17.6 正规子群与商群 ?正规子群及判定 ?定义 ?判别定理 ?判别法 ?商群 ?定义及其实例 ?性质 正规子群及其判定 正规子群：H≤G,，且?a∈G，aH=Ha. 记为H?G. 判定定理： N≤G, 则下述条件等价 (1) N是G的正规子群 (2) ?g∈G, gNg ?1 = N (3) ?g∈G, ?n∈N, gng ?1 ∈N 证：(1) ?(2): gN = Ng ? gNg ?1 = N (2) ?(3): gng ?1 ∈gNg ?1 = N (3)?(1): ng∈Ng?n∈N,g ?1 ∈G?g ?1 ng∈N ?ng∈gN gn∈gN?n∈N,g∈G?gng ?1 ∈N?gn∈Ng 判定方法 (1) 判定定理 (2) |N|=t, N是G的唯一t阶子群 (3) 指数为2的子群 证明 N是G的t 阶子群，且是唯一的t 阶子群，则N是 G的正规子群. 证：任取g∈G, gNg -1 ≤G, 且|gNg -1 |=|N|，从而得 到gNg -1 =N，因此N是正规的. N是G的子群，且[G:N]=2, 则N是G的正规子群. 证：任取g∈G, 若g∈N, 则gN=N=Ng；若g?N, 则 gN=G-N=Ng, 因此N是正规的. 商群 G/H = { Ha | a∈G } HaHb = Hab 说明： 良定义性质： Ha=Hx, Hb=Hy ? Hab=Hxy 商群G/H就是商代数 aRb ? Ha=Hb ? ab ?1 ∈H aRb, cRd ? acRbd aRb ? a ?1 Rb ?1 商群定义 性质：|G/H|=[G:H]，商群的阶是|G|的因子 保持群G的性质：交换性，循环性等. 例1 G为Abel群，|G| = n,素数p 整除n, 则G中有p阶元. 证明思路：归纳法——商群满足条件推出原来群中性质. 归纳步骤. 假设m<n为真，证明对于n为真. 设|G| = n, 取a∈G, a ≠ e, 寻找p阶元. ① p 整除 |a|, 则 pa a /|| 为p阶元. ② p不整除 |a|, 令H = <a>, 构造G/H, |G/H| = m, p整除m. G/H中有p阶元Hb, 导出b与a的关系 (Hb) p = H ? b p ∈H ? b p = a t (b |a| ) p =e ?b |a| 为p阶元 ( b |a| =e ? (Hb) |a| =H ? p | |a| ) 商群的性质 定义 f为G 1 到G 2 的同态当且仅当 f:G 1 →G 2 , 且?x,y∈G 1 ，f(xy)=f(x)f(y) 实例: (1) 整数加群<Z,+>的自同态： f c (x)=cx，c为给定整数 (2) 模n加群<Z n ,⊕>的自同态： f p (x)=(px)modn, p=0,1,…,n?1 (3) G 1 =<Z,+>,G 2 =<Z n ,⊕>,G 1 到G 2 的满同态 f:Z→Z n , f(x)=(x)modn 说明：将群看成代数系统<G, ?, -1 ,e>，则同态f满足： f(e 1 )=e 2 ，f(x ?1 )=f(x) ?1 群的同态与同构 同态保持元素的性质 f(e 1 )=e 2 ，f(x ?1 )=f(x) ?1 ，f将生成元映到生成元 |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a| 同态保持子代数的性质 H≤ G 1 ? f(H)≤ G 2 H?G 1 , f为满同态，f(H)?G 2 同态核的性质, kerf = { x | x∈G, f(x)=e 2 } kerf={e 1 } ? f为单同态 kerf?G 1 ，?a,b∈G 1 , f(a)=f(b) ? akerf = bkerf 同态基本定理 (1) H为G的正规子群，则G/H是G的同态像 (2) 若G’为G的同态像（f(G)=G’），则G/kerf ?G’. 同态映射的性质 证明 (1) kerf? G 1 (2) ?a,b∈G 1 , f(a)=f(b) ? akerf = bkerf 证： (1) 显然kerf非空. ?a,b∈kerf, f(ab ?1 ) = f(a)f(b) ?1 = e 2 e 2 ?1 =e 2 ? ab ?1 ∈kerf kerf为G 1 的子群，下面证明正规性. ?g∈G 1 , ?a∈kerf, f(gag ?1 ) = f(g)f(a)f(g ?1 )= f(g)f(g ?1 ) = f(e 1 )=e 2 (2) f(a)=f(b) ? f(a) –1 f(b)=e 2 ? f(a ?1 b)=e 2 ? a ?1 b∈kerf ? akerf=bkerf 同态性质的证明 EndG：G的自同态的集合 AutG：G的自同构的集合 InnG：G的内自同构的集合 f x ：G→G, f x (a)=xax ?1 关系： EndG为独异点 AutG为群 InnG为AutG的正规子群 I G =f e 属于InnG 自同态与自同构