北京大学：离散数学（一）：26.9

26 x9 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a6 a10 a11 a6 a12 a13 a14 a15a16 a17 N P. N P a18 N P , a19 a18 | a20 a18 ? | a21 a22 a23 a24 a25 a23 1 x9 P( , N) , P a22 . a22 . 2 17: P a22 : : fp 0 ; p 1 ; p 2 ; g!f0; 1g (p i ) (i 2 N) p i . 3 18: P a22 , P : p i , = (p i ). (: ), = 1 . ( ! ), = maxf1 ; g. 4 (1) , 2 f0;1g. (2) (: ) ( ! ) : (: ) 0 1 1 0 ( ! ) 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 :a19 ! a18 5 _ (1) _ (: )! . (2) ( _ ) = ((: )! ) = maxf1 (: ) ; g = maxf1 (1 ); g = maxf ; g ( _ ) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 6 ^ (1) ^ :( ! : ) . (2) ( ^ ) = 1 ( ! : ) = 1 maxf1 ; (: ) g = 1 maxf1 ; 1 g = 1 (1 + maxf ; g = ( minf ; g) = minf ; g ( ^ ) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 7 $ (1) $ :(( ! ) ! :( ! )) . (2) ( $ ) = 1 (( ! ) ! :( ! )) = 1 maxf1 ( ! ) ;1 ( ! )) g = minf( ! ) ;( ! ) g = minfmaxf1 ; g;maxf1 gg = minfmaxf1; + g ; maxf1; + g g = maxf1; + g+ minf ; g = maxf1; + g maxf ; g 8 $ ( $ ) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 9 = , p 0 ; p 1 ; p 2 ; < (p 0 ); (p 1 ); (p 2 ); > . 10 34 P : (1) (p 1 _ p 2 )!p 3 , : (p i ) = 8 > < > : 0 i = 2k + 1 1 i = 2k (k a26 ). (2) p 1 !(p 2 !(p 1 ^ p 2 )), . 11 34(1) (1) (p 1 _ p 2 )!p 3 : (p 1 _ p 2 ) = maxf1 (:p 1 ) ; p 2 g = maxf1 (1 p 1 ); p 2 g = maxfp 1 ; p 2 g = maxf (p 1 ); (p 2 )g = maxf0;1g = 1 12 34(1) ( ) (1) (p 1 _ p 2 )!p 3 : ((p 1 _ p 2 )!p 3 ) = maxf1 (p 1 _ p 2 ) ; p 3 g = maxf1 1; (p 3 )g = maxf0;0g = 0 13 34(2) (2) p 1 !(p 2 !(p 1 ^ p 2 )), . : (2) . (p 1 ) (p 2 ) (p 1 ^ p 2 ) (p 2 !(p 1 ^ p 2 )) 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 14 16 P p i 1 ; p i 2 , , p i n , P 1 ; 2 : 1 (p i k ) = 2 (p i k ) (k = 1; 2; ; n), 1 = 2 . 15 20 P a22 , = 1, a22 ( ). P a22 , = 0, a22 ( ). P , = 1, a22 . 16 17 P : (A3) a18 ( ) ( ) (: !: ) ( ! ) (A3) 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 17 (M) 18 P , : ! , . : , P = 0. a27 , = 1, ( ! ) = 0, ! . 18 19 P , q 1 ; q 2 ; ; q n P , 1 ; 2 ; ; n P n , q i ( ) i (1 i n) . , .. : : q 1 q 2 q n : 1 2 n 19 : P a22 , i = t i (1 i n). P a22 : (p) = 8 > < > : t i p = q i (1 i n) (p) p 62 fq 1 ; q 2 ; ; q n g p 2 fp 0 ; p 1 ; p 2 ; g = ( ). a27 , = = 1, . 