1 17.4 变换群与置换群 ?变换群 ?变换群的定义 ?变换群的实例 ? n元置换群 ?置换的表示 ?置换的乘法和求逆运算 ?置换群中元素的阶与子群 ?置换群的实例 2 变换群 变换群的定义 A上的变换： f:A→A A上的一一变换： 双射f:A→A A上的一一变换群：E(A)={ f | f:A→A为双射} 关于变换乘法构成群 A上的变换群G： G?E(A) 实例 G为群，a∈G，令f a :G→G, f a (x)=ax，则f a 为一一变换. H={ f a | a∈G}关于变换乘法构成G上的变换群. H≤ E(G) 3 例如 G={ e, a, b, c }， f e ={<e,e>,<a,a>,<b,b>,<c,c>} f a ={<e,a>,<a,e>,<b,c>,<c,b>} f b ={<e,b>,<a,c>,<b,e>,<c,a>} f c ={<e,c>,<a,b>,<b,a>,<c,e>} H={ f e , f a , f b , f c } 思考：怎样证明H同构于G 与独异点的表示定理进行比较 变换群的实例 4 A上的n元置换：|A| = n时A上的一一变换 表示法 (1) 置换的表示法：令A={ 1, 2, …, n }, ? ? ? ? ? ? ? ? = )(...)2()1( ...21 n n σσσ σ (2) 不交轮换的分解式：σ = τ 1 τ 2 …τ t , 其中 τ 1, τ 2 , …,τ t 为不交轮换 (3) 对换分解式： 对换 ( i j ) =( j i ) (i 1 i 2 …i k ) = (i 1 i k ) (i 1 i k-1 ) … (i 1 i 2 ) n元置换群 5 定理1 任何n元置换都可以表成不交的轮换之积， 并且表法是唯一的. 即： σ=σ 1 σ 2 …σ t , σ=τ 1 τ 2 …τ l ? {σ 1 ,σ 2 ,…,σ t }={τ 1 ,τ 2 ,…,τ l } 证明思路 (1) σ可以表成不交的轮换之积. 归纳证明. (2) 唯一性. 假设 σ=σ 1 σ 2 …σ t , σ=τ 1 τ 2 …τ l . 令 X={σ 1, σ 2, …,σ t }, Y={τ 1, τ 2, …,τ l } 任取σ j ∈X, σ j =(i 1 i 2 …i m ), m>1, 证明?τ s ∈Y使得σ j =τ s ， 从而X?Y. 同理Y?X. n元置换的轮换表示 6 轮换指数： )()()( ...21 21 σσσ n CCC n，C k (σ): k-轮换的个数 例如 )84()751( 41678325 87654321 = ? ? ? ? ? ? ? ? 指数为 1 3 2 1 3 1 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 = 1 3 2 1 3 1 不同指数的个数是如下方程的非负整数解的个数 x 1 + 2x 2 + … + nx n = n 例如： A={1,2,3}上的置换 (1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2) 轮换指数为 1 3 ：σ 1 ； 1 1 2 1 ：σ 2 ,σ 3 ,σ 4 ； 3 1 ：σ 5 ,σ 6 n元置换的轮换指数 7 任意轮换都可以表成对换之积 对换可以有交 表法不唯一，但是对换个数的奇偶性不变 )48)(17)(57()48)(15)(17()84()751( 41678325 87654321 === ? ? ? ? ? ? ? ? 奇置换、偶置换 奇置换：表成奇数个对换之积 偶置换：表成偶数个对换之积 奇置换与偶置换之间存在一一对应，因此各有n!/2个 n元置换的对换表示 8 置换的乘法：函数的合成 例如：8元置换σ=(132)(5648)，τ=(18246573), 则 στ=(15728)(3)(4)(6)=(15728) 置换求逆：求反函数 σ=(132)(5648)，σ ?1 =(8465)(231), 令S n 为{1,2,…,n}上所有n元置换的集合. S n 关于置换乘法构成群，称为n元对称群. S n 的子群称为n元置换群. 例 3元对称群S 3 ={(1),(12),(13),(23),(123),(132)} 3元交代群A 3 ={(1),(123),(132)} 置换的乘法与求逆 9 元素的阶 k阶轮换(i 1 i 2 …i k ) 的阶为k σ=τ 1 τ 2 …τ l 是不交轮换的分解式，则 |σ|=[|τ 1 |,|τ 2 |,…,|τ l |] 子群 {(1)}, S n ，n元交代群A n 例如 S 3 子群6个 <(1)>, S 3 , <(12)>, <(13)>, <(23)>, A 3 =<(123)> 置换群中元素的阶与子群 10 Cayley定理 每个群G都与一个变换群同构. 推论 每个有限群都与一个置换群同构 D 4 ，4×4的方格图形，在空间旋转、翻转. D 4 ={ (1), (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (14)(23), (13)(2)(4), (24)(1)(3) } D 4 ≤ S 4 置换群的实例 11 17.5 群的分解 ?