1 代数结构 Algebraic Structure 代数系统半群与独异点群 环与域格与布尔代数 2 第十五章代数系统 代数系统的构成 成分：载体及运算 公理：运算性质 积代数 商代数 子集 等价关系 子代数 新代数系统 同 类 型 的 同 种 的 代数系统的 同态与同构 代数系统间关系 Σ代数 推广 分类 半群与群环域格与布尔代数 映射 笛卡尔积 产 生 3 15.1二元运算及其性质 ?n元运算的定义及实例 ?n元运算的表示 ?二元运算的算律 ?二元运算的特异元素 4 n元运算的定义 定义设A为集合，函数f:A×A→A称为A上的二 元运算 定义设A为集合，函数f:A n →A称为A上的n元 运算 n=0, 0元运算，f:→A n=1, 一元运算，f:A→A 封闭性： 任何A中元素都可参与运算 运算结果属于A 5 n元运算的实例 集合二元运算一元运算0元运算 Z ,Q, R, C +, ×?0, 1 M n (R) +, ×?θ, E P(B) ∪,∩,?,⊕～ ?, B R(B) ° I B A A ° I A R(B): B上的关系集合 6 n元运算的表示 算符记号：°，?，?，□，?，△等， 表达式： ° (x 1 , x 2 , …, x n ) = y x 1 ° x 2 = y △x = y 表示方法： 解析表达式 运算表（适用于有穷集） 7 ? {a} {b} {a,b} {a} ? {a,b} {b} {b} {a,b} ? {a} {a,b} {b} {a} ? ? {a} {b} {a,b} ? {a} {b} {a,b} ⊕ {a,b} {b} {a} ? ? {a} {b} {a,b} ～xx n元运算的表示实例 ?表达式：°是实数集R上的二元运算 x°y = x+y?2xy ?运算表 A=P({a,b}), A上的二元运算⊕，一元运算～ 8 a 1 °a 1 a 1 °a 2 … a 1 °a n a 2 °a 1 a 2 °a 2 … a 2 °a n …… a n °a 1 a n °a 2 … a n °a n a 1 a 2 a n a 1 a 2 … a n ° ?a 1 ?a 2 ?a n a 1 a 2 a n ?a i a i 运算表的一般形式（用于有穷集） 9 二元运算的算律 ?涉及一个二元运算的算律 交换 结合——广义结合 幂等 消去 ?涉及两个不同的二元运算 分配——广义分配 吸收（以交换为前提） 10 算律的定义 设°,*为A上的二元运算 交换律?a,b∈A, a°b=b°a 结合律?a,b,c∈A, (a°b)°c=a°(b°c) 幂等律?a∈A, a°a=a 分配律?a,b,c∈A, a°(b*c)=(a°b)*(a°c) (b*c)°a=(b°a)*(c°a) 吸收律设°,?可交换?a,b∈A, a°(a*b)=a，a*(a°b)=a 推广：结合律、幂等律、分配律推广到有限项 11 实例：交换、结合、幂等律 无有有 普通乘法× 无有无 矩阵乘法× 无有有 对称差⊕ 无无无 相对补? 有有有 交∩ 无有无 函数复合° A A 有有有 并∪P(B) 无有有矩阵加法+ M n (R) 无有有普通加法+ Z,Q,R 幂等律结合律交换律运算集合 12 实例：分配、吸收律 无 ∩对⊕可分配交∩与对称差⊕ 有 ∪对∩可分配 ∩对∪可分配 并∪与交∩P(B) 无 ×对+可分配 +对×不分配 矩阵加法+与乘法×M n (R) 无 ×对+可分配 +对×不分配 普通加法+与乘法×Z,Q,R 吸收律分配律运算集合 13 二元运算的特异元素 ?特异元素名称 单位元（幺元）e 零元θ 幂等元 可逆元和逆元 ?说明：特异元素也可以作为算律 同一律（存在单位元） 零律（存在零元） 14 特异元素的定义与性质 定义设°为A上二元运算 单位元e, ?a∈A, e°a=a°e=a 零元θ, ?a∈A, θ°a=a°θ=θ 幂等元aa∈A, a°a=a 可逆元x (逆元y) x∈A, ?y∈A, x°y=y°x=e 特异元素的性质 单位元以及零元的唯一性 如果|A|>1, e ≠θ 可结合运算逆元唯一性：x 的逆元标记为x -1 . 15 定理证明 定理1对于给定集合A 和A上的二元运算°，如果存在 e l ∈A和e r ∈A使得?x∈A满足 e l °x = x °e r = x, 则e l = e r = e, 且e 就是A中关于°运算的唯一的单位元. 证e l = e l °e r = e r , 令e l = e r = e, 则e为单位元. 假设e’也为单位元，则e’= e’° e = e 定理2 对于给定集合A和A上的二元运算°，如果存在 θ l ∈A和θ r ∈A使得?x∈A满足 θ l °x = θ l ，x°θ r = θ r , 则θ l = θ r = θ, 且θ就是A中关于°运算的唯一的零元. 