20 a28 a20 a29 q i i , q i i . : p 1 !p 1 ; p 2 !p 1 , a30 a31 . , . : p 1 !(p 2 !p 1 ) ; p 1 !p 2 , a30 a31 . 21 p.509(p.102). 21 22 23 ( ) a22 a18 a18 a29 { { { a20 a18 a22 a18 24 21 (1) ( $ ) a22 , , , . (2) ( ! ) a22 , , ) . $ ,a19 ! ) a18 25 (I) ( _ ) () ( _ ) ( ^ ) () ( ^ ) ( $ ) () ( $ ): 26 (II) ( _ )_ () _( _ ) ( ^ )^ () ^( ^ ) ( $ )$ () $( $ ) 27 (III) a32 ^( _ ) () ( ^ )_( ^ ) _( ^ ) () ( _ )^( _ ) !( ! ) () ( ! )!( ! ): 28 (IV) () :: :( _ ) () (: )^(: ) :( ^ ) () (: )_(: ): 29 (V) _ () ^ () : _( ^ ) , ^( _ ) , : 30 (VI) ! () (: )_ ! 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(3) ; ; 2 F P , () , () , () . 37 35 : (p 0 !(p 1 !p 2 )) () (p 0 ^p 1 )!p 2 . : p 0 !p 1 () (:p 0 )_ p 1 , : p 0 !(p 1 !p 2 ) ()(:p 0 )_(p 1 !p 2 ) ( 20) ()(:p 0 )_((:p 1 )_ p 2 ) ( 21) ()(:p 0 _:p 1 )_ p 2 ( ) ():(p 0 ^ p 1 )_ p 2 ( ) ()(p 0 ^ p 1 )!p 2 ( 20) 38 a22 a18 23 | a39 a39 : a27 ^ a39 . a27 _ a39 . | a39 ( ) . p;:q; p^(:q);(p^(:q)^(:p)) | a39 . ::p, :(p ^(:q)) | a31 a39 ( ) . 39 a27 a39 . a27 a39 . a39 ( ) . p _(:q)_(p ^(:q)) a31 . ::p a31 a31 40 ( ) 24 ( ) ! (1) a22 a22 . (2) a22 a22 . : (1) 41 ( ) (() a22 , p :pa18 a27 : p _(:p)a18 p _ (:p) 0 , a27 : () 0 _(p _(:p)). a27 : (p _(:p)) () 1a18 a22 . 42 ( ) ( ) ()) . a22 , : : p 0. : q 1. 0, . a22 . 43 ( ) ( ) 25 q 1 ; q 2 ; ; q n , (1) q 1 ; q 2 ; ; q n a22 . (2) q 1 ; q 2 ; ; q n a22 . : :q 1 ^q 2 ^q 3 (q 1 ; q 2 ; q 3 ) a34 (0;1;1). :q 1 _q 2 _q 3 (q 1 ; q 2 ; q 3 ) a34 (1;0;0). 44 ( ) ( ) ( ) 26 q 1 ; q 2 ; ; q n , (1) a22 a22 , q 1 ; q 2 ; ; q n . (2) a22 a22 . q 1 ; q 2 ; ; q n . : a40 (1;0;1) a34 a39 :q 1 _ q 2 _:q 3 , a40 (1;0;1) a34 a39 q 1 ^:q 2 _ q 3 . 45 ( ) 27 P 1 ; 2 ; ; n , (1) 1 ^ 2 ^ ^ n 1 ; 2 ; ; n , 1 ^ 2 ^ ^ n 1 ; 2 ; ; n . (2) 1 _ 2 _ _ n 1 ; 2 ; ; n , 1 _ 2 _ _ n 1 ; 2 ; ; n . 46 28 P a22 a22 . : q 1 ; q 2 ; ; q n . , () q 1 ^:q 1 ^ q 2 ^ ^ q n , q 1 ; q 2 ; ; q n 1 ; 2 ; ; m (0 < m 2 n ). i , q 1 ; q 2 ; ; q n a22 i , i i ( 26) a27 25 : i q 1 ; q 2 ; ; q n i a22 (i = 1; 2; m). 47 ( ) = 1 _ 2 _ _ m . a27 27 : 1 ; 2 ; ; n , 1 ; 2 ; ; m . () . 48 28 P a22 a22 . : a27 28 : : , : , ( 1 _ 2 _ _ m ) 1 ; 2 ; ; m . :: , :( 1 _ 2 _ _ m ). :: , , , :( 1 _ 2 _ _ m ). 