陪集及其性质 ?Lagrange定理 ?Lagrange定理的应用 ?共轭关系与共轭类 ?群的分类方程 12 陪集定义 G为群，H≤G, a∈G, 右陪集 Ha = { ha | h∈H } Ha中的a称为该陪集的代表元素 实例： S 3 , H={ (1), (12) } H(1)=H(12) H(13)=H(132)={(13),(132)} H(23)=H(123)={(23),(123)} 陪集定义及其实例 13 定理 G为群，H是G的子群，则 (1) He=H； (2) a∈Ha； (3) Ha≈H； (4) a∈Hb ? Ha=Hb ? ab ?1 ∈H (5) 在G上定义二元关系R, aRb?ab ?1 ∈H，则R为 等价关系，且[a] R =Ha (6) a,b∈G, Ha∩Hb=? 或Ha=Hb，∪Ha=G 说明 定义左陪集 aH={ ah | h∈H } 性质类似 a∈bH ? aH=bH ? a ?1 b∈H 陪集的性质 14 陪集性质的证明 (4) a∈Hb ? Ha=Hb 证 必要性. a∈Hb ? a=h’b ? b=h’ ?1 a ha∈Ha ? ha=hh’b∈Hb hb∈Hb ? hb=hh’ ?1 a∈Ha (5) Ha=[a] 证 b∈[a] ? aRb ? ab ?1 ∈H ? Ha=Hb ? b∈Ha 15 引理 H的左陪集和右陪集数相等 f: T→S, f(Ha)=a ?1 H, T, S分别为右和左陪集的集合 f的良定义性与单射性： Ha=Hb ? ab ?1 ∈H ? (a ?1 ) ?1 b ?1 ∈H ? a ?1 H=b ?1 H ? f(Ha)=f(Hb) H在G中的指数[G:H] H在G中的右（或者左）陪集数 Lagrange定理的引理 16 Lagrange定理及其推论 lagrange定理： |G| = |H| [G:H] 证明：令G的不同的陪集为Ha 1 , Ha 2 , …, Ha r , |G| = |Ha 1 |+|Ha 2 |+…+|Ha r | = |H| r = |H| [G:H] 说明：适用于有限群，逆不一定为真. 推论 (1) 群的元素的阶是群的阶的因子. 证明：构造子群 <a>，|<a>| = |a|. (2) 素数阶群一定是循环群. 证明：|G| = p, p>1, 存在非单位元a, |a| 的阶是p的因子，只能是 |a| = p. 故G=<a>. 17 例1 6阶群必含3 阶元. Lagrange定理的应用 证若存在a，|a|=6, 则a 2 为3 阶元. 假若没有6 阶元. 如果没有3阶元，则?a∈G, a 2 = e, 则G为Abel群，{ a, b, ab, e }为子群， 与Lagrange 定理矛盾. 18 Lagrange定理的应用（续） 例2 6阶群在同构意义上只有2个. 证明思路： 若G含6 阶元，是循环群. 若不含6 阶元，则含3 阶元a, 取c?{ e, a, a 2 }, 则c, ac, a 2 c两两不等（消去律） 可以证明G = {e, a, a 2 , c, ac, a 2 c} 同构于S 3 . 推广 10 阶群只有2个，2p阶群只有2个. 4 阶群只有2个：循环群和Klein四元群. 19 共轭关系与共轭类 定义 设G为群，定义G上二元关系R， aRb ? ?x(x∈G, b=x ?1 ax) 称R为G上的共轭关系 可以证明共轭关系是G上等价关系，等价类为共轭类 共轭类的性质： a∈C ? ā={a} |ā|=[G:N(a)], 其中 N(a)={ x | x∈G, xa=ax } 证明见教材 20 群的分类方程 G为群，C为中心，G中至少含两个元素的 共轭类有k个，a 1 , a 2 , ..., a k 为代表元素，则 |G| = |C| + [G:N(a 1 )] + [G:N(a 2 )] + … + [G:N(a k )] 证明：|C|=l, C={ a k+1 , a k+2 , …,a k+l } ||)](:[...)](:[)](:[|| }{...}{}{... 21 2121 CaNGaNGaNGG aaaaaaG k lkkkk ++++= ∪∪∪∪∪∪∪= +++ 注：N(a i )< G, 群的分类方程 21 例3 |G|=p s , p为素数，则p| |C|. 证明 |G| = |C|+[G:N(a 1 )]+[G:N(a 2 )]+…+[G:N(a k )] 对于i = 1, 2, …, k, [G:N(a i )]是|G|的因子，|G| = p s , [G:N(a i )] = p t 或者 [G:N(a i )] = 1 [G:N(a i )] = 1 ? ā i = {a i } ? a i ∈C，矛盾 p | [G:N(a i )] ? p | |C| 群分类方程的应用 22 作业 ?复习要点 陪集定义 陪集有哪些性质？ Lagrange定理及其推论的内容 Lagrange定理的应用 与共轭关系相关的有哪些结果？ 了解群分类方程 ?书面作业： 习题十七，30, 31, 32, 40.