16 定理证明（续） 定理3对于集合A 和A 上可结合的二元运算°, 如果 对于A 中元素x, 存在元素y l 和y r 使得 y l °x = x°y r = e, 则y l = y r = y, 且y 是x 的唯一的逆元. 证y l = y l °e = y l °(x°y r ) = (y l °x)°y r = e°y r = y r 令y l = y r = y, y 是x 的逆元. 假设y’也是x 的逆元，则 y’= y’°e = y’°(x°y) = (y’°x)°y = e°y = y 17 实例：单位元、零元、可逆元 X的逆元为X 无 ?对称差⊕ B的逆元为B?B交∩ X的逆元X ?1 全0矩阵 单位矩阵 矩阵乘法× x的逆元x ?1 01普通乘法× ?的逆元为?B?并∪P(B) X逆元?X 无 全0矩阵矩阵加法+M n (R) x的逆元?x 无 0普通加法+Z,Q,R 逆元零元单位元运算集合 注意：只有可逆元x 存在逆元，且x -1 必须属于给定集合 18 定义设A为集合，°为A上二元运算，若?a,b,c∈A, a°b=a°c ∧ a≠θ? b=c b°a=c°a ∧ a≠θ? b=c 则称°运算满足消去律 实例： Z, Q, R，+，×满足消去律 M n (R),矩阵+满足消去律，矩阵×不满足消去律 P(B), ⊕满足消去律，∪、∩、?不满足消去律 A A ,°不满足消去律 消去律定义及实例 19 例题分析 解（1）°运算可交换，可结合，可消去，不幂等. 证明算律成立：定义验证；证明算律不成立：举反例. 结合律成立，任取x, y, z∈Q, (x ° y) ° z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x °(y ° z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz 幂等律不成立，因为1 °1=1+1+2=4 ≠1 . 例1设°运算为Q 上的二元运算， ?x, y∈Q, x°y = x+y+2xy, （1）判断°运算是否满足交换、结合、幂等、消去律. （2）求出°运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元. 20 （2）设°运算的单位元和零元分别为e 和θ，则对于任 意x 有x ° e = x 成立，即 x+e+2xe = x ? e = 0 由于°运算可交换，所以0 是幺元. 例题分析（续） 对于任意x 有x°θ = θ成立，即 x+θ+2 x θ = θ? x + 2 x θ = 0 ?θ = ?1/2 给定x，设x 的逆元为y, 则有x ° y = 0 成立，即 x+y+2xy = 0 ? (x ≠ = ?1/2) 因此当x ≠?1/2时，是x的逆元. x x y 21+ ?= x x y 21+ ?= 21 例题分析（续） 例2下面是三个运算表 （1）说明那些运算是可交换的、可结合的、幂等的. （2）求出每个运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元. abc bcc ccc a b c aaa bbb ccc a b c cab abc bca a b c abc ● abcοabc? （2）?的单位元为b, 没有零元，a ?1 =c, b ?1 =b, c ?1 =a ο的单位元和零元都不存在，没有可逆元素. ●的单位元为a，零元为c, a ?1 =a. b, c不是可逆元素. 解 （1）?满足交换律、结合律；ο满足结合律、幂等律； ●满足交换律、结合律. 22 第二节代数系统 ?代数系统的定义 构成成分、公理 ?代数系统的分类 同类型的代数系统 同种的代数系统 ?构造代数系统的方法 子代数 积代数 23 记法一V = <A, ?, K>, A：载体，非空?：运算集，非空， K：代数常数集，??K?A 记法二V = <A, ?>, 其中 记法三V = <A, o 1 , o 2 , …, o r > 代数系统的构成：成分+公理 , 0 U ∞ = = j j ?? ? j ={o j | o j 为A上的k j 元运算} 代数系统的构成 , 1 U ∞ = = j j ?? ? j ={o j | o j 为A上的k j 元运算} 24 代数系统的实例 <Z, +, ?>, <Q, + , ?>, <R, + , ?> <M n (R), +, ?>, <P(B), ∩, ∪>, <{0,1}, ∧, ∨>, <Z n , ⊕, ?