第26章命题逻辑 ?逻辑主要研究推理过程,而推理过程必 须依靠命题来表达。 ?在命题逻辑中,“命题”被看作最小单位。 ?数理逻辑中最基本、最简单的部分。 ?直观(§1) —> 半数学化(§2—§5) —> 形式化(§6—§10) §2 命题和联结词 1.什么是命题? ?命题是陈述客观外界发生事情的陈述句。 ?命题是或为真或为假的陈述句。 ?特征: 9陈述句 9真假必居其一, 且只居其一. ?其它观点:直觉主义逻辑,多值逻辑等。 例1 下列句子都是命题 ? 8小于10. ? 8大于10. ?二十一世纪末, 人类将住在太空. ?任一个>5的偶数可表成两个素数的和. ?的小数展开式中12345出现偶数多次。 2 例2 下列句子不是命题 ? 8大于10吗? ?请勿吸烟. ? X大于Y. ?我正在撒谎. ——悖论 命题的抽象 ?以p、q、r等表示命题。 ?以1表示真,0表示假。 则命题就抽象为:取值为0或1的p等符号。 ?若p取值1,则表示p为真命题; ?若p取值0,则表示p为假命题; 注:开关电路(逻辑电路),布尔代数。 “复杂命题” 例3: 由简单命题能构造更加复杂命题 ?期中考试, 张三没有考及格. ?期中考试, 张三和李四都考及格了. ?期中考试, 张三和李四中有人考90分. ?如果张三能考90分, 那么李四也能考90分. ?张三能考90分当且仅当李四也能考90分. 联结词和复合命题 ?上述诸如“没有”、“如果···那么···”等连 词称为联结词。 ?由联结词和命题连接而成的更加复杂命 题称为复合命题;相对地,不能分解为 更简单命题的命题称为简单命题。 ?复合命题的真假完全由构成它的简单命 题的真假所决定。 注:简单命题和复合命题的划分是相对的。 否定联结词 ?定义1:设p为一个命题, 复合命题 “非p ” 称为p的否定式,记为 ?p, “?”称为否定 联结词. “?p”为真当且仅当p为假。 ?例3中, 若p代表“期中考试张三考及格了”, 则(1)可表示为?p. 01 10 ?pP 合取联结词 ?定义2 设p、q为两个命题,复合命题 “p而且q ” 称为p、q的合取式,记为 p∧q, “∧”称作合取联 结词。 p ∧q真当且仅当p与q同时真. ?例3的(2)可记为p∧q, 其中p代表“张三考及格”, q代表“李四考及格”. 111 001 010 000 p∧qqp 析取联结词 ?定义3 设p、q为两个命题,复合命题 “p或者q ” 称为p、q的析取式,记为 p∨q, “∨”称作析取联 结词。 p ∨ q为真当且仅当p与q中至少有一个 为真. ?例3的(3)可记为p ∨ q, 其中p代表“张三考90分”, q代表“李四考90分”。 111 101 110 000 p ∨ qqp “相容或”与“相异或” ?日常语言中“或”有两种标准用法, 例如: (1) 张三或者李四考了90分. (2) 第一节课上数学课或者上英语课. ?差异在于: 当构成它们的简单命题都真时,前者为真,后 者却为假。 ?前者称为“相容或”,后者称为“相异或”。 ?前者可表示为p∨q,后者却不能。 ?注意:不能见了或就表示为p∨q。 蕴涵联结词 ?定义4 设p、q为命题, 复合命题“如果p, 则q”称为p 对 q的蕴涵式,记作p →q, 其中又称p为此蕴涵式 的前件,称q为此蕴涵式的后件,“→”称为蕴涵联 结词。“p → q”假当且仅当p真而q假. ? p→q这样的真值规定有其合理性,也有人为因素。 111 001 110 100 p→q qp 等价联结词 ?定义2.5 设p、q为命题, 复合命题“p当且仅当q”称 作p、q的等价式, 记作p?q, “?”称作等价联结词。 p?q真当且仅当p、q同时为真或同时为假. 111 001 010 100 p?q qp 注意 ?上述五个联结词来源于日常使用的相应词汇, 但并不完全一致,在使用时要注意: ?以上联结词组成的复合命题的真假值一定要根据它 们的定义去理解, 而不能据日常语言的含义去理解。 ?不能“对号入座”,如见到“或”就表示为“∨”。 ?有些词也可表示为这五个联结词,如“但是”也可表 示为“∧”。 ?在今后我们主要关心的是命题间的真假值的关 系, 而不讨论命题的内容. 命题符号化 例4 将下列命题符号化: (1) 铁和氧化合, 但铁和氮不化合. (2) 如果我下班早, 就去商店看看, 除非我 很累. (3) 李四是计算机系的学生, 他住在312室 或313室. 例4的解 (1)p∧(?q),其中: p代表“铁和氧化合”, q代表“铁和氮化合”。 (2)(?P) →(q→r),其中: p代表“我很累”, q代表“我下班早”, r代表“我去商店看看” 还可表示为:((?P)∧q))→r 例4的解(续) (3)p∧((q∨r)∧(?(q∧r))),其中: p代表“李四是计算机系学生”, q代表“李四住312室”, r代表“李四住313室”. 还可表示为: p∧((q∧(? r)) ∨((?q)∧r)) 小结 ?命题及其符号p、q、r、…。 ?构成复合命题的联结词?、∧、∨、→和 ?,以及由联结词构成的复合命题及其 真假值. 作业 ? P.507, 1 (1)—(5) (p.98, 1 (1)—(5)) ?要求注明所出现命题符号代表的命题 谢谢