北京大学：离散数学（一）：20.2

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 R(q-1, p)i ? R(p,q) ≤ R(p-1, q) + R(q-1, p) 6 B,??￥￡ ü L !?? ? p’,q’, p’≤p, q’≤q, p’+q’<p+q1?
 5 R(p-1,q), R(p,q-1) i . 7 n ≥ R(p-1,q) + R(p,q-1)
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 case2 v 1 1 ó R(p,q-1)H￡H . ? case1
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q p 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 6 9 14 18 23 28 36 40 43 46 51 52 59 59 69 66 78 73 88 4 18 25 35 41 49 61 56 84 69 115 80 149 96 191 128 238 133 291 141 349 153 417 5 43 49 58 87 80 143 95 216 121 316 141 442 153 181 193 221 242 6 102 165 111 298 127 495 153 780 177 1171 253 262 278 292 374 7 205 540 216 1031 7 1713 7 2826 322 416 511 8 282 1870 8 3583 316 6090 635 703 9 565 6588 580 12677 10 798 23556 l Ramsey ?￥′
from Mathworld
 8
(1) R(a,b)=R(b,a), R(a,2) = R(2,a)=a (2) R(a,b) ≤ R(a-1,b) + R(a,b-1) ?é (2) ó ? 9 = R(3,4) ≤ R(2,4) + R(3,3) = 4 + 6 = 10 18 = R(4,4) ≤ R(3,4) + R(4,3) = 9 + 9 = 18 25 = R(4,5) ≤ R(3,5) + R(4,4) = 14 + 18 = 32 R(3,10) ≤ R(2,10) + R(3,9) = 10 + 36 = 46 R(3,10) ≤ 43 Ramsey ?￥?é 9 (1) R(p,q)￥mV U R(p,q)￥"?V ?
 K n ￥??" V "? S K n ￥H" E S￥ 2í0"￥"? T ¨ 2?p? K n ￥H | T?s? E 1 ,E 2 i ???? pH? i S￥ p0" ?μ 2í0" ∈E 1 i￡??? qH? i S￥ q0" ?μ 2í0" ∈E 2 "?V ? μ÷<￥Vr? ? . (2) | 2í0"w<? rí0" (3) | T?s? E 1 , E 2 , … , E k Ramsey? ?￥w< 10 w<￥ Ramsy? ? ? ? 2 ??ió?￥?? ? p,q,r, (p,q≥r) iB?K l￥?? ? R(p,q;r) P¤?"? S ￥í í ?v? ?? R(p,q;r) H
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 A 2 ￥ ?μ r í0" ?? T 2 , … , ?i S￥ q k í0" A k ,  ?μ￥ rí0" ?? T k . 12 R(p,q,r)￥i?￡ ü ￡ ü R(p,q;r)i
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 R(r,q;r)=q
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2
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? r’=r?1, p’, q’?i ; r’=r
 p’<p q’<q. p 1 =R(p?1,q;r), q 1 =R(p,q?1;r), 7 n = R(p 1 ,q 1 ;r?1)+1 = R(R(p?1,q;r), R(p,q?1,r);r?1)+1 13 1?B?? Ramsey ?￥ a ü R(q 1 , q 2 , … , q k ; r) (1) Hq
 r,k≥1, q i ≥r, i=1, 2, … , k, ? ^ó??? ? (2) ? r=2 H
 V[e:1 R(q 1 , q 2 , … , q k ) (3) Ramsey? ?? Ramsey ?￥i? . Ramsey ?￥?? ^B?? ?4￥ù5 . (4) r=1, ^?×e ?
 R(q 1 ,q 2 , …, q k ;1) = q 1 +q 2 +…+q k ?k+1 r=2, k=2, ^e?￥ Ramsey? ? . 2T
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51 ≤ R(3,3,3,3) ≤ 62 65→62 162 ≤ R(3,3,3,3,3) ≤ 307 322→307 538 ≤ R(3,3,3,3,3,3) ≤ 1838 500→538 30 ≤ R(3,3,4) ≤ 31 32→31 45 ≤ R(3,3,5) ≤ 57 59→57 55 ≤ R(3,4,4) ≤ 79 81→79 93 ≤ R(3,3,3,4) ≤ 153 84→93,159→153 128 ≤ R(4,4,4) ≤ 236 242→236
B?? Ramsey ?￥ /? 15 Ramsey? ?￥?¨ è 10 ??i m≥3, m∈Z + , i?? ? N(m)
 P¤? n≥N(m) H
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 m=3, N(m)=N(3)=3, m=4, N(m)=N(4)=5, N(m) ≤ R(5,m;4) ? ? 1ü ? ?ó 5? , àμ 3?L , 5Aμ 4? ^j 4H? ￥?? . ? ? 2ü ?  m??
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