例 2,
1
1
3
1
1
)(
?
?
?
?
z
z
zx
3
1
?z 按升幂长除
?
?
????
?
?
?
??
?
??
2
2
1
11
2793
279.,,,.,,,,,,,,,
9.,,,.,,,,,,,,,
93.,,,,,,,,
3.,,,,,,,,
3
1
3
1
zz
zz
z
z
z
zz ????
? nn
znu )()
3
1
(3
)()
3
1
()()
3
1
(3)(
1
nununx
nn
??????
?
按升幂重新排列
)(zX
41
例 3,
21
1
6
1
6
5
1
2
1
1
)(
??
?
??
?
?
zz
z
zx,
2
1
3
1
?? z
11
3
1
1
5
2
1
1
6
??
?
?
?
?
zz
对前一次按升幂长除，后一项按降
幂长除。
2
1
?z,
3
1
?z
?????
?
?
?
??
?
32
3
32
2
2
1
482412
48.,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
4824.,,.,,,,,,,,,
24.,,,.,,,,,,,,,
2412.,,,,
12.,,,,
126
61
2
1
zzz
z
zz
z
zz
z
z
z ?????
? nn
znu )1()
2
1
(6
)(zX
42
21
2
21
1
1
1
9
5
3
5
5
9
5
.,,,,,.,,,,,,,,,
9
5
3
5
.,,,,
3
5
.,,,,
3
5
5
5
3
1
1
??
?
??
?
?
?
??
?
?
?
zz
z
zz
z
z
z
)()
3
1
(5 nu
n
)()
3
1
(5)1()
2
1
(6)( nununx
nn
?????
长除法的优点是简单，缺点是通项不易求得，尤其是
)( zX
较
复杂时。
