§5 推理形式 ? 前两节介绍了 “命题 ”的形式。 ? 本节介绍 “推理 ”的形式。 ? 推理是逻辑的研究对象。 什么是推理形式？ ? 一组前提，一个结论 ? 前提、结论都是命题。 ? 若前提为 α 1 ， α 2 ， …， α n ，结论为 β， 则将这样的推理形式称为 α 1 ， α 2 ， …， α n 推出 β。 什么是正确的推理形式？ ? 直观上，正确的推理应该保证：如果前提 正确，则结论也应该正确。 ? 定义 12 设 α 1 ， α 2 ， …， α n , β都是命题形 式 ,称推理 “α 1 ， α 2 ， …， α n 推出 β”是有效 的，如果对 α 1 ， α 2 ， …， α n , β中出现的命 题变元的任一指派 , 若 α 1 ， α 2 ， …， α n 都 真 , 则 β亦真；否则，称 “α 1 ， α 2 ， …， α n 推出 β”是无效的或不合理的. 例 8 ? α →β、 α推出 β是有效的。 ? α ∨β、 ?α推出 β是有效的 注记 ? 推理形式是否有效与前提中命题形式的 排列次序无关。即： ? 若 “α 1 ， α 2 ， …， α n 推出 β”是有效的，则 对 1， 2， …， n的任一个排列 i 1 , i 2 , …, i n , “ 推出 β”也是有效的。 ? 所以前提是一个集合 Γ，而不是一个序列。 ? 若 “α 1 ， α 2 ， …， α n 推出 β”是有效的，则 记为 Γ╞ β。 n iii ααα ,,, 21 L 例 9 下列推理形式是否有效？ p ∨ q、 ? q、 (p →q) →r推出 r是无效的。 ← 110111 000111 111101 110110 011101 000110 111000 001000 r(p →q) →r? qp ∨ qqP 例 10 下列推理形式是否有效？ (1) (?p 1 ) ∨ p 2 ， p 1 → (p 3 ∧ p 4 )， p 4 → p 2 ， p 3 → p 4 推出p 2 ∨ p 4 。 解：目的是看能否找到使前提为真、且结论为假的 指派。 使 p 2 ∨ p 4 为假的指派有（*，0，*，0）， 其中使 ( ?p 1 ) ∨ p 2 为真的指派有（0，0，*，0）， 其中使 p 3 → p 4 为真的指派有（0，0，0，0）， （0，0，0，0）使 p 1 → (p 3 ∧ p 4 )和 p 4 → p 2 都为真。 从而这个推理是无效的。 (2) p 1 → (p 2 →p 3 )， p 2 推出 p 1 →p 3 解： 使 p 1 →p 3 为假的指派有（ 1， *， 0）， 其中使 p 2 为真的指派只有（ 1， 1， 0）， 而（ 1， 1， 0）使 p 1 → (p 2 →p 3 ) 为假。 故没有使前提为真而结论为假的指派，从 而此推理有效。 充要条件 定理 4 推理形式 “α 1 ， α 2 ， …， α n 推出 β” 有 效的充要条件是命题形式 (α 1 ∧ α 2 ∧… ∧ α n ) → β是重言式。 意义： 推理形式的有效性与命题形式的永真 性可以互相化约。 今后将建立带前提的证明系统和重言式证明 系统，并证明它们的等价性。 一些有效推理 ? 若 Γ∪{α}╞ γ，且 Γ∪{β}╞ γ， 则 Γ∪{α ∨ β}╞ γ ? 若 Γ∪{?α}╞ β，且 Γ∪{?α}╞ ?β， 则 Γ╞ α。 ? … Thanks