1 ?l ! {a n }1? ? ∑ ∞ = = 0n n ne n x axG ! )( 1 {a n }¥ · ? 3?f ? . è 1 ó??? ? m, a n = P(m,n), {a n }¥· ? 3?f ?1 ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = += ? ? ? ? ? ? ? ? = ? == 00 0 )1( )!(! ! ! ),()( nn n mnn n e xx n m x nmn m n x nmPxG è 2 b n =1, 5 { b n }¥· ? 3?f ?1 ∑ ∞ = == 0 ! )( n x n e e n x xG 22.5· ? 3?f ? 2 ! ?  {a n },{b n }¥· ? 3?f ?sY1 A e (x)? B e (x), 5 ! )()( 0 n x cxBxA n n nee ∑ ∞ = =? , ? ∑ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = n k knkn ba k n c 0 £ ∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑ ∞ == ? ∞ == ? ∞ == ? ∞ = ∞ = ∞ = ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ?= ? ?= ?=?= 00 0000 000 ! )!( ! !!)!(! ) ! () ! ()()( ! n n k knk n n n k knk n n n k knk n l l l k k kee n n n ba k n n x kn bn k a n x kn b k a x l x b k x axBxA n x c · ? 3?f ?¥?é 3 ! S={ n 1 ?a 1 , n 2 ?a 2 , … , n k ?a k }1×" 5 S¥ r ?  ? { a r }¥· ? 3?f ?1 ki n xx xxf xfxfxfxG i n n nnne i i k ,...,2,1 ! ... !2 1)( )(...)()()( 2 21 =++++= = ?¨ -×" ? 9 ? 4 I3· ? 3?f ?Z 7 T? x r ¥[ ! ... !! 21 21 k mmm m x m x m x k  ? m 1 + m 2 + … + m k = r 0 ≤ m i ≤ n i , i = 1, 2, … , k  * ' !...!! ! !!...! 21!21 ... 21 k r k mmm mmm r r x mmm x k = +++  a r = ∑ !...!! ! 21 k mmm r ? p? ^ ?@Z? *¥B Mdμ? ?3 ? p . B?dμ? ?3?  { m 1 ?a 1 , m 2 ?a 2 , … , m k ?a k }' S¥ rF? 7?F?¥ ? ?  ? ^ !...!! ! 21 k mmm r yN a r }V  S¥ r ?  ? . £ ü 5 è 3 ? 1,2,3,4F?¥?ê ??1 p 1C??V 2Q?? ??C 2C??V 1Q 3C Vr 3Q 4C } ?Q . p?"¥?ê ?? ? . 3 ... !5 215 !4 64 !3 18 !2 5 ) !4!2 1)( !3!2 1)(1)( !2 ()( 5432 42322 +++++= +++++++= xxxx x xxxx xx x xxG e N = 215 L è 6 è 4 £aaa §p ? 1×n¥Zì1 p } ??1a ? ùμ Z?$ 3 !Z? ?1 a n 2 13 !2 13 !2 1 ! 3 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 ...) !2 1...)( !2 1()( 000 32 2 22 + = + =+= +=+= +++++= ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ? n n n nn nn nn n xxxxx e a n x n x n x eeeee x x x xG ?¨ 3?f ? pE 7 3E 2 ?wZ? a n = 2a n-1 + (3 n-1 ? a n-1 ) a 1 = 2 a n = a n-1 + 3 n-1 a * n = P3 n-1 , 3¤ P = 3/2, a * n = 3 n /2 Y3 a n = C + 3 n /2 } ?′¤ C = 1/2 31 a n = (3 n +1)/2 ?wZ?¥ pE 8 22.6ú)9 ? ?ú)9 ? ? Catalan ? ??B ? Stirling ? ??= ? Stirling ? ?) ?1? ??l ??wZ? ??? T ??¥F?ù5 ? 3?f ? 9 Catalan ??l ?l B?j n+1 H?YV?M?? n+1H? = ?¥?Lü n +1H?·s?¥ ???? ?: T h n ?1 Catalan ? . L è h 2 =1, h 3 =2, h 4 =5 10 I n n+1HH¥H? ? A 1 , A n+1 ¥H:1 a, [ A k+1  k=1, 2,…, n-1 A 1 1H A n+1 A k+1 1 6B H? ??? T, T |H??s? R 1 ? R 2 ? ?ssY1 k+1H?? n-k+1H? . 