>, Z n = {0, 1, … , n-1}， x ⊕ y = (x+y) mod n x ? y = (xy) mod n <A A , °> 25 代数系统的分类 同类型的：构成成分相同 同种的：构成成分与公理都相同 构成成份：运算个数，对应运算的元数 公理：交换、结合，幂等，吸收，分配，消去 单位元e, 每个元素可逆 <A,°,*>：*可结合；*对°可分配 <Z,+,?>, <Z n ,⊕,?>, <M n (R),+,?> 与<A,°,*> 是同种的 <S,°’,*’>: 可交换、结合、幂等；°’, *’相互分配、吸收 <P(B),∩,∪>, <{0,1},∧,∨> 与<S,°’,*’> 是同种的 <A,°,*>与<S,°’,*’> 同类型的 26 子代数 定义设V=<A,o 1 ,o 2 ,…,o r >是代数系统，B是A的非空子集. 若B对于V中的所有运算封闭（含0元运算在内），则称 V’=<B,o 1 ,o 2 ,…,o r >为V的子代数，若B?A,子代数V’称为V 的真子代数. 平凡子代数：V是V的平凡子代数. 除此之外，若V=<A, o 1 ,o 2 ,…,o r >的代数常数集合为K，且K对V上所有的运算封 闭，那么<K,o 1 ,o 2 ,…,o r >也为V的平凡的子代数. 说明： 若公理是二元运算性质，子代数与原代数是同种的 子代数一定存在（至少存在平凡子代数） 27 实例 例1 V=<Z,+,0>， 公理：+满足结合律，每个元素可逆 子代数为：nZ, n∈N， n=0 平凡的真子代数 n=1 平凡子代数 n>1 非平凡的真子代数 V=<Z,+> 公理：+满足结合律 子代数为：nZ（n∈N），N, Z + 等. 28 定理1设V 1 =<A,o 11 ,o 12 ,…,o 1r >与V 2 =<B,o 21 ,o 22 ,…,o 2r >是同 类型的代数系统，V 1 与V 2 的积代数是 V 1 ×V 2 =<A×B,o 1 ,o 2 , …, o r >， (1) 若o 1i ,o 2i 分别在V 1 与V 2 中可交换（可结合或幂等）,则o i 在V中也可交换（可结合或幂等）； (2) 若o 1i 对o 1j , o 2i 对o 2j 在V 1 与V 2 中分别适合分配律，则o i 对 o j 在V中也适合分配律； (3) 若o 1i , o 1j 与o 2i ,o 2j 在V 1 与V 2 中分别适合吸收律，则o i 与o j 在V中也适合吸收律； 积代数的性质 29 (4) 若e 1i （θ 1i ），e 2i （θ 2i ）分别为V 1 与V 2 中关于o 1i 和o 2i 运算的单位元（零元），则<e 1i ,e 2i >（<θ 1i ,θ 2i >）为V中 关于o i 运算的单位元（零元） (5) 若o 1i 和o 2i 分别为V 1 与V 2 中含单位元的运算，a∈A, b∈B分别关于o 1i 和o 2i 运算存在逆元a -1 和b -1 , 则 <a -1 ,b -1 > 是V 中<a, b>关于o i 运算的逆元 积代数的性质（定理续） 30 积代数 定义设V 1 =<A,o 11 ,o 12 ,…,o 1r >与V 2 =<B,o 21 ,o 22 , … , o 2r >是同 类型的代数系统，对于i=1,2,…,r, o 1i 和o 2i 是k i 元运算， V 1 与V 2 的积代数是 V 1 ×V 2 =<A×B,o 1 ,o 2 , …, o r > 其中o i 是k i 元运算，i=1, 2, …, r, 对于任意的<x 1 ,y 1 >, <x 2 ,y 2 >, …, ∈A×B, V是V 1 与V 2 的积代数，也称V 1 和V 2 是V的因子代数. >< ii kk yx , >=<><>< ),...,(),,...,(),,...,( 121111 iiii kikikki yyoxxoyxyxo 31 小结 (1)积代数能够保持因子代数的如下性质： 算律：交换律, 结合律, 幂等律, 分配律, 吸收律 特异元素：单位元, 零元, 幂等元, 可逆元素及其逆元 消去律不一定能够保持，反例： V 1 =<Z 2 ,?>,V 2 =<Z 3 ,?> (2)积代数与因子代数是同类型的 系统公理不含消去律，积代数与因子代数同种； 系统公理含消去律，不保证积代数与因子代数同种. (3)积代数可以推广到有限多个同类型的代数系统 (4) 直积分解是研究代数结构的有效手段 (5)笛卡尔积是构造同种离散结构的有效手段 积代数的性质（定理续） 32 作业 ?复习要点： ?代数系统的构成要素 ?如何判断运算的封闭性 ?如何判断二元运算的性质及其特异元素 ?子代数与积代数的构成及其性质 ?书面作业 习题十五，4，11，12，14，15