49 :( 1 _ 2 _ _ m ) , (: 1 )^(: 2 )^ ^(: m ). a27 : i a22 , (: 1 )^(: 2 )^ ^(: m ) a22 a18 : a22 . : 2.28 . 50 36 ((:p 1 )_ p 2 )!p 3 . : : (1) , p 1 p 2 p 3 (:p 1 )_ p 2 : 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 51 36( 1) (2) . ((:p 1 )_ p 2 )!p 3 p 1 ; p 2 ; p 3 < 1;0;0 >; < 0;0;1 >; < 1;0;1 >; < 0;1;1 >, < 1;1;1 >, : p 1 ^(:p 2 )^(:p 3 ), (:p 1 )^(:p 2 )^ p 3 , p 1 ^(:p 2 )^ p 3 , (:p 1 )^ p 2 ^ p 3 , p 1 ^ p 2 ^ p 3 . : ((:p 1 )_ p 2 )!p 3 a22 : p 1 ^(:p 2 )^(:p 3 ) _ (:p 1 )^(:p 2 )^ p 3 _ p 1 ^(:p 2 )^p 3 _ (:p 1 )^p 2 ^p 3 _ p 1 ^p 2 ^p 3 52 36( 2) (3) . ((:p 1 ) _ p 2 )!p 3 , . : ((:p 1 )_ p 2 )!p 3 < 0;0;0 >; < 0;1;0 > < 1;1;0 > ( ((:p 1 )_ p 2 )!p 3 ) : ((:p 1 )_ p 2 )!p 3 : (:p 1 )^(:p 2 )^(:p 3 ) _ (:p 1 )^p 2 ^(:p 3 ) _ p 1 ^ p 2 ^(:p 3 ) 53 36( 3) ((:p 1 )_ p 2 )!p 3 () : (:p 1 )^(:p 2 )^(:p 3 ) _ (:p 1 )^ p 2 ^(:p 3 ) _ p 1 ^ p 2 ^(:p 3 ) ! () : (:p 1 )^(:p 2 )^(:p 3 ) ^ : (:p 1 )^ p 2 ^(:p 3 ) ^: p 1 ^ p 2 ^(:p 3 ) () (p 1 _ p 2 _ p 3 )^ p 1 _(:p 2 )_ p 3 ^ (:p 1 )_(:p 2 )_ p 3 ((:p 1 )_ p 2 )!p 3 a22 . a18 54 (1) (2) a29 { . { . (3) a29 . { a18 { a22 ( ) a18 55 (1) 1 ; 2 ; ; m a18 i , i i (1 i m)a18 = 1 _ 2 _ _ m a18 (2) ( a41 a42 (1) a43 a44 36) 1 ; 2 ; ; m a18 i , i i (1 i m)a18 = 1 ^ 2 ^ ^ m a18 56 36 ((:p 1 )_ p 2 )!p 3 . : ((:p 1 )_ p 2 )!p 3 () : (:p 1 )_ p 2 _ p 3 () (::p 1 )^(:p 2 ) _ p 3 () p 1 ^(:p 2 ) _ p 3 () (p 1 _ p 3 )^ (:p 2 )_ p 3 57 (1) !; (2) a21 :; (3) ::; (4) ( ) 58 37 ((p _ q)!r)!p . : ((p _ q)!r)!p () : (p _ q)!r _ p () : :(p _ q)_ r _ p () ::(p _ q)^(:r) _ p () (p _ q)^(:r) _ p () (p _ q)_ p ^ (:r)_ p ( ) () (p _ q)^ (:r)_ p ( ) () p ^(:r) _ q ^(:r) _ p _ q ^ p ( ) () p ^(:r) _ q ^(:r) _ p ( ) 59 (1) a22 a18 (2) " " a22 a18 (3) a18 (4) _ ^ a18 a45 a46 a47 a48 a49 a50 , a51a52 a53 , a54a54a54 a55a55a55a56a56a56 a57a57a57 , a58a59a60 a61 a62a63 a64a65 1998a65 p35 60 P :;_;^ . n a66 a67 n a68 . : f a22 n , f : f0;1g n ! f0;1g. p 1 ; p 2 ; ; p n n . (1) f 0 , f a27 p 1 ^:p 1 ^ p 2 ^ ^ p n . 61 ( ) (2) f 0, f 2 n , f 1 : 1 ; 2 ; ; m ; (1 i m) i (1 i m), i a27 p 1 ; p 2 ; ; p n a22 , i p 1 ; p 2 ; ; p n i a22 . f a27 1 _ 2 _ _ m . 62 p.509(p.102). 23 (1)(5)(7) 25 (1)(2)(3) 26 63 64