1 2, 1 1 1 = ≥= ∑ ? = ? h nhhh n k knkn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 22 1 n n n h n ?wZ? 11  2 411 )( x xH ?? = ?¥F?ù5  1V (0,0)? (n,n)¥"  ?[??¤(?L¥d? ^ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 22 2 n n n  2 a 1 × a 2 × … × a n , ??My0 ¨?F ?|¥ZE ? h n  3 n ? ?=¥μ? ?? ?? ?  4 2n?? ( s??? ¨ nH?M?¥? ¥¥ ZE ? 3?f ?#?¥F?ù5 12 1, 2, … , nb ?\a¥?]¥ {? ? s 1 1é\ 2 k? ? 2, … , k+1 ?ié\i O\ 3 1\ 4) ? k+2, … , n¥é\ù5 ? 20ù5?  k ? 40ù5?  n-k-1 ? ? ? ? ? = ??= ∑ ? = 1)1( )1()()( 1 0 T knTkTnT n k ?¨ —\¥ {9 ? 13 ∑ ∑ ∑∑∑∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ? ? = ∞ = ? ∞ = ∞ = ∞ = ? = ? ? ? ? ? ? ? ? + = ??== ?±=?=+? ? == ??== = ? ? ? ? ? == ??= 0 2 1 1 1 01 1 00 2 0 1 0 2 1 1 4112000 411201 1 1 1110 1 n n n n n kn n l l k k n n n k x n n n xG xxxGG xxxGxGxxG x xG xnT knTkTxxlTxkTXG xnTxG TT knTkTnT )( )(,)( ,)()()( )( )( ))()(())(())(()( ,)()( )(,)( )()()( ?? \¥ {? ? ? 14 ?l [ T x(x-1)(x-2)…(x-n+1)¥Z 7 T1 S n x n ? S n-1 x n-1 + S n-2 x n-2 ? … + (-1) n-1 S 1 x | x r ¥" ?¥ '′ S r :T , ?1 ?B ? Stirling ? L è n=2 x(x-1)=x 2 -x n=3, x(x-1)(x-2)=x 3 -3x 2 +2x 1 3 3 ,3 2 3 ,2 1 3 ,0 0 3 1 2 2 ,1 1 2 ,0 0 2 = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ?B ? Stirlin ? ? ? ? ? ? ? r n 15 )!1( 1 ,0 0 1 1 11 )1( ?= ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ≥> ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? n nn rn r n r n n r n ()1... 2 1 1 1 )1)(2)...(1( ... 2 1 1 1 )2)...(1( 21 21 +? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = +?+?? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =+?? ?? ?? nxx n n x n n nxnxxx x n n x n n nxxx nn nn  ? x r ¥" ? ? ? ? ? ? ? r n  n? ? ? ? ? ? ? ? r n 1 + ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 r n . ?wZ? 16 ?w ??? 17 3?f ? x(x+1)(x+2)…(x+n-1) ?? T  ∑ = = ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? n r n r n nn n n n n n 1 !)3( 2 )1( 21 )2( ,1)1(  £ x¥ nQZ" ?1 1 x¥ n-1QZ" ?1 1 + 2 + … + n-1 = n(n-1)/2 ?? T# 3?f ? 18 n í? ? S n V U T? μ r??? }D¥?D? ? ^ ? ? ? ? ? ? r n £ ü !?"¥?D1 r n ?¤????D¥ZEμ ? V S n-1 ¥c r-1? }D¥?D?F ? (n)ZEμ 1 1 ? ? r n ? V S n-1 ¥cμ r? }D¥?D?F ? n, F ?¥ZEμ n-1? )!1( 1 ,0 0 1 11 )1( ?== ? ? + ? ?= n nn r n r n n r n (3) T¥£ ü 19 ?l  n??]¥ o zb? r?M]¥?0 ú¥ ZE ??1 ?