第26章命题逻辑
?逻辑主要研究推理过程,而推理过程必
须依靠命题来表达。
?在命题逻辑中,“命题”被看作最小单位。
?数理逻辑中最基本、最简单的部分。
?直观(§1) —> 半数学化(§2—§5)
—> 形式化(§6—§10)
§2 命题和联结词
1.什么是命题?
?命题是陈述客观外界发生事情的陈述句。
?命题是或为真或为假的陈述句。
?特征:
9陈述句
9真假必居其一, 且只居其一.
?其它观点:直觉主义逻辑,多值逻辑等。
例1 下列句子都是命题
? 8小于10.
? 8大于10.
?二十一世纪末, 人类将住在太空.
?任一个>5的偶数可表成两个素数的和.
?的小数展开式中12345出现偶数多次。
2
例2 下列句子不是命题
? 8大于10吗?
?请勿吸烟.
? X大于Y.
?我正在撒谎. ——悖论
命题的抽象
?以p、q、r等表示命题。
?以1表示真,0表示假。
则命题就抽象为:取值为0或1的p等符号。
?若p取值1,则表示p为真命题;
?若p取值0,则表示p为假命题;
注:开关电路(逻辑电路),布尔代数。
“复杂命题”
例3: 由简单命题能构造更加复杂命题
?期中考试, 张三没有考及格.
?期中考试, 张三和李四都考及格了.
?期中考试, 张三和李四中有人考90分.
?如果张三能考90分, 那么李四也能考90分.
?张三能考90分当且仅当李四也能考90分.
联结词和复合命题
?上述诸如“没有”、“如果···那么···”等连
词称为联结词。
?由联结词和命题连接而成的更加复杂命
题称为复合命题;相对地,不能分解为
更简单命题的命题称为简单命题。
?复合命题的真假完全由构成它的简单命
题的真假所决定。
注:简单命题和复合命题的划分是相对的。
否定联结词
?定义1:设p为一个命题, 复合命题 “非p ”
称为p的否定式,记为 ?p, “?”称为否定
联结词. “?p”为真当且仅当p为假。
?例3中, 若p代表“期中考试张三考及格了”,
则(1)可表示为?p.
01
10
?pP
合取联结词
?定义2 设p、q为两个命题,复合命题 “p而且q ”
称为p、q的合取式,记为 p∧q, “∧”称作合取联
结词。 p ∧q真当且仅当p与q同时真.
?例3的(2)可记为p∧q, 其中p代表“张三考及格”,
q代表“李四考及格”.
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001
010
000
p∧qqp
析取联结词
?定义3 设p、q为两个命题,复合命题 “p或者q ”
称为p、q的析取式,记为 p∨q, “∨”称作析取联
结词。 p ∨ q为真当且仅当p与q中至少有一个
为真.
?例3的(3)可记为p ∨ q, 其中p代表“张三考90分”,
q代表“李四考90分”。
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101
110
000
p ∨ qqp
“相容或”与“相异或”
?日常语言中“或”有两种标准用法, 例如:
(1) 张三或者李四考了90分.
(2) 第一节课上数学课或者上英语课.
?差异在于:
当构成它们的简单命题都真时,前者为真,后
者却为假。
?前者称为“相容或”,后者称为“相异或”。
?前者可表示为p∨q,后者却不能。
?注意:不能见了或就表示为p∨q。
蕴涵联结词
?定义4 设p、q为命题, 复合命题“如果p, 则q”称为p
对 q的蕴涵式,记作p →q, 其中又称p为此蕴涵式
的前件,称q为此蕴涵式的后件,“→”称为蕴涵联
结词。“p → q”假当且仅当p真而q假.
? p→q这样的真值规定有其合理性,也有人为因素。
111
001
110
100
p→q
qp
等价联结词
?定义2.5 设p、q为命题, 复合命题“p当且仅当q”称
作p、q的等价式, 记作p?q, “?”称作等价联结词。
p?q真当且仅当p、q同时为真或同时为假.
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001
010
100
p?q
qp
注意
?上述五个联结词来源于日常使用的相应词汇,
但并不完全一致,在使用时要注意:
?以上联结词组成的复合命题的真假值一定要根据它
们的定义去理解, 而不能据日常语言的含义去理解。
?不能“对号入座”,如见到“或”就表示为“∨”。
?有些词也可表示为这五个联结词,如“但是”也可表
示为“∧”。
?在今后我们主要关心的是命题间的真假值的关
系, 而不讨论命题的内容.
命题符号化
例4 将下列命题符号化:
(1) 铁和氧化合, 但铁和氮不化合.
(2) 如果我下班早, 就去商店看看, 除非我
很累.
(3) 李四是计算机系的学生, 他住在312室
或313室.
例4的解
(1)p∧(?q),其中:
p代表“铁和氧化合”,
q代表“铁和氮化合”。
(2)(?P) →(q→r),其中:
p代表“我很累”,
q代表“我下班早”,
r代表“我去商店看看”
还可表示为:((?P)∧q))→r
例4的解(续)
(3)p∧((q∨r)∧(?(q∧r))),其中:
p代表“李四是计算机系学生”,
q代表“李四住312室”,
r代表“李四住313室”.
还可表示为:
p∧((q∧(? r)) ∨((?q)∧r))
小结
?命题及其符号p、q、r、…。
?构成复合命题的联结词?、∧、∨、→和
?,以及由联结词构成的复合命题及其
真假值.
作业
? P.507, 1 (1)—(5)
(p.98, 1 (1)—(5))
?要求注明所出现命题符号代表的命题
谢谢