规范证明的主要内容： 集合和二元运算构成群 群G的给定子集H构成子群 群G的给定子群是正规的 f是群G 1 到G 2 的同态映射 证明群G 1 同构于G 2 证明群G 1 不同构于G 2 比较灵活的证明 群的基本性质的证明 元素相等的证明 与数的相等或者整除相关的证明 子集相等 十七章习题课——群的证明 证明群: 验证下述条件之一 (1) 封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆 (2) 封闭性、结合律、右单位元、每个元素有右逆 (3) 封闭性、结合律、方程有解 (4) 封闭性、有限、无零元、消去律 证明H是G的子群：判定定理 前提：H是G的非空子集 (进行验证) 验证下述条件之一 (1) ?x,y∈H, xy∈H, x ?1 ∈H. (2) ?x,y∈H, xy ?1 ∈H (3) H有限，?x,y∈H, xy∈H 证明群或者子群 证明子群N的正规性 验证下述条件之一： (1) ?g∈G, n∈N, gng ?1 ∈N (2) ?g∈G, gNg ?1 =N (3) |N|=t, N是G的唯一的t阶子群 (4) [G:N]=2 证明f是G 1 到G 2 的同态 (1) 验证f:G 1 →G 2 （注意良定义性的验证） (2) 验证?x,y∈G 1 , f(xy)=f(x)f(y) 证明正规性或者同态 (1) 证明f:G 1 →G 2 是同态，证明f为双射 (2) 同态基本定理：其中一个群是商群 例：H,K是G的正规子群，则HK,H∩K也是G的正规子 群, 且H/H∩K ? HK/K 证明：先证明HK, H∩K为正规子群（略） 令f:H→HK/K, f(h)=Kh, f(h 1 h 2 )=Kh 1 h 2 =Kh 1 Kh 2 =f(h 1 )f(h 2 ) 任取Khk属于HK/K, Khk = Kk’h’ = Kh’, 存在h’ 使得 f(h’) = Kh’ = Khk. f为满同态. kerf={h|h∈H,Kh=K}={h|h∈H,h∈K}=H∩K, 由同态基本定理 H/H∩K ? HK/K . 证明同构 反证法 例1 证明不存在<Q * ,?>到<Q,+>的同构. 证 假设存在同构f:Q * →Q, 则 f(1)=0, 0 = f(1) = f((?1)(?1)) = f(?1)+f(?1) = 2f(?1)， 从而f(?1) = 0 与f的单射性矛盾. 证明不同构 群的基本性质的证明 （略） 证明有关元素的运算等式 证明元素的阶相等 证明交换性 和Lagrange定理有关的证明 与群相关的数量结果 证明数的整除或者相等 证明群的其他性质 与同态性质相关的证明 证明数的整除或者相等（与Lagrange定理联系） 证明集合相等 证明群的其他性质 灵活的证明 与有限群相关的数量结果 )](:[|| aNGa = GaGa HHGG HHGG ∈ = = |,|||| |||/||| ||]:[|| f:G→G’是满同态? |G’| | |G| 且|G’|=|G/kerf| |G|=n, p为素数，p|n, G为Abel群? G中含p阶元 || |||| || BA BA AB ∩ = A, B是G 的子群，A,B有限，则 证：(1) 在A×B上定义二元关系R，<x,y>R<u,v> ? xy=uv (2) 证明R为等价关系（略） (3) 令 X=[<a,b>]={<x,y> | <a,b>R<x,y>} f : X→A∩B, f(<x,y>)=a ?1 x (4) f为函数. <x,y>R<a,b> ? xy=ab ?a ?1 x=by ?1 ∈A∩B f单射. f(<x,y>)=f(<u,v>) ? a ?1 x=a ?1 u ? x=u ?x=u,y=v ? <x,y>=<u,v> f满射. ?c∈A∩B, ?<ac,c ?1 b>∈A×B, <ac,c ?1 b>∈X f(<ac,c ?1 b>)=a ?1 ac=c |X|=|A∩B|, 有|A∩B|个<x,y>使得xy相等， 即 |A||B|=|A×B|=|A∩B| |AB| 证明 || |||| || BA BA AB ∩ = 例2 设A,B是G的子群，且A,B有限，则 证明整除 例 G为n阶群，a∈G, ,|| ka = C为中心，|C|=c, 则k | (n/c). 证：|ā| = [G:N(a)] , 故 k = [G:N(a)]; C≤ N(a)， |C| | |N(a)|， c | |N(a)|, 即|N(a)| = c s |G| = [G:N(a)] |N(a)|， n = k cs, n/c = ks 命题得证. Lagrange定理的应用 确定子群或商群的阶 例 H 1 ,H 2 为r,s阶子群，(r,s)=1, 则H 1 ∩H 2 ={e} 证明群的性质 例 证明p 2 阶的群为Abel群 证 取C, 则 |C|=p或p 2 . （根据群方程，|C|>1） 若 |C|=p 2 , 得证 若 |C|=p, 作G/C, 则 |G/C|=p, G/C=<Cb>, Lagrange定理的应用 ,/,, 1 iii bcxCxbCbCxCGCxGyx =?∈?=?∈∈? ? yxxy bccbcbcyx bccbbccbcbcxy ijij jijiji = == === + + 1212 212121 , 同理有y=c 2 b j 同态的相关结果 f(xy) = f(x)f(y) f(e) = e f(x -1 ) = f(x) ?1 G交换? f(G)交换 G循环? f(G)循环 H≤G ? f(H)≤f(G) H正规，满同态? f(H)正规 kerf是G 的正规子群 同态基本定理 证集合相等 例 设f为G 1 到G 2 的同态, 则 f ?1 (f(a)) = akerf , 证 对一切a∈G 1 . x∈f ?1 (f(a)) ? f(x) = f(a) ? f (a) ?1 f(x) = e 2 ? f(a ?1 x) = e 2 ? a ?1 x∈kerf ? x∈akerf 同态证明题分析 同态与lagrange定理 例 设G 1 =<a>, G 2 =<b>为m,n阶群，证明 G 2 是G 1 的同态像 ? n|m 证 “?” 定义f(a i )=b i , ） jijijijiji jiji afafbbbafaaf bbjinjimaa ()()()( )(|)(| ==== =?????= ++ f为满射 “?” f是G 1 到G 2 的满同态, G 2 ? G 1 /kerf, n=|G 2 |=|G 1 /kerf| , |G 1 /kerf| | m ? n|m. 例 设H为G的子群，N为G的正规子群. 若(|H|,[G:N])=1，证明H是N的子群. 证 令g:G→G/N为自然同态， 则g(H)≤ G/N 因此 |g(H)| | [G:N] , |g(H)| | |H| (|H|,[G:N]) = 1 ? |g(H)|=1 所以 g(H)={N} x∈H ? xN=g(x)=N ? x∈N 同态性质的应用 作业 ?复习要点： 正规子群的定义及判断方法 商群定义及其与群的关系 同态性质及其应用 群的自同态集、同构群、内自同构群的关系 ?书面作业： 习题十七，45, 48, 53, 58 ?阅读教材17.8