= ? Stirling ? :T ? ? ? ? ? ? r n L è a,b,c | d a,c,d | b a,b,d | c b,c,d | a a,b | c,d a,c | b,d a,d | b,c ?= ? Stirling ? 7 2 4 = ? ? ? ? ? ? 20 1 1 ,0 0 1 11 = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? nn r n r n r r n £ ü | o a 1  a 1 ??bB??0 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 r n a 1 ???bB??0 ? ? ? ? ? ? ? r n r 1 5b n-1? o? r??0 ú? ? a 1 μ r?ZE ?wZ? 21 ∑ ∑ ∑ = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =+++ ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? n i m k n m m n r i i n r n mk k n k m nnnn m n m nnn n n n n n n n 0 1 21 21 1 1 1 6 5 4 13 21 2 12 2 1 )( !)( ... ,! ... )( )( )( )( ¥?? ?3 p? ?@ ?? T 22 £ ü  1 12 2 1 ?= ? ? ? ? ? ? ?n n a 1 5bB??0 ú :/¥ n-1? o ??μ 2?ê4 ? ^ ? ? ? a 1 ¥?0¥ZE???1 ph ? .  2 ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? 21 n n n n ? ob? n-1??0AμB??0c 2? o ? ???0 1? o .ê4 ? oμ C(n,2)?ZE . ?? T£ ü 23  4 ¥?? ?3 p? ?@ nnnn m n m nnn n m m =+++ ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ∑ ... ,! ... 21 21 ? n??]¥ o zb? m??]?0¥ZE ? í b?  5 ∑ = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m k n mk k n k m 1 ! ?vc o¥?0 ?s ??  ?i b?¥ZE  6 ∑ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? + n k r k k n r n 0 1 1 à n??]¥ ob? r-1?M]¥?0?i b?¥ZE ?v o ?s ? ?? T£ ü ? 24 í ?· ? 3?f ? ¥?? ?3 p? Z? ? p? ^B M ?@ nnnn m n m nnn n nnn n a n x a x xe m m m n n n n mmx =+++ ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = = =++=? ∑ ∑ ∑ ∞ = ... ,! ... !...! ! ! ...) !2 ()1( 21 21 !21 0 2 3?f ? 25 n? ob? m??0 ú¥ZE ? . o S | ? S |  b ? b oZE ? ?¥F?ù5 ? ? P m (n)?P m-1 (n) | n zí?·s? m?s ? ^ P m (n) | ní?·s? t??s (t≤m) ^ ? C(n?1,m?1) x 1 +x 2 +…+x m =n¥?? ?3 ? ^ ^ C(n+m?1,n) x 1 +x 2 +…+x m =n¥dμ? ?3 ?¥F?ù5 —b o 26 ?¥F?ù5 —b o ? ? ? ? ? ? m n m! eEE5 ^ ^ ?= ? Stirling ??é ? ^ ?= ? Sirling ??é ^? ?= ? Stirling ? ?? ^ ?¥F?ù5 b oZE ?  b ? ? S | o S | ∑ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = m k n k k n k m m 1 ! ∑ = ? ? ? ? ? ? m k k n 1 ? ? ? ? ? ? m n 27  2f ?9 ? |A| = n, |B|=m9 ?2T A? B¥1" 2 mn A? B¥f ? m n A? B¥? f ? P(m,n) = m(m-1) …(m-n+1) A? B¥ ? f ? m! ? ? ? ? ? ? m n A? B¥ ? f ? m = n, P(n,n) = n! ? ? ? ? ? ? m n = n!  3 ?N1"9 ? ∑ = ? ? ? ? ? ? n m m n 1  ?F?ù5 —f ?D1"9 ? 28 l2 ? 3?f ?a· ? 3?f ?D? ¥? ? F?9 ? ? ? ê | ?# 2T ? Z?dμ? ?3¥ ?# 2T ? ? ?·s¥9 ? ?# 2T ? b o9 ? ?# 2T ? ú)9 ? ? Cantalan ?a  ? Stirling ?¥à Q#?¨ ? Cantalan ?a  ? Stirling ?¥? T ? ? ?T< 5= E= , 34